6.3.2 二项式系数的性质-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦二项式系数的性质，涵盖对称性、增减性与最大值、各系数和等核心知识点，通过问题导思展示杨辉三角前几项，引导学生观察规律，衔接二项式定理，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学文化（杨辉三角历史）与问题驱动，通过典例（如赋值法求系数和）、变式探究提升逻辑推理和数学运算素养，规律方法总结助学生提炼解题策略，分层评价方便教师教学，促进学生能力发展。

6.3.2　二项式系数的性质 　 第六章 计数原理 学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的各 项的二项式系数.　 2.理解二项式系数的性质并灵活运用，提升逻辑推理、数学运 算的核心素养.　 3.掌握“赋值法”并会灵活应用，提升数学运算的核心素养. 任务一　二项式系数的性质 1 任务二　二项式系数的性质的综合应用 2 课时分层评价 4 内容索引 随堂评价 3 任务一　二项式系数的性质 返回 (阅读教材P31－33，完成问题探究1、2) (a＋b)n展开式的二项式系数，，，…，可表示成如下形式， (a＋b)1………………………… 1　1 (a＋b)2……………………… 1　2　1 (a＋b)3…………………… 1　3　3　1 (a＋b)4………………… 1　4　6　4　1 (a＋b)5……………… 1　5　10　10　5　1 问题1.每一行中，与首末等距离的二项式系数有怎样的关系？ 提示：相等. 问题2.当n＝6时，你能否写出展开式的二项式系数？ 提示：分别是1，6，15，20，15，6，1. 问题导思 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由____________得到.直线r＝将函数f (r)＝的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. 新知构建 2.增减性与最大值 因为＝＝＝，即＝，所以， (1)当＞1，即k＜时，随k的增加而______；由对称性知，当k＞时，随k的增加而______. (2)当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值. 增大 减小 3.各二项式系数的和 (1)＋＋＋…＋＝____. (2)＋＋＋…＝＋＋＋…＝_______. 2n 2n－1 我们知道若集合A含有n个元素，则A的子集个数为2n，你能从这一角度解释2n＝＋＋＋…＋吗？ 提示：求A的子集个数时，可以按照子集中含有元素的个数进行分类：没有元素的子集(即空集)有个，含1个元素的子集有个，含2个元素的子集有个，…，含n个元素的子集有个，故所有子集的个数为＋＋＋…＋＝2n. 微思考 (1)(1＋2x)n(n∈N＋)的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，则n为 A.10 B.11 C.12 D.13 因为(1＋2x)n(n∈N＋)的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，所以解得n＝11.故选B. √ 典例 1 (2)(双空题)(x＋)n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含x6的项是_______；所有二项式系数的和为_______. 因为(x＋)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式中共有11项，所以n＝10，故(x＋)10展开式的通项为Tk＋1＝·x10－k·2k·x－k＝2k··x10－2k.令10－2k＝6，解得k＝2，故展开式中含x6的项是22··x6＝180x6.(x＋)10展开式中的所有二项式系数的和为210＝1 024. 180x6 1 024 规律方法 二项式系数的最大项问题 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论： 1.当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大. 2.当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 对点练1.(1)已知(x－)n展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为 A.－120 B.－20 C.15 D.20 依题意可得2n＝64，解得n＝6，则(x－)6展开式的通项为x6－k(－)k＝(－1)kx6－2k.令6－2k＝0，得k＝3，所以常数项为x6－3(－)3＝－＝－20.故选B. √ (2)已知(mx＋1)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中x3项的系数为448，则实数m的值为___. 返回 2 第5项的二项式系数为，由于只有最大，所以n＝8，展开式中x3项的系数为448，即m3＝448⇒m＝2. 任务二　二项式系数的性质的综合应用 返回 角度1　二项展开式的系数和问题 设(2－3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值： (1)a0； 解：在(2－3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100中， 令x＝0，得a0＝2100. 典例 2 (2)a1＋a2＋a3＋…＋a100； 解：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100＝1，　① 所以a1＋a2＋…＋a100＝1－2100. (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99. 解：令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a99＋a100＝(2＋3)100＝5100，② ①②两式相减，得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝. (2)a1＋a2＋a3＋…＋a100； 解：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100＝1，　① 所以a1＋a2＋…＋a100＝1－2100. (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99. 