7.3.1 离散型随机变量的均值-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

7．3　离散型随机变量的数字特征 7．3.1　离散型随机变量的均值 学习目标　1.掌握离散型随机变量的均值的概念和性质．　2.掌握两点分布的均值．　3.会利用离散型随机变量的均值和性质，解决一些相关的实际问题． 一、离散型随机变量的均值 问题1　某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？定价多少？ 提示：按照加权平均数定价更合理，定价＝18×＋24×＋36×＝23元/kg. 【知识提炼】　 1．定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望． 2．意义 它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 3．两点分布的均值 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p． 例1　从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同．若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值． 解：由题意知X的可能取值为2，3，4，5. 当X＝2时，表示前2次取的都是红球， ∴P(X＝2)＝＝. 当X＝3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取得红球，∴P(X＝3)＝＝. 当X＝4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球，∴P(X＝4)＝＝. 当X＝5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5次取得红球，∴P(X＝5)＝＝. ∴X的分布列为 X 2 3 4 5 P ∴E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4. 感悟升华　求离散型随机变量ξ的均值的步骤 【即学即用】　1.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值． 解：X的取值分别为1，2，3，4. X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6； X＝2，表明李明第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28； X＝3，表明李明第一、二次考试未通过，第三次考试通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096； X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024. 所以李明一年内参加考试次数X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544. 二、离散型随机变量均值的性质 问题2　若X，η都是离散型随机变量，且η＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么E(η)与E(X)有怎样的关系？ 提示：X，η的分布列为 X x1 x2 … xi … xn η ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 则E(η)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b. 【知识提炼】　 如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b． 例2　已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P m (1)求m的值； (2)若Y＝－2X，求随机变量Y的均值． 解：(1)由随机变量分布列的性质， 得＋＋＋m＋＝1，解得m＝. (2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. 由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，则E(Y)＝－2×(－)＝. 变式探究　(1)本例条件不变，若“Y＝－2X”改为“Y＝2X－3”， 求E(Y). 解：方法一　由本例知E(X)＝－，则E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×(－)－3＝－. 方法二　因为Y＝2X－3，所以Y的分布列如表： Y －7 －5 －3 －1 1 P 故E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－. (2)本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－，求a的值． 解：因为ξ＝aX＋3，E(ξ)＝－，E(X)＝－， 所以E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－， 解得a＝15. 感悟升华　求随机变量η＝aξ＋b的均值的方法 (1)定义法：先列出η的分布列，再求均值． (2)性质法：直接套用公式E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b求解即可． 三、离散型随机变量均值的应用 例3　某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱重量为5 kg)，某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表所示： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 10 15 15 10 (1)用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均值E(ξ)； (2)利用样本估计总体，该地提出两种购销方案供采购商参考： 方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg； 方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如表所示： 等级 珍品 特级 优级 一级 售价(元/kg) 25 20 15 10 从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案？ 解：(1)用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，特级品的箱数为10×＝3，非特级品的箱数为10－3＝7，所以ξ的所有可能取值为0，1，2，3. P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， 则ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (2)方案一的单价为20元/kg， 设方案二的单价为η，则η的均值为E(η)＝25×＋20×＋15×＋10×＝17.5， 因为17.5<20，所以从采购商节约资金的角度考虑，应该采用方案二． 感悟升华　实际问题中的均值解题步骤 (1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，列出分布列；(3)利用公式求出相应均值． 【即学即用】　2.冰壶是冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负．甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分；冰壶的重心落在圆环A中，得2分；冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响．甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，. (1)求甲、乙两人所得分数相同的概率； (2)甲、乙各掷一次，设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望． 解：(1)由题意知甲得0分的概率为1－－－＝， 乙得0分的概率为1－－－＝， 所以甲、乙两人所得分数相同的概率为×＋×＋×＋×＝. (2)X可能取值为0，1，2，3，4，5，6， 则P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝×＋×＝， P(X＝2)＝×＋×＋×＝， P(X＝3)＝×＋×＋×＋×＝， P(X＝4)＝×＋×＋×＝， P(X＝5)＝×＋×＝， P(X＝6)＝×＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝. 1．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望E(X)＝(　　) A． B．2 C． D．3 解析：选A.E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 2．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.2 0.5 m 则X的均值是(　　) A．2 B．2.1 C.2.3 D．随m的变化而变化 解析：选B.由0.2＋0.5＋m＝1，得m＝0.3， ∴E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1. 3．已知Y＝4X＋7，E(Y)＝15，则E(X)等于(　　 ) A．67 B．11 C．2 D．1 解析：选C.E(Y)＝4E(X)＋7＝15，则E(X)＝2. 4．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，甲、乙两人解题互不影响，设解出该题的人数为X，则E(X)＝________． 解析：记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，则X的所有可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝P()＝P()P()＝(1－)×(1－)＝， P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝， P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$