8.2 第1课时 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦一元线性回归模型及其参数估计，通过蔬菜基地产量与肥料使用量的散点图实例导入，引导学生从直观观察到抽象模型，构建“散点图感知—模型建立—参数估计—预测应用”的知识支架，衔接前后统计知识。 其亮点在于以生活实例（如财政收支、学生成绩）为载体，融合数学抽象与数学建模素养，通过“问题思考—典例解析—对点练习”环节，培养学生用数学语言表达现实问题的能力。课堂小结表格梳理任务与方法，助力学生系统掌握，教师可直接用于教学，提升课堂效率与学生应用能力。

第1课时　一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计 　 第八章 8.2　一元线性回归模型及其应用 学习目标 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参 数的统计意义，培养数学抽象的核心素养.　 2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘 估计方法，培养数学抽象的核心素养.　 3.了解回归分析的基本思想方法和初步应用，针对实际问题， 会用一元线性回归模型进行预测，提升数学建模、数学运算 的核心素养. 任务一　一元线性回归模型 1 任务二　一元线性回归模型参数的最小二乘估计 2 任务三　利用经验回归方程进行预测 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　一元线性回归模型 返回 (阅读教材P105－106，完成探究问题1) 问题1.根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点如图所示，思考并回答下面问题： (1)依据数据的散点图，推断西红柿亩产量的增加量y与液体肥料每亩使用量x之间有没有关系. 提示：有关系 问题导思 (2)y与x的相关程度如何？两变量之间的关系能用函数模型刻画吗？ 提示：线性相关很强.不能，增加量y除了与液体肥料每亩使用量x有关外，还与阳光、温度等有关系，y与x之间不是函数关系. (3)用什么模型来刻画y与x之间的关系？ 提示：从散点图看，散点大致分布在一条直线附近，可以用一元线性回归模型来刻画y与x之间的关系. 一元线性回归模型 一元线性回归模型的完整表达式为 其中Y称为________或__________，x称为自变量或______变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数，e是Y与bx＋a之间的__________. 新知构建 因变量 响应变量 解释 随机误差 (1)随机误差e的均值为0，方差为与变量x无关的定值σ2.(2)Y与x正相关的充要条件是b＞0，Y与x负相关的充要条件是b＜0.(3)经验回归直线的截距和斜率都是通过样本估计而得到的，存在着误差，这种误差可能导致预测结果的偏差. 微提醒 若某地财政收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，｜e｜≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过 A.9亿元 B.9.5亿元 C.10亿元 D.10.5亿元 因为财政收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e，其中b＝0.7，a＝3，所以Y＝0.7x＋3＋e，当x＝10时，得Y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e.而｜e｜≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤Y≤10.5，所以年支出预计不会超过10.5亿元.故选D. √ 典例 1 规律方法 1.在一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，模型中的Y也是模型变量，其值虽然不能由变量x的值确定，但是却能表示为bx＋a与e的和(叠加)，前一部分由x所确定，后一部分是随机的. 2.如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述. 对点练1.关于一元线性回归模型 给出下列说法： ①表达式Y＝bx＋a＋e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系；②bx＋a反映了由于x的变化而引起的Y的线性变化；③误差项e是一个期望值为0的随机变量，即E(e)＝0；④对于所有的x值，e的方差σ2都相同. 其中正确的是__________(填序号). 根据一元线性回归模型的含义，以上说法均正确. 返回 ①②③④ 任务二　一元线性回归模型参数的最小二乘估计 返回 (阅读教材P107－110，完成探究问题2) 问题2.在一元线性回归模型中，表达式Y＝bx＋a＋e刻画了变量Y与x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，确定参数a和b的原则是什么？ 提示：使表示成对样本数据的各散点在整体上与一条适当的直线尽可能地接近. 问题导思 1.最小二乘法 ＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计. 2.经验回归方程的系数计算公式 新知构建 经验回归方程 的计算公式 的计算公式 ＝ ＝ ＝－ ＋ 3.