7.3.2 离散型随机变量的方差-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的方差及标准差，通过“灯泡寿命稳定性”问题导思引入，衔接均值知识，搭建从“平均水平”到“波动程度”的认知支架，系统呈现概念、性质及实际应用。 其亮点在于以问题驱动探究，结合卡片抽取、广告投放等典例，培养数学抽象、数学运算与数学建模素养。采用“问题导思—新知探究—典例分析—规律总结”教学法，课堂小结梳理任务、方法与易错点，助力学生深化理解，教师可直接用于教学提升效率。

7.3.2　离散型随机变量的方差 　 第七章 7.3　离散型随机变量的数字特征 学习目标 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念，培养数学抽象 的核心素养.　 2.能计算简单离散型随机变量的方差，掌握离散型随机变量的 方差的性质，培养数学抽象、数学运算的核心素养.　 3.能够运用离散型随机变量的均值和方差解决一些实际问题， 提升数学建模、数学运算的核心素养. 任务一　离散型随机变量的方差 1 任务二　离散型随机变量方差的性质 2 任务三　均值与方差的实际应用 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　离散型随机变量的方差 返回 (阅读教材P67－68，完成探究问题1) 问题1.有两批灯泡，其平均寿命都是1 000 h，其中一批灯泡大部分的寿命集中在950 h～1 050 h；另一批灯泡一部分寿命很长，能达到1 500 h，另一部分寿命很短，只能达到500 h左右.如何判断灯泡质量的好坏呢？ 提示：两个随机变量的均值相同，即“平均水平”相同，但此时其取值却存在较大的差异. 为了判断灯泡质量的好坏，还需要进一步考察灯泡寿命X与其均值E(X)的偏离程度.若偏离程度小，则灯泡的寿命比较稳定；若偏离程度大，则灯泡寿命的稳定性比较差. 问题导思 设离散型随机变量X的分布列如表所示. 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度.我们称D(X)＝_______________________________________________________ ＝_________________为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X). 新知构建 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn (xi－E(X))2pi (1)一般地，随机变量的方差是非负常数.(2)D(X)越小，随机变量X越稳定，波动越小.(3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)(其中p为成功概率). 微提醒 微思考 随机变量的方差与样本方差有什么关系？ 提示：随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差. (链教材P69例5)有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝x·y.求随机变量X的方差. 解：依题意，知X的可能取值为0，1，2，4. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列为 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1， D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝. 典例 1 X 0 1 2 4 P 规律方法 求离散型随机变量的方差的步骤 第1步：理解随机变量X的意义，写出X的所有取值； 第2步：求出X取每个值的概率； 第3步：写出X的分布列； 第4步：计算E(X)； 第5步：计算D(X). 对点练1.(1)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.2，那么D(X)＝_______. 因为随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.2，所以P(X＝0)＝1－0.2＝0.8，所以E(X)＝0×0.8＋1×0.2＝0.2，所以D(X)＝(0－0.2)2×0.8＋(1－0.2)2×0.2＝0.16. 0.16 (2)随机变量ξ的分布列如下表所示，则D(ξ)＝____. 依题意，得＋1－m＋3m2－m－＝1，故3m2－2m＝0，解得m＝或m＝0(舍去)，故随机变量ξ的分布列如下： 故E(ξ)＝＋2×＋3×＝，D(ξ)＝× (1－)2＋×(2－)2＋×(3－)2＝. ξ 1 2 3 P 1－m 3m2－m－ ξ 1 2 3 P 返回 任务二　离散型随机变量方差的性质 返回 (阅读教材P68－69，完成探究问题2、3) 问题2.我们知道，若X是离散型随机变量，则Y＝X＋b(b是常数)也是随机变量，利用方差的含义你能推理出D(X)与D(X＋b)的关系吗？ 提示：因为离散型随机变量X加上一个数b，其均值相应加上数b，故不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即方差D(X)＝D(X＋b). 问题3.若X是离散型随机变量，则Y＝aX(a是非零常数)也是随机变量，根据方差的含义，你认为D(X)＝D(aX)还成立吗？ 提示：不成立，因为离散型随机变量X乘上一个数a，离散程度明显发生 变化. 问题导思 1.D(aX＋b)＝a2D(X). 