8.2 第2课时 非线性回归模型及回归分析-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦线性回归模型及回归分析，核心知识点包括残差及残差分析、非线性回归方程转化、决定系数R²。通过问题链导入，衔接线性回归基础，引导学生思考误差意义、非线性模型转化等，搭建从具体问题到抽象模型的学习支架。 其亮点在于问题驱动与直观分析结合，如通过残差图判断拟合效果、R²定量分析，典例将指数模型转化为线性模型体现化归思想，落实数学抽象、数据分析核心素养。采用问题导思、典例解析的教学方法，课堂小结系统梳理知识与方法，帮助学生构建统计思维，教师使用可提升教学针对性和效率。

第2课时　非线性回归模型及回归分析 　 第八章 8.2　一元线性回归模型及其应用 学习目标 1.结合实例，了解随机误差、残差、残差图的概念，对回归模 型会进行残差分析，培养数学抽象、数据分析的核心素养.　 2.能利用R2判断回归模型的拟合效果.　 3.了解非线性回归模型的基本思想方法，能转化为一元线性回 归模型解决实际问题，提升直观想象、数学运算、数学建模 的核心素养. 任务一　残差及残差分析 1 任务二　非线性回归方程 2 任务三　决定系数 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　残差及残差分析 返回 问题1.思考下面问题. 已知具有相关关系的两个变量的经验回归方程为＝x＋， (1)与响应变量Y相等吗？ 提示：不一定. (2)与响应变量Y之间误差大了好还是小了好？ 提示：越小越好. (3)对于响应变量Y的观测值yi与预测值，定义残差＝yi－，若｜｜比较小，回归模型拟合的精度有什么特点？ 提示： 拟合精度越高，回归模型越好. 问题导思 1.残差的概念 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为________，通过经验回归方程得到的称为________，观测值减去预测值所得的差称为______.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为__________. 2.残差分析 作图时________为残差，________可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图.若残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好. 新知构建 观测值 预测值 残差 残差分析 纵坐标 横坐标 利用经验回归方程求得的函数值一定是真实值吗？ 提示：不一定，只是真实值的一个预测值. 微思考 (1)下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精度最高的是 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，显然D选项的拟合精度最高.故选D. √ 典例 1 (2)已知变量x和y的统计数据如下表： 由表中的数据得到线性回归方程＝－0.9x＋2.6，那么当x＝－1时残差为_______.(注：残差＝观测值－预测值) x －2 －1 0 1 2 y 5 ？ 2 2 1 －0.5 由数表知，＝＝0，则＝－0.9＋2.6＝2.6，因此x＝－1时的观测值为5－(5＋2＋2＋1)＝3，而x＝－1时的预测值为－0.9×(－1)＋2.6＝3.5，所以当x＝－1时残差为3－3.5＝－0.5. 规律方法 1.残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预报精度越高. 2.残差是随机误差的估计值，＝yi－. 对点练1.某种产品的广告支出费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如下表，已知＝1.1x＋，则x＝11时，残差为_______. 0.4 依题意，得＝＝5，＝＝5.7，而样本中心点(，)在经验回归直线上，代入得5.7＝1.1×5＋，解得＝0.2.所以＝1.1x＋0.2，当x＝11时，解得＝12.3，所以残差为12.7－12.3＝0.4. 返回 任务二　非线性回归方程 返回 (阅读教材P115－117，完成探究问题2) 问题2.设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得的一些数据如表所示： 作出这组数据的散点图近似描述y与x的关系， 很显然，这些散点不在一条直线附近. 如何建立函数模型来拟合这组数据？如何才能使用最小二乘法？ 提示：所建立模型不是线性经验回归方程，可以考虑换元，转化为线性经验回归方程，通过最小二乘法求出线性回归方程，再转化为非线性经验回归方程即可. 问题导思 第x天 1 4 9 16 25 36 49 高度y/cm 0 4 7 9 11 12 13 1.非线性回归分析的思想 研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系. 2.非线性经验回归方程 当回归方程不是形如＝x＋，∈R)时，称之为非线性经验回归方程.当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程. 新知构建 函数模型y＝c1＋c2ln x如何变成线性方程？ 提示：可以令z＝ln x，则y＝c1＋c2z就是线性方程. 微思考 已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度x(单位：℃)，对某种鸡的时段产蛋量y(单位： t)和时段投入成本z(单位：万元)的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度xi和产蛋量yi(i＝1，2，…，7)的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值. 