经验回归方程的性质 (1)经验回归方程一定过点_________. (2)一次函数＝x＋的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是________. (3)的实际意义：当x增大一个单位时，个单位. () ＞0 增大 (1)经验回归方程＝＋x中的表示x增加1个单位时，y的平均变化量为，而表示y不随x的变化而变化的部分.(2)可以利用经验回归方程＝＋x预测在x取某值时，y的估计值. 微提醒 某班10名学生的摸底考试成绩和期末考试成绩如下： 计算得：xiyi＝36 220，＝34 400. (1)在下图中画出散点图； 解：散点图如图所示. 典例 2 摸底成绩x 50 35 40 55 80 60 65 35 90 50 期末成绩y 53 51 56 68 87 71 46 31 79 68 (2)建立一个回归直线方程，用摸底考试成绩x来预测期末考试成绩y(精确到0.1). 附：＝，＝－. 摸底成绩x 50 35 40 55 80 60 65 35 90 50 期末成绩y 53 51 56 68 87 71 46 31 79 68 解：由表格数据，得＝＝56， ＝＝61， 则＝＝≈0.68. ＝－≈61－0.68×56＝22.92， 所以y关于x的回归直线方程为＝0.7x＋22.9. 摸底成绩x 50 35 40 55 80 60 65 35 90 50 期末成绩y 53 51 56 68 87 71 46 31 79 68 规律方法 求经验回归方程的基本步骤 注意：只有在散点图大致呈线性相关关系时，求出的经验回归方程才有实际意义. 对点练2.某学校研究性学习小组对某种雪糕每天的销售额与这一天的最高气温之间的关系进行研究，现统计了5月15日至5月20日每天的最高气温和该雪糕销售额的数据，如下表： 研究发现最高气温x(℃)与销售额y(百元)之间具有近似线性相关关系，求y关于x的回归直线方程.(计算过程保留1位小数) 参考数据：＝2 932，xiyi＝4 825. 日期 5.15 5.16 5.17 5.18 5.19 5.20 最高气温x/℃ 19 20 23 25 24 21 销售额y/百元 26 33 37 45 40 35 解：依题意，得＝＝22， ＝＝36， ＝2 932，xiyi＝4 825. 设回归直线方程为＝x＋， α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 则＝＝≈2.6， ＝－＝36－2.6×22＝－21.2， 所以y关于x的回归直线方程为＝2.6x－21.2. 返回 α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 任务三　利用经验回归方程进行预测 返回 某视频博主加入了视频推流活动，通过投入资金对视频进行推广.通过一段时间的推广，统计得到如下数据： (1)求y关于x的经验回归方程； 解：由已知数据可得＝10，＝11， 则xiyi＝72＋90＋100＋132＋168＝562， ＝64＋81＋100＋121＋144＝510. 可得＝＝1.2， ＝11－1.2×10＝－1， 所以y关于x的回归方程为＝1.2x－1. 典例 3 推流投入资金x/千元 8 9 10 11 12 视频浏览量y/万次 9 10 10 12 14 (2)已知该博主准备一次性投入资金15千元，预计浏览量能达到多少万次？ 附：＝＝，＝－. 解：由(1)y关于x的回归方程为＝1.2x－1， 所以当x＝15时，＝17， 所以一次性投入资金15千元，预计浏览量能达到17万次. 推流投入资金x/千元 8 9 10 11 12 视频浏览量y/万次 9 10 10 12 14 (变条件、变设问)已知该博主商品橱窗中销售商品的利润z(单位：千元)与推流投入x(单位：千元)、浏览量y(单位：万次)满足关系式z＝0.1y(30－x)＋10，利用(1)中经验回归方程估计该博主投入多少元时，能获得最大净利润，并求最大净利润(净利润＝利润－投入，结果保留整数). 解：若推流投入x千元时，净利润估计为 L(x)＝0.1y(30－x)＋10－x＝(0.12x－0.1)(30－x)＋10－x＝－0.12x2＋2.7x ＋7， 当x＝＝11.25时，L(x)取得最大值，最大值为22.187 5千元. 即该博主推流投入为11 250元时，可以获得最大净利润22 188元. 变式探究 规律方法 经验回归方程的应用 1.利用经验回归方程进行预测：把经验回归方程看作一次函数，求函数值. 2.利用经验回归方程判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是. 对点练3.某科研团队研究发现向日葵花盘中所含的二萜化合物对灰葡萄孢菌具有良好的抗菌活性，能通过破坏细胞膜完整性等方式来抑制病原菌生长，增加果蔬的保鲜时长.通过实验得到不同浓度的二萜化合物对灰葡萄孢菌的抑制率如下表： 若x，y呈线性相关，且满足经验回归方程为＝x＋7，则当x＝120时，抑制率y的值为______. 二萜化合物浓度x(μg/mL) 20 40 60 80 100 抑制率y(％) 10 15 18 21 25 28.6 依题意，得＝＝60，＝＝17.8，所以17.8＝×60＋7，解得＝0.18，可得＝0.18x＋7，当x＝120时，y＝0.18×120＋7＝28.6. 二萜化合物浓度x(μg/mL) 20 40 60 80 100 抑制率y(％) 10 15 18 21 25 返回 课堂小结 任务再现 1.一元线性回归模型.2.一元线性回归模型参数的最小二乘估计.3.利用经验回归方程进行预测 方法提炼 公式法、最小二乘估计法、数形结合思想 易错警示 不判断变量间的线性相关关系，就求经验回归方程；公式记忆错误或计算错误 随堂评价 返回 1.