2.D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 新知构建 微提醒 特例 方差 意义 a＝0 D(b)＝0 常数的方差等于0 a＝1 D(X＋b) ＝D(X) 随机变量与常数之和的方差与随机变量的方差相同 b＝0 D(aX)＝a2D(X) 常数a与随机变量的乘积的方差是随机变量的方差的a2倍 (1)随机变量X的分布列如下，且E(X)＝，则D(X)＝ A.0.64 B.0.32 C.0.16 D.0.08 典例 2 X 0 1 2 P 0.2 p1 p2 √ 依题意，得所以D(X)＝D(X)＝×[0.2×(1.4－0)2＋0.2×(1－1.4)2＋0.6×(2－1.4)2]＝×(0.392＋0.032＋0.216)＝0.16.故选C. (2)(双空题)设随机变量X，Y满足Y＝2X＋b(b为非零常数)，若E(Y)＝4＋b，D(Y)＝32，则E(X)＝___，D(X)＝ _____. 2 8 设随机变量X，Y满足Y＝2X＋b(b为非零常数)，因为E(Y)＝4＋b，D(Y)＝32，则E(Y)＝2E(X)＋b＝4＋b，所以E(X)＝2，又因为D(Y)＝22·D(X)＝32，所以D(X)＝8. 规律方法 求随机变量Y＝aX＋b的方差的方法 1.定义法：先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差. 2.性质法：应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解. 对点练2.(1)已知随机变量X满足E(2X＋3)＝7，D(2X＋3)＝16，则下列选项正确的是 A.E(X)＝，D(X)＝ B.E(X)＝2，D(X)＝4 C.E(X)＝2，D(X)＝8 D.E(X)＝，D(X)＝8 √ 因为E(2X＋3)＝7，D(2X＋3)＝16，所以2E(X)＋3＝7，22D(X)＝16，解得E(X)＝2，D(X)＝4.故选B. (2)已知随机变量的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，则D(2X－1)＝____. 返回 5 因为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，所以E(X)＝×(1＋2＋3＋4)＝， D(X)＝×［(1－)2＋(2－)2＋(3－)2＋(4－)2］＝，所以D(2X－1)＝22D(X)＝4×＝5. 任务三　均值与方差的实际应用 返回 (链教材P69例6)某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告.某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且P(X＝20)＝0.3，均值E(X)＝30. 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为0.3，0.4，0.3. (1)请写出方案一的分布列，并求方差D(X)； 典例 3 解：设P(X＝0)＝a，P(X＝40)＝b， 依题意，得a＋b＋0.3＝1①，又E(X)＝0×a＋20×0.3＋40b＝30②， 由①②解得a＝0.1，b＝0.6. 所以X的分布列为 则D(X)＝(0－30)2×0.1＋(20－30)2×0.3＋(40－30)2×0.6＝180. X 0 20 40 P 0.1 0.3 0.6 (2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由. 解：依题意，得Y的分布列为 则E(Y)＝10×0.3＋20×0.4＋30×0.3＝20， D(Y)＝(10－20)2×0.3＋(20－20)2×0.4＋(30－20)2×0.3＝60. 由E(X)＞E(Y)可知采用平台广告投放均值收益较大，又D(X)＞D(Y)，说明平台广告投放的风险较高. 综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告. Y 10 20 30 P 0.3 0.4 0.3 规律方法 均值、方差在决策中的作用 1.均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高. 2.方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定. 3.在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断. 对点练3.有甲、乙两家单位都愿意聘用你做兼职员工，而你能获得如下 信息： 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 甲单位不同职位月工资X1/元 1 200 1 400 1 600 1 800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X2/元 1 000 1 400 1 800 2 200 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 解：根据月工资的分布列，可得E(X1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400， D(X1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000， E(X2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400， D(X2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000. 甲单位不同职位月工资X1/元 1 200 1 400 1 600 1 800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X2/元 1 000 1 400 1 800 2 200 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)， 所以两家单位的工资的均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散. 