7.3.1 离散型随机变量的均值-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的均值，通过“西瓜重量”实例导入，引导学生从具体问题抽象出均值定义，衔接分布列知识，构建从具体到抽象的学习支架，帮助理解均值的加权平均本质。 其亮点是以数学抽象、数学运算、数学建模为核心素养导向，结合“取球问题”“比赛得分预测”等实例，通过典例解析与分层练习培养能力。小结系统梳理知识方法与易错点，学生能夯实基础提升应用能力，教师可高效开展教学。

7.3.1　离散型随机变量的均值 　 第七章 7.3　离散型随机变量的数字特征 学习目标 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的概念，能计算 简单离散型随机变量的均值，培养数学抽象、数学运算、数 学建模的核心素养.　 2.掌握两点分布的均值.　 3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题，提 升数学运算、数学建模的核心素养. 任务一　离散型随机变量的均值 1 任务二　离散型随机变量均值的性质 2 任务三　离散型随机变量的均值的实际应用 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　离散型随机变量的均值 返回 (阅读教材P62－63，完成探究问题1、2) 已知有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的 有3个，重7 kg的有5个. 问题1.任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，X的 取值有哪些？ 提示：5，6，7 问题2.如何求西瓜的平均重量？ 提示：＝＝5×＋6×＋7×＝ kg. 问题导思 1.离散型随机变量的均值或数学期望 一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示. 新知构建 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称_________________________________为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi 2.两点分布的均值 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝___. p 离散型随机变量的均值和样本的平均值相同吗？ 提示：不相同，离散型随机变量的均值是一个常数，他不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本的不同而变化. 微思考 (链教材P63例2)一个袋子里装有编号1，2，3的3个红球与编号1，2的2个黄球，从中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同.若取后不放回，设取完黄球所需的次数为X，求X的分布列及均值. 解：依题意，知X的可能取值为2，3，4，5. 当X＝2时，表示前2次取的都是黄球， 所以P(X＝2)＝＝， 当X＝3时，表示前2次中取得1个黄球，1个红球，第3次取得黄球， 所以P(X＝3)＝＝， 典例 1 当X＝4时，表示前3次中取得1个黄球，2个是红球，第4次取得黄球， 所以P(X＝4)＝＝， 当X＝5时，表示前4次中取得1个黄球，3个是红球，第5次取得黄球， 所以P(X＝5)＝＝. 所以X的分布列为 所以E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4. X 2 3 4 5 P (变条件)在本例中，从袋中同时取出2个球.求2球的编号之和Y的均值. 解：依题意，知Y的可能取值为2，3，4，5. 所以当Y＝2时，表示2球的编号都是1， 所以P(Y＝2)＝＝， 当Y＝3时，表示2球的编号一个是1，一个是2，所以P(Y＝3)＝＝＝， 变式探究 当Y＝4时，表示2球的编号一个是1，一个是3；或表示2球的编号一个是2，另一个也是2， 所以P(Y＝4)＝＝， 当Y＝5时，表示2球的编号一个是2，一个是3，所以P(Y＝5)＝＝＝. 所以Y的分布列为 所以E(Y)＝2×＋3×＋4×＋5×＝. Y 2 3 4 5 P 规律方法 求离散型随机变量X的均值的步骤 对点练1.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池.若无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值. 解：依题意，知X的可能取值为1，2，3. 则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝××1＝. 所以抽取次数X的分布列为 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝. X 1 2 3 P 返回 任务二　离散型随机变量均值的性质 返回 (阅读教材P64－65，完成探究问题3、4、5) 已知X是离散型随机变量，设Y＝aX＋b(其中a，b是常数). 问题3.Y是离散型随机变量吗？Y的取值有哪些？ 提示：Y是离散型随机变量，其取值分别为ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b. 问题4.Y取每一个值的概率与X取每个值的概率有何关系？ 提示：因为Y＝aX＋b， 所以P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi). 问题5.能写出Y的分布列吗？ 提示：Y的分布列为 问题导思 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 离散型随机变量的均值的性质 1.若Y＝X＋b，其中b是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(X＋b)＝___________. 2.若Y＝aX，其中a是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX)＝_________. 3.若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝____________. 