解：令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a99＋a100＝(2＋3)100＝5100，② ①②两式相减，得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝. 1.(变设问)本例条件不变，求｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a100｜的值. 解：对(2－3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，其展开式的通项为Tk＋1＝2100－k(－3x)k＝(－3)k×2100－kxk， 所以x是奇数次方的项的系数为负，x是偶数次方的项的系数为正， 所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a100｜＝a0－a1＋a2－a3＋…－a99＋a100＝5100. 变式探究 2.(变设问)本例条件不变，求(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2的值. 解：(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a99)2 ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…－a99＋a100) ＝1×5100＝5100. 规律方法 赋值法求二项展开式中的系数和 1.对于形如(ax＋b)n(a，b∈R，n∈N*)的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令x＝1即可；求形如(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. 2.一般地，若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 3.处理二项展开式的系数和问题，要结合代数式特点灵活赋值. 角度2　二项展开式中系数最大问题 已知(x＋)n，(n≥4，n∈N*)的二项式系数之和为4 096. (1)求展开式中的常数项； 解：因为(x＋)n，(n≥4，n∈N*)的二项式系数之和为4 096. 所以2n＝4 096＝212，解得n＝12， 所以展开式的通项为Tk＋1＝x12－k()k＝2－kx12－3k. 令12－3k＝0，解得k＝4，所以展开式的常数项为T5＝2－4x0＝. 典例 3 (2)求展开式中系数最大项. 解：设展开式中第k＋1项的系数最大， 则 可得≤k≤. 因为k∈N*，所以k＝4，所以系数最大的项为T5＝2－4x0＝. 规律方法 求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用不等式组法.设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数最大的项. 对点练2.(1)(多选)对任意实数x，有(2x－3)8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a8(x－1)8，下列结论成立的是 A.a0＝－1 B.a0＝1 C.a0＋a1＋a2＋…＋a8＝1 D.a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38 对于A，B，令x＝1，得a0＝(2－3)8＝1，故A错误；B正确；对于C，令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(4－3)8＝1，故C正确；对于D，令x＝0，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝(－3)8＝38，故D正确.故选BCD. √ √ √ (2)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为_____. 依题意可得a＝＝70，又展开式的通项为Tk＋1＝2kxk，设第k＋1项的系数最大，则即 解得求得k＝5或6，此时，b＝7×28，所以＝＝. [教材拓展1]　杨辉三角 杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载.在欧洲，这个表被叫做帕斯卡三角，帕斯卡的发现要比杨辉晚400年左右.下面介绍中学阶段常用到的8个性质，给大家分享一下. 杨辉三角的常见性质： (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1. (2)第n行的第k＋1个数是＝. (3)从第二行起，不在两端的任意一个数，都等于它肩上的两个数相加，即＝＋. (4)当k＜ 时，二项式系数是逐渐变大的；当k＞ 时，二项式系数是逐渐变小的. (5)当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大， 当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. (6)第n行数的和为2n，即＋＋＋…＋＝2n. (7)第n行奇数项之和等于偶数项之和，即＋＋…＝＋＋…＝2n－1. (8)自腰上的某个1开始平行于腰上的每一条直线上的连续个数之和等于最后一个数斜右下方的那个数，即＋＋＋…＋＝. (1)(多选)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，下列结论正确的是 A.第n行的第k(k≤n)个位置的数是 B.1＋＋＋＝ C.第2 024行的第1 012个数最大 D.第28行中第5个数与第6个数的比值为 典例 4 √ √ 对于A，由杨辉三角可得，第n行的第 k(k≤n)个位置的数是，故A正确； 对于B，因为1＋＋＋＝＋ ＋＋＝＋＋＝＋＝， 所以1＋＋＋＝，故B正确；对于C，因为第2 024行的第k(k≤2 025)个位置的数是，由组合数性质可知：的最大值，所以第2 024行的第1 013个数最大，故C错误；对于D，第28行中第5个数与第6个数的比值为＝，故D错误.故选AB. (2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…记这个数列前n项和为S(n)，则S(13)＝______. 111 由“杨辉三角”的性质，得S14＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝(＋＋…＋)＋(＋＋…＋)＝(2＋3＋…＋8)＋(＋＋…＋)＝＋(＋＋…＋)＝35＋(＋＋…＋)＝…＝35＋＝35＋＝119，所以S13＝S14－＝119－8＝111. 返回 课堂小结 任务再现 1.二项式系数的性质.2.二项展开式的系数和及系数最值项问题 方法提炼 通项公式法、赋值法、不等式组法 易错警示 混淆项的系数与二项式系数；不能正确判断中间项的个数 随堂评价 返回 1.