因此，如果希望不同职位的工资差距小一些，可选择甲单位； 如果希望不同职位的工资差距大一些，可选择乙单位. 甲单位不同职位月工资X1/元 1 200 1 400 1 600 1 800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X2/元 1 000 1 400 1 800 2 200 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 返回 课堂小结 任务再现 1.离散型随机变量的方差、标准差.2.离散型随机变量方差的性质.3.均值与方差的实际应用 方法提炼 定义法、公式法、性质法 易错警示 方差公式记忆错误；不能理解方差的含义 随堂评价 返回 1.若随机变量X满足D(X)＝0.8，则D(2X－3)＝ A.0.2 B.0.8 C.1.6 D.3.2 因为D(X)＝0.8，所以D(2X－3)＝22×D(X)＝4×0.8＝3.2.故选D. √ 2.(多选)设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(k＝1，2，3)，则 A.E(X)＝ B.D(X)＝ C.E(3X＋1)＝7 D.D(3X＋1)＝5 依题意，得E(X)＝1×＋2×＋3×＝，则D(X)＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝，故E(3X＋1)＝8，D(3X＋1)＝5.故选ABD. √ √ √ 3.在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则方差D(ξ)的最大值为______. 依题意，得0－1分布的分布列为 则D(ξ)＝p(1－p)＝p－p2(0≤p≤1)，故当p＝时，D(ξ)取到最大值. ξ 0 1 P 1－p p 4.甲、乙两名同学在一次答题比赛中答对题数的概率分布分别如下表所示.试分析甲、乙两名同学的成绩. 甲 答对题数X甲 0 1 2 3 概率 0.1 0.2 0.4 0.3 乙 答对题数X乙 0 1 2 3 概率 0.2 0.1 0.3 0.4 解：甲、乙两人答对题数的均值分别为E(X甲)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.4＋3×0.3＝1.9， E(X乙)＝0×0.2＋1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＝1.9. 方差分别为D(X甲)＝(0－1.9)2×0.1＋(1－1.9)2×0.2＋(2－1.9)2×0.4＋(3－1.9)2×0.3＝0.361＋0.162＋0.004＋0.363＝0.89， D(X乙)＝(0－1.9)2×0.2＋(1－1.9)2×0.1＋(2－1.9)2×0.3＋(3－1.9)2×0.4＝0.722＋0.081＋0.003＋0.484＝1.29. 由上面的数据，可知E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)＜D(X乙). 这表示甲、乙两人答对题数的均值相等，但两人答对题的稳定程度不同，甲同学较稳定，乙同学波动较大. 返回 甲 答对题数X甲 0 1 2 3 概率 0.1 0.2 0.4 0.3 乙 答对题数X乙 0 1 2 3 概率 0.2 0.1 0.3 0.4 课时分层评价 返回 1.若离散型随机变量X的标准差＝8，则随机变量Y＝2X－1的标准 差为 A.8 B.15 C.16 D.32 ＝＝＝2＝2×8＝16.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若X为离散型随机变量，则“D(aX＋b)＝4D(X)”是“a＝2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 由D(aX＋b)＝a2D(X)＝4D(X)，解得a＝±2，则“D(aX＋b)＝4D(X)”是“a＝2”的必要不充分条件.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.随机变量X的取值为0，1，2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝ A. B. C. D.1 √ 设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，由题意得E(X)＝0×＋p＋2q＝1，＋p＋q＝1，解得p＝，q＝，所以D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知随机变量X的分布列为 则随机变量X的方差D(X)的最大值为 A. B. C.1 D.2 依题意，得0≤a≤1，0≤b≤1，a＋b＝1，E(X)＝a＋2b＝1＋b，则D(X)＝[1－(1＋b)]2×a＋[2－(1＋b)]2×b＝－b2＋b，当b＝，D(X)有最大值为.故选A. √ X 1 2 P a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1，2，3.分别从两个盒子中随机取一个球，用X表示两球上数字之积，X的方差为D(X)，则D(2X－1)＝ A. B. C. D. 依题意，得X的可能取值为1，2，3，4，6，9.其分布列为 所以E(X)＝＋＋＋＋＋＝4，D(X)＝(Xi－E(X))2·Pi＝，所以D(2X－1)＝22×＝.故选C. √ X 1 2 3 4 6 9 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知随机变量 X 的分布列为 且a，b，c成等差数列，下列结论正确的是 A.D(bX＋1)＝D(X) B.P(｜X｜＝1)＝0.5 C.