新知构建 E(X)＋b aE(X) aE(X)＋b 在Y＝aX＋b中，若a＝1，则E(Y)＝E(X)＋b，你能解释其意义吗？ 提示：若每个数据xi都加上b，则其均值也应该加上b. 微思考 已知随机变量X的分布列为 设Y＝3X－2，则E(Y)＝ A. B.－ C. D.－ 典例 2 X 0 1 2 P m √ 解析：法一：依题意，知＋＋m＝1，解得m＝.随机变量Y的分布 列为 所以E(Y)＝－2×＋1×＋4×＝.故选A. 法二：由题知，＋＋m＝1，解得m＝，由随机变量X的分布列可得E(X)＝0×＋1×＋2×＝，而Y＝3X－2，所以E(Y)＝3E(X)－2＝3×－2＝.故选A. Y －2 1 4 P 规律方法 求随机变量η＝aξ＋b的均值的方法 1.定义法：先列出η的分布列，再求均值. 2.性质法：直接套用公式：E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可. 对点练2.(1)已知离散型随机变量X的分布列如下，若E(3X＋4)＝5，则 a＋b＝ A. B.1 C. D. X －1 0 a 2 P b √ 依题意，知＋b＋＋＝1，解得b＝，因为E(3X＋4)＝5，所以3E(X)＋4＝5，即E(X)＝，则E(X)＝－1×＋0×＋a×＋2×＝，解得a＝1，所以a＋b＝.故选C. X －1 0 a 2 P b (2)设随机变量X的分布列如下： 则E(X2)＝____. X －1 0 1 P X2的分布列如下： 则X2服从两点分布，故E(X2)＝. X2 1 0 P 返回 任务三　离散型随机变量的均值的实际应用 返回 (链教材P65例4)为了丰富学生的课余生活，某校决定举办竞技比赛.比赛分为“无人机表演”和“机器人操作”两个项目，选手两个比赛项目的顺序自选，若第一个项目不过关，则淘汰；若第一个项目过关则进行第二个项目比赛，无论第二个项目是否合格，比赛都结束.“无人机表演”比赛合格得4分，否则得0分；“机器人操作”比赛合格得6分，否则得0分.已知博文同学参加“无人机表演”比赛合格的概率为0.8，参加“机器人操作”比赛合格的概率为0.7. (1)若博文同学先进行“无人机表演”比赛，记X为博文同学的累计得分，求X的均值； 典例 3 解：依题意，得X的可能取值为0，4，10. 所以P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝4)＝0.8×(1－0.7)＝0.24，P(X＝10)＝0.8×0.7＝0.56. 所以X的分布列为 所以E(X)＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56. X 0 4 10 P 0.2 0.24 0.56 (2)为使累计得分的均值最大，博文同学应选择先进行哪项比赛？并说明 理由. 解：若博文同学先进行“机器人操作”比赛，记Y为博文同学的累计得分，Y的可能取值为0，6，10. 所以P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3，P(Y＝6)＝0.7×(1－0.8)＝0 14，P(Y＝10)＝0.7×0.8＝0.56. 所以Y的分布列为 所以E(Y)＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44， 因为E(X)＞E(Y)，所以博文同学应该选择先进行“无人机表演”比赛. Y 0 6 10 P 0.3 0.14 0.56 规律方法 1.实际问题中的均值问题 均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计. 2.概率模型的三个解答步骤 第1步，审题：确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些； 第2步，确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值； 第3步，对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论. 对点练3.某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等. (1)假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗糖果的单价(元/kg)，求X的分布列. 解：依题意，得X的可能取值为18，24，36. 所以P(X＝18)＝， P(X＝24)＝， P(X＝36)＝. 所以X的分布列为 X 18 24 36 P (2)如何对混合糖果定价才合理？ 解：由(1)可知：E(X)＝18×＋24×＋36×＝23(元/kg)， 所以混合糖果定价23元/kg才合理. 返回 课堂小结 任务再现 1.离散型随机变量的均值.2.离散型随机变量均值的性质.3.离散型随机变量的均值的实际应用 方法提炼 定义法、公式法、性质法、数学建模 易错警示 均值公式及性质记忆错误；不会应用均值对实际问题做出正确分析 随堂评价 返回 1.已知随机变量X的均值为E(X)＝3，则E(3X＋2)＝ A.9 B.11 C.27 D.29 因为E(X)＝3，所以E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×3＋2＝11.故选B. √ 2.(多选)随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列 如表： 则下列正确的是 A.E(X)＝12 B.E(X)＝ C.m＝ D.n＝ 根据分布列可知m＋n＝1－－＝①，因为Y＝12X＋7，所以E(Y)＝12E(X)＋7＝34，解得E(X)＝，又由分布列可得1×＋2×m＋3×n＋4×＝，整理得2m＋3n＝②，①②联立解得m＝，n＝.故选BCD. √ √ √ X 1 2 3 4 P m n 3.已知随机变量X取所有值1，2，…，n是等可能的，且E(X)＝2，则n＝___. 3 依题意，得P(X＝1)＝P(X＝2)＝…＝P(X＝n)＝，所以E(X)＝(1＋2＋…＋n)×＝×n×＝＝2，解得n＝3. 4.马老师从课本上抄录一个随机变量X的概率分布列，如下表： 尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同.据此你能求X的数学期望吗？如果能，求出E(X)，如果不能，说明理由. 解：令？的数字是m，则！的数值是1－2m， 所以E(X)＝1×m＋2(1－2m)＋3m＝2. 