已知两个变量之间的线性回归方程为＝0.35x＋a，若＝8，＝8.8，则a＝ A.5 B.6 C.7 D.8 ＝0.35x＋a(，)，则＝0.35＋a⇒a＝－0.35＝8.8－2.8＝6.B. √ 2.(多选)下列有关回归直线方程＝x＋，叙述正确的是 A.反映与x之间的函数关系 B.反映y与x之间的函数关系 C.表示与x之间不确定关系 D.表示最接近y与x之间真实关系的一条直线方程 对于A，B，＝x＋表示与x之间的函数关系，并不是y与x之间的函数关系，故A正确，B错误；对于C，＝x＋表示与x之间的函数关系，为确定性关系，故C错误；对于D，用回归直线来表示最接近y与x之间真实关系的一条直线方程，故D正确.故选AD. √ √ 3.2025年五一节日期间，通过对某一路口在具体时刻的瞬时速度进行观测统计发现，时刻x和瞬时速度y的关系如下： 由表中数据得到的线性回归方程为＝－4x＋a，则由此可预测此路口11时的瞬时速度为_____. x(时) 4 5 6 7 8 9 y(速度) 90 84 83 80 75 68 62 依题意，得＝＝，＝＝80，则80＝－4×＋a，解得a＝106，当x＝11时，＝－4×11＋106＝62. 4.已知两个线性相关变量x，y的统计数据如表所示，则其回归方程是________________. 返回 由表可知＝＝3，＝＝－1.6，所以＝ ＝－2，＝－＝4.4，所以线性回归方程为＝－2x＋4.4. ＝－2x＋4.4 x 1 2 3 4 5 y 3 0 －2 －4 －5 课时分层评价 返回 1.一位母亲记录了儿子3岁～9岁的身高，由此建立的身高y(单位：cm)与年龄x(单位：岁)的回归模型为＝7.19x＋73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则下列叙述正确的是 A.身高一定是145.83 cm B.身高在145.83 cm以上 C.身高在145.83 cm以下 D.身高在145.83 cm左右 x＝10时，y＝7.19×10＋73.93＝145.83，但这是预测值，而不是精确值，所以只能选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过点 A.(2，3) B.(1.5，4) C.(2.5，4) D.(2.5，5) √ x 1 2 3 4 y 1 3 5 7 回归直线必过样本中心点(，)，即(2.5，4).故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知某回归方程为＝2－3x，则当解释变量增加1个单位时，预报变量平均 A.增加3个单位 B.减少3个单位 C.增加个单位 D.减少个单位 √ 依题意，回归方程为＝2－3x，所以当解释变量增加1个单位时，预报变量平均减少3个单位.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.变量y，x之间有如下对应数据： 已知变量y对x呈线性相关关系，且回归方程为y＝－1.4x＋17.5，则m的 值是 A.7 B.8 C.9 D.10 ＝＝5，＝＝，则有＝－1.4×5＋17.5，解得m＝9.故选C. √ x 4 4.5 5.5 6 y 12 11 10 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.科研人员在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中发现，年龄x(岁)和脂肪含量占比y(％)满足经验回归方程＝0.58x－0.62，若已知某个体在其两个年龄的脂肪含量占比相差10.44％，则两年龄相差 A.15岁 B.17岁 C.18岁 D.20岁 设两个年龄分别为x1，x2，脂肪含量占比分别为y1，y2，由＝0.58x－0.62得y1－y2＝0.58(x1－x2)，即10.44＝0.58(x1－x2)，解得x1－x2＝18，故C正确.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知某地10月份第x天的平均气温为y(单位：℃)，x，y线性相关，由x，y的前7天样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，6，7)求得的经验回归方程为＝－x＋20，则下列说法正确的是 A.x，y负相关 B.第8天的平均气温为18 ℃ C.前7天平均气温的平均数为19 ℃ D.若剔除偏离经验回归直线最大的一个异常点，则相关系数变大 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为－＜0，故A正确；第8天的平均气温的预测值为18 ℃，但实际值不一定是18 ℃，故B错误；由＝4，及(，)在经验回归直线上，得＝19，故C正确；因为x，y负相关，所以相关系数r＜0，剔除偏离经验回归直线最大的一个异常点后，｜r｜变大，但r变小，故D错误.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)之间有线性关系，设其回归直线方程为＝4x＋70.该班某学生的脚长为24厘米，据此估计其身高为______厘米. 166 依题意，令x＝24，则＝4×24＋70＝166，即该班某学生的脚长为24厘米，据此估计其身高为166厘米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.随着夏季的来临，遮阳帽开始畅销，某商家为了解某种遮阳帽如何定价才可以获得最大利润，现对这种遮阳帽进行试销售，经过统计发现销售量y(单位：顶)与单价x(单位：元)具有线性关系，且线性回归方程为＝－3x＋200，若想要销售量为80顶，则预计该遮阳帽的单价定为____元. 