若E(aX)＝0.08，则a＝0.1 D.a－c可能等于0.1 √ √ √ X －1 0 1 2 P a b c 0.25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，知a＋b＋c＝3b＝0.75，解得b＝0.25，a＋c＝0.5，对于A，D(X＋1)＝D(X)，故A正确；对于B，P(｜X｜＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝0.5，故B正确；对于C，E(X)＝－a＋c＋0.5＝1－2a，则E(aX)＝aE(X)＝a(1－2a)＝0.08，解得a＝0.1或a＝0.4，故C错误；对于D，当a＝0.3，c＝0.2时，a－c＝0.1，故D正确.故选ABD. X －1 0 1 2 P a b c 0.25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率p＝0.3，用随机变量X表示他一次射门的命中次数，则D(X)＝_____. 0.21 依题意知，一次射门命中次数为0或1，P(X＝0)＝1－0.3＝0.7，P(X＝1)＝0.3，因此E(X)＝0×0.7＋1×0.3＝0.3，E(X2)＝0×0.7＋1×0.3＝0.3，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝0.3－0.32＝0.21. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，又已知E(X)＝，D(X)＝，则的值为____. 因为＋＝1，所以随机变量x的值只能为x1，x2，所以＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知随机变量X的分布列为 则σ(5X＋1)＝_______. X －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 a 2a 0.4 由0.1＋0.2＋a＋2a＋0.4＝1，得a＝0.1，所以E(X)＝－2×0.1＋ (－1)×0.2＋0×0.1＋1×0.2＋2×0.4＝0.6，所以D(X)＝(－2－0.6)2×0.1＋(－1－0.6)2×0.2＋(0－0.6)2×0.1＋(1－0.6)2×0.2＋(2－0.6)2×0.4＝2.04，所以D(5X＋1)＝25D(X)＝51，所以σ(5X＋1)＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为7，8，9，10，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为2a，0.2，a，0.2，乙射中10，9，8，7环的概率分别为0.3，0.3，b，b. (1)求ξ，η的分布列； 解：依题意，得2a＋0.2＋a＋0.2＝1，解得a＝0.2. 又0.3＋0.3＋2b＝1，解得b＝0.2. 所以ξ的分布列为 η的分布列为 ξ 10 9 8 7 P 0.4 0.2 0.2 0.2 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)请根据射击环数的均值及方差来分析甲、乙的射击技术. 解：由(1)得E(ξ)＝10×0.4＋9×0.2＋8×0.2＋7×0.2＝8.8， D(ξ)＝(10－8.8)2×0.4＋(9－8.8)2×0.2＋(8－8.8)2×0.2＋(7－8.8)2×0.2＝1.36； E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7， D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＞D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，但成绩没有乙稳定. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知随机变量X的分布列如下： 则“E(X)＝”是“D(X)＝”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ X 1 2 P a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，知a＋b＝1，若E(X)＝，则a＋2b＝，得a＝，b＝，D(X)＝(－1)2×＋(－2)2×＝，故充分性满足；若D(X)＝，则(a＋2b－1)2a＋(a＋2b－2)2b＝ab2＋b(b－1)2＝－b2＋b＝，解得b＝或b＝.当b＝时，a＝，此时E(X)＝1×＋2×＝，当b＝时，a＝，此时E(X)＝1×＋2×＝，则E(X)＝或E(X)＝，故必要性不满足.故选A. X 1 2 P a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)某人欲投资10万元，有两种方案可供选择.设X表示方案一所得收益(单位：万元)，Y表示方案二所得收益(单位：万元).其分布列分别为 假定同期银行利率为1.75％，下面分析合理的是 A.投资方案一一定比存入银行收益大 B.投资方案二可能比存入银行收益小 C.如果想多赚又不想冒风险就选择方案一 D.如果想多赚又不怕风险就选择方案二 √ √ X －2 8 P 0.7 0.3 Y －3 12 P 0.7 0.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由均值和方差的计算公式，得E(X)＝－2×0.7＋8×0.3＝1(万元)，E(Y)＝－3×0.7＋12×0.3＝1.5(万元)，D(X)＝(－2－1)2×0.7＋(8－1)2×0.3＝21，D(Y)＝(－3－1.5)2×0.7＋(12－1.5)2×0.3＝47.25.由于同期银行利率为1.75％，所以若将10万元存入银行，可得利息(无风险收益)10×1.75％＝0.175(万元). X －2 8 P 0.7 0.3 Y －3 12 P 0.7 0.