返回 X 1 2 3 P ？ ！ ？ 课时分层评价 返回 1.若X是离散型随机变量，则E[X－E(X)]＝ A.E(X) B.2E(X) C.0 D.[E(X)]2 E[X－E(X)]＝E(X)－E(X)＝0. 故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.随机变量X的分布列如下： 若E(X)＝，则a的值是 A. B. C. D. √ X －1 0 1 P a b 依题意，知E(X)＝－1×a＋0×＋b＝①，a＋＋b＝1②，联立① ② ，解得a＝，b＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.抛掷2枚硬币，反面朝上的个数为X，则X的均值是 A. B.1 C. D. √ 依题意，知X的可能取值为0，1，2.而P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝.则E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失 2 000元；若不出海，要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是 A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 600元 出海的期望效益E(X)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元).故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则均值E(X)＝ A. B.1 C. D. 依题意，知X＝1，2，3.所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.所以X的分布列为 E(X)＝1×＋2×＋3×＝.故选C. √ X 1 2 3 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)＜p＜1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有 A.P(X＝2)的值最大 B.P(X＝0)＜P(X＝1) C.E(X)随着p的增大而减小 D.E(X)随着p的增大而增大 √ √ X 0 1 2 P p－p2 1－p p2 由＜p＜1，取p＝，则P(X＝2)＝，P(X＝1)＝1－＝＞，故A错误；因为＜p＜1，所以p－p2＝p(1－p)＜1－p，即P(X＝0)＜P(X＝1)，故B正确；E(X)＝(1－p)＋2p2＝2(p－)2＋，因为＜p＜1，所以E(X)随着p的增大而增大，故C错误，D正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记X表示该医生在一次模拟手术中的得分，且有X＝则E(X)＝____. 设模拟手术失败的概率为x，即P(X＝0)＝x，则成功的概率为P(X＝1)＝9x，因为P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，解得P(X＝1)＝，P(X＝0)＝，则E(X)＝1×＋0×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(双空题)设随机变量ξ的分布列如下，其中a1，a2，a3成等差数列，且a1，a2，a3∈(0，1). 则a2＝_____；符合条件的E(ξ)的一个值为_______________. 依题意，知所以a2＝，所以E(ξ)＝0×a1＋1×a2＋2×a3＝＋2a3，a3∈(0，)，所以E(ξ)∈(，)，符合条件的E(ξ)的一个值为1. ξ 0 1 2 P a1 a2 a3 　 1(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏.游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀.每一局游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独立.在一局游戏中某人赢1个人得1分，赢2个人得3分，其他情况得0分.设一局游戏后3人总得分为ξ，则随机变量ξ的均值E(ξ)的值为___. ξ的可能取值为0，2，3.所以P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.所以ξ的分布列为 所以E(ξ)＝0×＋2×＋3×＝. ξ 0 2 3 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)由0，1，2，3这四个数组成无重复数字的四位数中. (1)求两个奇数相邻的四位数的个数(结果用数字作答)； 解：两个奇数相邻的无重复数字的四位数有如下三种情况： ①0在个位上时有＝4个四位数，②0在十位上时有＝2个四位数， ③0在百位上时有＝2个四位数， 所以满足条件的四位数的个数共有4＋2＋2＝8个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)记夹在两个奇数之间的偶数个数为X，求X的分布列与均值. 解：由题意，知夹在两个奇数之间的偶数个数X的可能取值为0，1，2. 则P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝. X 0 1 2 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，且对称轴在y轴的右侧，其中a，b，c∈{－2，－1，0，1，2}.在这些抛物线中，记随机变量X为｜a＋b｜的取值，则X的均值E(X)＝ A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对称轴在y轴的右侧，即a与b异号，且开口向下，所以a＜0，b＞0，所以a可取－2，－1，b可取1，2，这样的抛物线有2×2×5＝20条；X可取的值有0，1，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝.故E(X)＝0×＋1×＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)随机地向4个器皿内投放4种不同的食物给4只小狗喂食，设所投放的食物均落在器皿内，随机变量X为空器皿个数，则下列说法正确的是 A.