若销售量y＝80顶，则＝－3x＋200＝80，解得x＝40，所以预计单价应定为40元. 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.某食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度(如下表). 由最小二乘法得到线性回归方程＝1.03X＋1.13，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推断该数据为_____. 年份X 0 1 4 5 6 8 芳香度Y 1.3 1.8 5.6 7.4 9.3 6.1 由表格数据知＝＝4，设污损的数据为a，则＝＝，所以＝1.03×4＋1.13，解得a＝6.1，即污损的数据为6.1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)某饮料店为了推广“秋天的第一杯奶茶”，需了解一天的平均气温与奶茶销量之间的关系，为此记录了周一至周五的平均气温x(℃)与奶茶销量y(杯)的数据，如表所示： (1)画出散点图； x 9 11 12 10 8 y 23 26 30 25 21 解：画出散点图如下. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)根据上表提供的数据，求出y关于x的经验回归方程＝x＋； x 9 11 12 10 8 y 23 26 30 25 21 解：依题意，＝(9＋11＋12＋10＋8)×＝10， ＝(23＋26＋30＋25＋21)×＝25， (xi－)(yi－)＝(9－10)×(23－25)＋(11－10)×(26－25)＋(12－10)×(30－25)＋(10－10)×(25－25)＋(8－10)×(21－25)＝21， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (xi－)2＝(9－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2＋(10－10)2＋(8－10)2＝10， 所以＝＝＝2.1， ＝25－2.1×10＝4， 所以＝2.1x＋4. x 9 11 12 10 8 y 23 26 30 25 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)试根据(2)中求出的经验回归方程，预测平均气温约为20 ℃时该饮料店的奶茶销量. x 9 11 12 10 8 y 23 26 30 25 21 解：当x＝20时，＝2.1×20＋4＝46. 故预测平均气温约为20 ℃时该饮料店的奶茶销量为46杯. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知一组数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n，xi＝i)大致呈线性分布，其回归直线方程为＝2x－9，则yi的最小值为 A.－4 B.－8 C.－16 D.无法确定 √ 回归直线＝2x－9经过(，)，且＝×＝，＝yi，代入回归方程得yi＝×2－9＝n－8，即yi＝(n－8)n＝(n－4)2－16，所以当n＝4时，yi的最小值为－16.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知变量x和变量y的一组成对样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的散点落在一条直线附近，＝xi，＝yi，相关系数为r，线性回归方程为＝x＋，则 参考公式：r＝，＝ A.当r＞0时，＞0 B.当r越大时，成对样本数据的线性相关程度越强 C.xn＋1＝，yn＋1＝时，成对样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n，n＋1)的相关系数r'满足r'＝r D.xn＋1＝，yn＋1＝时，成对样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n，n＋1)的线性回归方程＝x＋满足＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，当r＞0时，变量x和变量y正相关，则＞0，故A正确；对于B，当｜r｜越大时，成对样本数据的线性相关程度越强；当r1＝－0.98，r2＝0.9时，r1对应的样本数据的线性相关程度更强，故B错误；对于C，当xn＋1＝，yn＋1＝时，，不变且xn＋1－＝yn＋1－＝0，所以r'＝＝＝r，故C正确；对于D，当xn＋1＝，yn＋1＝时，，不变且xn＋1－＝yn＋1－＝0，所以＝＝＝，故D正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.某地种植超级杂交稻，产量从第一期大面积亩产760千克，到第二期亩产810千克，第三期亩产860千克，第四期亩产1 030千克.将第一期视为第二期的父代，第二期视为第三期的父代，或第一期视为第三期的祖父代，并且认为子代的产量与父代的产量有关，请用线性回归分析的方法预测第五期的产量为每亩_______千克. 附：用最小二乘法求得线性回归方程为＝x＋，其中＝，＝－. 