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从均值收益的角度来看，两种投资方案都可以带来额外的收益，但都要冒一定的风险，均有可能赔钱；故A错误，B正确；方案一的均值收益小于方案二，但方案一的风险也小于方案二.所以，如果想稳赚而不冒任何风险，就选择存入银行，故C错误；如果想多赚又不想风险太大就选择方案一；如果想多赚又不怕风险就选择方案二，故D正确.故选BD. X －2 8 P 0.7 0.3 Y －3 12 P 0.7 0.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知x，y，z∈N*，且x＋y＋z＝6，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则D(X)＝_____. x，y，z∈N*，且x＋y＋z＝6，相当于6个1之间的5个空中插入两个挡板，故共有＝10种情况.依题意，知X的可能取值为1，2，其中X＝2时，只有三个数为2，2，2，故P(X＝2)＝，则P(X＝1)＝，所以E(X)＝1×＋2×＝，D(X)＝(1－)2×＋(2－)2×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(17分)某公司计划在2025年年初将200万元用于投资，现有两个项目供选择.项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30％，也可能亏损15％，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50％，可能损失30％，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为， ，. (1)针对以上两个投资项目，请你为公司选择一个合理的项目，并说明 理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：若投资项目一，设获利为ξ1万元， 则ξ1的分布列为 所以E(ξ1)＝60×＋(－30)×＝40， 若投资项目二，设获利为ξ2万元， ξ1 60 －30 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则ξ2的分布列为 所以E(ξ2)＝100×＋0×＋(－60)×＝40， 所以E(ξ1)＝E(ξ2)， D(ξ1)＝(60－40)2×＋(－30－40)2×＝1 400， D(ξ2)＝(100－40)2×＋(0－40)2×＋(－60－40)2×＝5 600， 所以D(ξ1)＜D(ξ2)，这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该公司选择项目一进行投资. ξ2 100 0 －60 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若市场预期不变，该公司按照(1)中选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，问大约在哪一年的年底总资产(利润＋本金)可以翻两番？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 解：假设n年后总资产可以翻两番，依题意，200×(1＋)n＝800，即1.2n＝4，两边取对数，得n·lg 1.2＝lg 4，n＝≈7.610 6，2 025＋7＝2 032，所以大约在2032年年底总资产可以翻两番. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(创新题)已知随机变量ξ的分布列为 则下列说法不正确的是 A.∀a，b∈(0，1)，E(ξ)≤ B.∀a，b∈(0，1)，D(ξ)＝E(ξ2)－[E(ξ)]2 C.∃a，b∈(0，1)，D(ξ)＞ D.∃a，b∈(0，1)，D(ξ)＞E(ξ) ξ a b P b a √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，知a＋b＝1，a，b∈(0，1)，对于A，E(ξ)＝ab＋ba＝2ab≤2()2＝，当且仅当a＝b＝时取等号，故A正确；对于B，一方面D(ξ)＝(a－2ab)2·b＋(b－2ab)2·a＝ab－4(ab)2，另一方面E(ξ2)＝a2b＋b2a＝ab(a＋b)＝ab，所以E(ξ2)－[E(ξ)]2＝ab－(2ab)2＝D(ξ)，故B正确； ξ a b P b a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，D(ξ)＝ab－4(ab)2＝－4(ab－)2＋≤，故C错误；对于D，由D(ξ)－E(ξ)＝ab－4(ab)2－ab＝ab－4(ab)2＞0得ab＜，满足条件的a，b存在，故D正确.故选C. ξ a b P b a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表所示. 若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的方差为_____. 降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900 工期延误天数Y 0 2 6 10 9.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 由已知条件和概率的加法公式知，P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1.所以随机变量Y的分布列为 故E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的方差为9.8. Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 七 章 随 机 变 量 及 其 分 布 返回 $