(x－1)5的展开式中，所有二项式的系数和为 A.0 B.25 C.1 D.26 (x－1)5的展开式中所有二项式的系数和为＋＋＋＋＋＝25.故选B. √ 2.(多选)若(x－2)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可能是 A.6 B.7 C.8 D.9 当n为偶数时，若n＝8，第5项二次项系数最大；当n为奇数时，若n＝7，第4、5项二次项系数最大，合乎题意；若n＝9，第5、6项二次项系数最大，合乎题意；故n的值为7，8，9.故选BCD. √ √ √ 3.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载.如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是 A.14 B.15 C.16 D.17 √ 由杨辉三角知：由此可得第n行，第k(1≤k≤n＋1)个数为，所以第15行第15个数是＝＝15.故选B. 4.(双空题)已知二项式(2x＋1)n＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的所有项的系数和为243，则n＝___；a2＝____. 返回 由已知有(2x＋1)n＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，且an＋an－1＋…＋a1＋a0＝243.对展开式式中令x＝1得3n＝an＋an－1＋…＋a1＋a0，所以3n＝243，得n＝5.所以(2x＋1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0.由二项式定理可知，a2＝×25－3×13＝10×4×1＝40. 5 40 课时分层评价 返回 1.设(x＋2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则 a0＝ A.1 B.2 C.63 D.64 令x＝0得26＝a0＝64.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知(x－)n的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是 A.－1 B.1 C.64 D.36 √ 依题意(－2)2＝2n(n－1)＝60，注意到n是正整数，所以解得n＝6，则展开式所有项系数和是(1－2)6＝1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的二项式系数最大的项为 A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第4项和第5项 √ 依题意，偶数项的二项式系数之和为＝128，得n＝8，则二项展开式共有9项，展开式的二项式系数最大的项就是第5项.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若(1＋mx)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，且a1＋a2＋a3＋a4＝15，则实数m的值为 A.1 B.－3 C.1或－3 D.1或3 取x＝1，得(1＋m)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，取x＝0，得14＝a0，因此a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋m)4－1＝15，解得m＝1或－3.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(1－x)10的展开式中，系数最小的项是 A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 依题意，(1－x)10的展开式的通项为Tk＋1＝(－x)k＝(－1)kxk (0≤k≤10，k∈N)，其系数为(－1)k，当k为奇数时，(－1)k才能取得最小值，又由二项式系数的性质可知，是{}的最大项，所以当k＝5时，(－1)k取得最小值，即第6项的系数最小.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论中正确的是 A.a0＝－1 B.a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2 C.a1＋a3＋a5＝－122 D.＋＋＋＋＝1 √ √ 在(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5中，对于A，令x＝0，得a0＝1，故A错误；对于B，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1，因此a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2，故B正确；对于C，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝243，则a1＋a3＋a5＝＝－122，故C正确；对于D，令x＝，得a0＋＋＋＋＋＝0，则＋＋＋＋＝－1，故D错误.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知(1＋2x)n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的二项式系数之和为_______. 1 024 依题意可得，＝，所以n＝10，则(1＋2x)n的二项式系数之和为210＝1 024. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若x9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，则a1＋a2＋…＋a9＝______. 令x＝1，得a0＝1，再令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝29＝512，所以a1＋a2＋…＋a9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9－a0＝512－1＝511. 511 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.“杨辉三角”揭示了二项展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则在第211行中最大数为__________(用符号表示即可). 