1 384 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设父代产量为xi(i＝1，2，3)，子代产量为yi(i＝1，2，3)，则＝(760＋810＋860)＝810，＝＝900，所以(xi－)(yi－)＝(－50)×(－90)＋0×(－40)＋50×130＝11 000，(xi－)2＝(760－810)2＋(810－810)2＋(860－810)2＝5 000，所以＝＝＝2.2，＝－＝900－810×2.2＝－882.则线性回归方程为＝2.2x－882，当x＝1 030时，y＝1 030×2.2－882＝1 384，所以预测第五期的产量为每亩1 384千克. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量(单位：台)”与“当年的月份”线性相关.根据统计得下表： (1)根据往年的统计得，当年的月份x与销量y满足回归方程＝11.77x＋t.请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台. 月份x 1 2 3 4 5 6 销量y 10 19 31 45 55 68 解：依题意，＝＝3.5， ＝＝38. 又回归直线过样本中心点(，)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以38＝11.77×3.5＋t，得t＝－3.195， 所以＝11.77x－3.195， 所以当x＝7时，＝79.195≈79， 所以预测当年7月份该品牌的空调可以销售79台. 月份x 1 2 3 4 5 6 销量y 10 19 31 45 55 68 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)该销售商从当年的前6个月中随机选取2个月，记X为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求X的分布列和均值. 解：因为＝38，所以销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为4， 5，6， 所以X＝0，1，2. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. X 0 1 2 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)在研究变量X与Y之间的相关关系时，进行实验后得到了一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，(6，27)，利用此样本数据求得的经验回归方程为＝－1.5x＋，现发现数据(6，27)误差较大，剔除这对数据后，求得的经验回归方程为＝－6x＋21，且yi＝36，则＝ A.13.5 B.14 C.14.5 D.15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为yi＝36，剔除异常数据(6，27)后， ＝×36＝6，因为点(，)在直线＝－6x＋21上，所以6＝－6＋21，解得＝2.5，设利用原始数据求得的经验回归直线过点('，')，则'＝＝3，'＝＝9，因为'＝－1.5'＋，所以＝9＋1.5×3＝13.5.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)某学校对高三(1)班50名学生的第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为＝10，化学成绩的方差为＝8，＝500 500，其中xi，yi(i∈N，且1≤i≤50)分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，y关于x的线性回归方程为y＝0.4x＋t. (1)求y与x的样本相关系数r； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：由y关于x的线性回归方程为y＝0.4x＋t知＝＝0.4， 即(xi－)(yi－)＝0.4(xi－)2. 又由＝10，＝8可得(xi－)2＝500， (yi－)2＝400. r＝＝＝≈＝0.448. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)从概率统计规律来看，本次考试高三(1)班学生数学成绩η服从正态分布N(μ，σ2)，用样本平均数作为μ的估计值，用样本方差作为σ2的估计值，试估计该校共1 600名高三学生中，数学成绩位于区间[96.84，106.32]的人数. 附：①回归方程＝x＋中，＝，＝－； ②样本相关系数r＝； ③≈2.24，≈3.16； ④若η～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤η≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ≤η≤μ＋2σ)≈0.95. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：由＝－，10＝×500 500－， 解得＝100，所以η～N(100，10). 又由106.32＝100＋2×3.16，96.84＝100－3.16，及P(μ－σ≤η≤μ＋σ)≈0.68， P(μ－2σ≤η≤μ＋2σ)≈0.95， 得P(96.84≤η≤106.32)≈＝0.815， 于是估计该校1 600名高三学生中，数学成绩位于区间[96.84，106.32]的人数约为1 600×0.815＝1 304人. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 八 章 成 对 数 据 的 统 计 分 析 返回 $