随机变量X的取值为1，2，3 B.P(X＝2)＝ C.P(X＝3)＝ D.E(X)＝ √ √ 依题意，得随机变量X的可能取值为0，1，2，3，故A错误；则P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故B错误，C正确；又P(X＝1)＝＝，P(X＝0)＝＝，所以E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝.故D正确.故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(双空题)为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、武术类三个体育社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三位同学参加的社团各不相同的概率为____，记三位同学所参加的社团种类的个数为X，则E(X)＝___. 　 三位同学选择社团的总数为33＝27种，三位同学参加的社团各不相同的种类数是＝6种，所以三位同学参加的社团各不相同的概率为＝；依题意，知X的所有可能取值为1，2，3.则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.则E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质，基地收益情况如下表： 若基地额外聘请工人，则可在下周一当天完成全部采摘任务，无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36. (1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益. 下周一 无雨 无雨 有雨 有雨 下周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：设下周一无雨的概率为p. 依题意，知p2＝0.36，p＝0.6. 基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5. 所以P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16. 所以基地收益X的分布列为 基地的预期收益E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4. 所以基地的预期收益为14.4万元. X 20 15 10 7.5 P 0.36 0.24 0.24 0.16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)该基地是否应该外聘工人？请说明理由. 解：设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a， E(Y)－E(X)＝1.6－a. 综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；当成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，外聘工人或不外聘工人均 可以. 下周一 无雨 无雨 有雨 有雨 下周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)如图，某考古队在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂空间，且有4个形状、大小均相同的入口1，2，3，4，其中只有1个入口可以打开，其他的是关闭的.现让一个机器狗从点O出发探路，从4条路线中任选一条寻找打开的入口，找到后直接进入古墓，若未找到，则沿原路返回到出发点，继续重新寻找.若该机器狗是有记忆的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次，且每次选哪条路线是等可能的，则它能够进入古墓的总尝试次数的均值是 A. B.2 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为X，则X的可能取值为1，2，3，4.所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)(创新题)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，所得的向上的点数分别记为a，b，设[x]表示不超过实数x的最大整数，［］的值为随机变量X. (1)求在X＞0的条件下，X＝的概率； 解：记抛掷骰子的样本点为(a，b)，则样本空间为{(a，b)｜1≤a≤6，1≤b≤6，a，b∈N}，样本空间容量为36， 设事件A为：X＞0，事件B为：X＝， 则A为{(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(2，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(6，2)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(4，4)，(5，4)，(6，4)，(5，5)，(6，5)，(6，6)}，其包含的样本点数为21， AB＝{(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(2，2)，(4，2)，(6，2)，(3，3)，(6，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，其包含的样本点数为14， 根据条件概率得P(B｜A)＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求X的分布列及其均值. 返回 解：随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝. 所以其分布列为 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝. X 0 1 2 3 4 5 6 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 七 章 随 机 变 量 及 其 分 布 返回 $