、 依题意，第211行中各数是二项式(a＋b)211展开式的二项式系数，最大数为中间相等的两项，即. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知(x2－)n的二项展开式中，前三项的二项式系数的和为46. (1)求展开式中所有项的系数的和； 解：因为(x2－)n的二项展开式中前三项的二项式系数的和为46，所以＋＋＝46， 即1＋n＋＝46，n2＋n－90＝0， 解得n＝9或n＝－10(舍). 令x＝1，则(x2－)9＝(－1)9＝－1， 所以展开式中所有项的系数的和为－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求展开式中的常数项. 解：由(1)知二项式为(x2－)9， 所以二项展开式的通项为Tk＋1＝(x2)9－k·(－)k＝(－2)k，k＝0，1，2，…，9， 令18－k＝0，解得k＝8， 所以展开式中的常数项为T9＝·(－2)8＝2 304. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知(2x－)n的展开式中各项的二项式系数之和为M，各项的系数之和为N，若M－N＝63，则展开式中的常数项为 A.60 B.180 C.240 D.280 √ (2x－)n的展开式中各项的二项式系数之和M＝2n.对于(2x－)n，令x＝1，则N＝(2×1－)n＝1.由M－N＝2n－1＝63，解得n＝6.所以(2x－)6的展开式的通项公式为Tk＋1＝(2x)6－k(－)k＝(－1)k×26－kx6－3k.令6－3k＝0，则k＝2，所以(2x－)6的展开式中的常数项为T3＝(－1)2×24×＝240.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)设x8＝a0＋a1(x＋t)＋a2(x＋t)2＋a3(x＋t)3＋…＋a8(x＋t)8，若a1＝8，则 A.t＝1 B.a2＝28 C.a0＋a1＋a2＋…＋a8＝0 D.a2＋a4＋a6＋a8＝127 √ √ 由于x8＝[－t＋(x＋t)]8，所以a1＝(－t)7＝－8t7＝8，所以t＝－1，a2＝(－t)6＝28t6＝28，故A错误，B正确；x8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a8(x－1)8，令x＝1，可得a0＝1，令x＝2，可得28＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a8，令x＝0，可得0＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8，相加可得a2＋a4＋a6＋a8＝－a0＝128－1＝127，故C错误，D正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.设(1＋x)m＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…(m，n为正整数)对任意实数x都成立，若a1＝11，则a2的最小值为_____. 25 a1＝＋＝m＋n＝11，则a2＝＋＝＋＝＝55－mn＝55－m(11－m)＝(m－)2＋，m，n∈N*，当m＝5或6时，a2的最小值是25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)已知(x＋)2n(n∈N*)的展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且展开式中第二项系数为20. (1)求实数a的值； 解：因为二项式系数最大的项为第6项，所以2n＋1＝2×6－1＝11，解得n＝5， 所以(x＋)10展开式的通项为Tk＋1＝x10－k()k＝ak(0≤k≤10，k∈N)， 而展开式中第二项系数为20，从而a＝10a＝20，解得a＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求展开式中的常数项； 解：由(1)可知，(x＋)10展开式的通项为Tk＋1＝x10－k()k＝2k(0≤k≤10，k∈N)， 令10－k＝0，解得k＝6， 故所求为26＝64×210＝13 440. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)求展开式中系数最大的项. 解：设展开式中系数最大的项为第k＋1项， 则 即 即 解得≤k≤，所以k＝7， 所以展开式中系数最大的项为T8＝27＝128×120＝15 360. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)设An＝(1＋x)n，Bn＝A1＋A2＋…An，则B2 025中x3的系数为 A. B. C. D. √ 依题意，B2 025＝A1＋A2＋…A2 025＝(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)2 025，对于An＝(1＋x)n的通项为Tk＋1＝xk，k＝0，1，…，n，故B2 025中x3的系数为＋＋＋…＋＝(＋)＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝…＝＋＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)(新情境)请先阅读：对等式sin(x－α)＝sin xcos α－cos x sin α(x∈R，α为常数)的两边求导有：(sin(x－α))'＝(sin x cos α－cos x sin α)'，由求导法则得cos(x－α)＝cos x cos α＋sin x sin α，再在上式中令x＝α得cos2α＋sin2α＝1. 借助上述想法，结合等式(1＋x)n＝＋x＋x2＋…＋xn(x∈R，正整数n≥2)，解答以下问题： (1)求＋2＋…＋5的值； 解：在等式(1＋x)n＝＋x＋x2＋…＋xn(x∈R，正整数n≥2)， 两边对x求导得n(1＋x)n－1＝＋2x＋3·x2＋…＋n·xn－1①， 令x＝1，n＝5，可得＋2＋…＋5＝5×(1＋1)4＝80. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)化简＋22＋32＋…＋n2. 返回 解：①式两边同时乘以x得nx(1＋x)n－1＝x＋2x2＋3·x3＋…＋n· xn②， ②式两边对x求导得：n(1＋x)n－1＋n(n－1)x(1＋x)n－2＝＋22x＋32·x2＋…＋n2·xn－1， 令x＝1，得＋22＋32＋…＋n2＝n·2n－1＋n·(n－1)2n－2＝n(n＋1) 2n－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 计 数 原 理 返回 $