7.3.2 离散型随机变量的方差-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

7．3．2　离散型随机变量的方差 学习目标　1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．　2.掌握离散型随机变量的方差的性质．　3.会用离散型随机变量的均值和方差解决一些实际应用问题． 一、离散型随机变量的方差 问题1　要从甲、乙两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，能否利用均值决定应派哪位同学参赛？ 若均值相等，如何判断他们的水平？ 提示：可以用均值决策，如果两个均值相等，可以利用方差来决定． 【知识提炼】　 1．定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则[xi－E(X)]2描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X). 2．意义 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． 微提醒 随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的． 例1　(1) (多选)下列说法正确的是(　　 ) A．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定 B．若a是常数，则D(a)＝0 C．离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度 D．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小 解析：选BCD.随机变量的方差越小，随机变量越稳定，所以A项错误，其余选项均正确． (2)有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如表所示： ξA 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 ξB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好). 解：E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125， E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125. D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50， D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165. 由此可见E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)<D(ξB)， 故两种材料的抗拉强度的均值相等，但稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性较好． 感悟升华　对方差、标准差概念的说明 (1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的． (2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定与波动、集中与离散程度． (3)D(X)越小，随机变量X的取值就越稳定，波动就越小． (4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 【即学即用】　1.(1)(多选)下列说法中错误的是(　　 ) A．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值 B．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平 C．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平 D．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值 解析：选ABD.E(X)综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了X取值的平均水平，D(X)反映了X取值的离散程度． (2)若随机变量X的分布列如表所示，且E(X)＝6.3，则D(X)＝(　　 ) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A．－14.39 B．7 C．5.61 D．6.61 解：选C.由题可得0.5＋0.1＋b＝1，解得b＝0.4. 又由E(X)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，解得a＝7， 所以方差D(X)＝(4－6.3)2×0.5＋(7－6.3)2×0.1＋(9－6.3)2×0.4＝5.61. 二、离散型随机变量的方差的性质 问题2　你能推导出D(X)与D(aX+b)的关系吗？ 提示：D(aX+b)＝a2D(X). 【知识提炼】　 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)． 2．若X服从两点分布B(1，p)，则D(X)＝p(1－p)． 微提醒 D(X)＝E(X2)－[E(X)]2. 例2　已知X的分布列如下： X －1 0 1 P a (1)求X2的分布列； (2)计算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值与方差． 解：(1)由分布列的性质知＋＋a＝1，故a＝. 从而X2的分布列为 X2 0 1 P (2)法一　由(1)知a＝， 所以E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－， 故D(X)＝×＋×＋×＝. 法二　由(1)知a＝，所以E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－， E(X2)＝0×＋1×＝， 所以D(X)＝E(X 2)－[E(X)]2＝. (3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11. 感悟升华　对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ).这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程． 【即学即用】　2.医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入后人体的平均体温为X ℃.医学统计发现，X的分布列如下： X 37 38 39 40 P 0.1 0.5 0.3 0.1 (1)求出E(X)，D(X)； (2)已知人体体温为X ℃时，相当于Y＝1.8X＋32 ℃，求E(Y)和D(Y). 解：(1)由题可得E(X) ＝37×0.1＋38×0.5＋39×0.3＋40×0.1＝38.4， D(X)＝(37－38.4)2×0.1＋(38－38.4)2×0.5＋(39－38.4)2×0.3＋(40－38.4)2×0.1＝0.64. (2)由Y＝1.8X＋32可知，E(Y)＝1.8E(X)＋32＝1.8×38.4＋32＝101.12， D(Y)＝1.82×D(X)＝1.82×0.64＝2.073 6. 三、方差的实际应用 例3　某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研．项目A：通信设备．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，a.项目B：新能源汽车．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c. 经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即均值)也相等． (1)求a，b，c的值； (2)若将100万元全部投资其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 解：(1)依题意得，＋＋a＝1，解得a＝. 设投到项目A，B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润， 则X1和X2的分布列分别为 X1 0.4x －0.2x 0 P X2 0.3x －0.1x P b c 所以E(X1)＝0.4x×＋(－0.2x)×＋0×＝0.2x， E(X2)＝0.3bx－0.1cx， 因为E(X1)＝E(X2)， 所以0.3bx－0.1cx＝0.2x， 即0.3b－0.1c＝0.2.① 又b＋c＝1，② 由①②，解得b＝，c＝， 所以a＝，b＝，c＝. (2)选择项目B.理由如下： 当投入100万元资金时，由(1)知x＝100， 所以E(X1)＝E(X2)＝20， D(X1)＝(40－20)2×＋(－20－20)2×＋(0－20)2×＝600， D(X2)＝(30－20)2×＋(－10－20)2×＝300. 因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从投资回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B. 感悟升华　利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤 (1)比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高． (2)在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． (3)下结论．依据方差的几何意义做出结论． 【即学即用】　3.甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位：s)，其分布列分别如下． 甲品牌的日走时误差分布列 X －1 0 1 P 0.1 0.8 0.1 乙品牌的日走时误差分布列 Y －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 (1)求E(X)和E(Y)； (2)求D(X)和D(Y)，并比较两种品牌手表的性能． 解：(1)E(X)＝－1×0.1＋0×0.8＋1×0.1＝0， E(Y)＝－2×0.1－1×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0. (2)由(1)知E(X)＝0， 所以D(X)＝(－1－0)2×0.1＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.1＝0.2. 又E(Y)＝0， 所以D(Y)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2. 所以E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)， 所以两品牌手表的误差平均水平相当，但是甲品牌的手表走时更稳定． 1．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a b 且E(X)＝1，则随机变量X的方差D(X)等于(　　) A． B．0 C．1 D． 解析：选D.根据所给分布列，可得＋a＋b＝1，由E(X)＝1，可得a＋2b＝1，∴a＝b＝， ∴随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P ∴D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝. 2．已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)等于(　　 ) A．6 B．8 C．18 D．20 解析：选C.∵D(X)＝2，∴D(3X＋2)＝9D(X)＝18. 3．设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且P(A)＝m，令随机变量X＝则X的方差D(X)等于(　　 ) A．m B．2m(1－m) C．m(m－1) D．m(1－m) 解析：选D.由题意得X服从两点分布，P(X＝1)＝m，P(X＝0)＝1－m，所以D(X)＝m(1－m). 4．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的方差D(X)＝________． 解析：X的所有可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝， 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝， D(X)＝×＋×＋×＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$