典例 2 (xi－)2 (ki－)2 17.40 82.30 3.6 140 9.7 (xi－)(yi－) (xi－)(ki－) 2 935.1 35.0 其中ki＝ln yi， ＝ki. (1)若用y＝c1作为回归方程模型，根据表中数据， 建立y关于x的回归方程； 解：由 y＝c1得ln y＝c2x＋ln c1， 令ln y＝k， c2＝β， α＝ln c1， 由图表中的数据可知＝＝， ＝3.6－×17.4＝－， 所以＝x－， 则y关于x的回归方程为y＝＝0.47. (2)已知时段投入成本z与x，y的关系为z＝e－2.5y－0.1x＋10，当时段控制温度为28 ℃时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少？ 附：①对于一组具有线性相关关系的数据(ui，υi)(i＝1，2，3，…，n)，其回归直线v＝βu＋α的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝， ＝－. ② e－2.5 e－0.75 e e3 e7 0.08 0.47 2.72 20.09 1 096.63 解 x＝28时，由回归方程＝0.47×1 096.63≈515.4，≈0.08×515.4－2.8＋10＝48.432， 即鸡舍的温度为28℃时，鸡的时段产蛋量的预报值为515.4 t，时段投入成本的预报值为48.432万元. 规律方法 解决非线性回归问题的方法及步骤 对点练2.已知x，y之间的一组数据如下表，若y与满足经验回归方程＝＋，则此曲线必过点__________. x 1 4 9 16 y 1 2.98 5.01 7.01 (6.25，4) 由已知＝＋，设t＝，则＝t＋，由回归直线性质可得(，)在直线＝t＋上，又＝＝2.5，＝＝4，所以点(2.5，4)在直线＝t＋上，故点(6.25，4)在曲线＝＋上. 返回 任务三　决定系数 返回 (阅读教材P118－119，完成探究问题3) 问题3.建立经验回归方程后，如何对模型刻画数据的效果进行分析，从而对模型进行改进，作出更符合实际的预测和决策？ 提示：借助残差图、残差平方和或决定系数进行残差分析，比较模型的拟合效果. 问题导思 1.残差平方和法 残差平方和(yi－)2______，模型拟合效果越好，残差平方和(yi－)2______，模型拟合效果越差. 2.利用决定系数R2刻画回归效果 R2＝1－ R2越____，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越____，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差. 新知构建 越小 越大 大 小 (1)决定系数R2刻画模型的拟合效果，相关系数r刻画两变量间的线性相关程度.(2)决定系数R2的范围为[0，1]，R2越大，模型的拟合效果就越好；相关系数r的范围为[－1，1]，｜r｜越大，两个变量间的线性相关性 越强. 微提醒 某种汽车新购入价格为14万元，但随着使用年限增加汽车会贬值.通调查发现使用年限x(单位：年)与出售价y(单位：万元)之间的关系有如下一组数据： (1)求y关于x的回归方程； 解：依题意，得＝×(1＋2＋4＋8＋10)＝5， ＝×(12＋10＋7＋6＋5)＝8， 典例 3 x 1 2 4 8 10 y 12 10 7 6 5 xiyi－5·＝1×12＋2×10＋4×7＋8×6＋10×5－200＝－42， －5＝(12＋22＋42＋82＋102)－5×52＝60， ＝＝＝－0.7， 则＝－＝8＋0.7×5＝11.5， 所以y关于x的回归方程是＝－0.7x＋11.5. x 1 2 4 8 10 y 12 10 7 6 5 (2)已知R2＝1－，当R2≥0.9时，回归方程的拟合效果非常好；当0.8＜R2＜0.9时，回归方程的拟合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由. x 1 2 4 8 10 y 12 10 7 6 5 (附：用最小二乘法求经验回归方程＝x＋的系数公式＝＝；＝－) 解：列出残差表： xi 1 2 4 8 10 yi 12 10 7 6 5 10.8 10.1 8.7 5.9 4.5 yi－ 1.2 －0.1 －1.7 0.1 0.5 yi－ 4 2 －1 －2 －3 所以＝1.22＋＋＋0.12＋0.52＝4.6，＝42＋22＋＋＋＝34，所以R2＝1－＝1－≈0.865，则0.8＜R2＜0.9， 所以该回归方程的拟合效果良好. 规律方法 　　同一数据可以用不同的回归模型拟合，但拟合效果有差异.判断拟合效果好坏的方法，可以先从残差图进行直观判断，再通过残差平方和及决定系数进行定量比较，从而选出最合适的回归模型. 对点练3.(1)在建立两个变量y与x的回归模型时，分别选择了4个不同的模型，模型1、2、3、4的决定系数R2依次为0.20，0.48，0.96，0.85，则其中拟合效果最好的模型是 A.模型1 B.模型2 C.模型3 D.模型4 因为R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，所以这4个不同的模型拟合效果最好的模型是模型3.故选C. √ (2)已知一系列样本点(xi，yi)(i＝1，2，3，…，9)满足＝5，＝265，由最小二乘法得到y与x的回归方程，现用决定系数R2来判断拟合效果(R2越接近1，拟合效果越好)，若(yi－)2＝1.60，则R2＝_________.(参考公式：决定系数R2＝1－) 0.96 因为R2＝1－＝1－＝1－＝0.96. 返回 课堂小结 任务再现 1.残差的概念与残差图.2.非线性回归模型.3.残差平方和及决定系数R2 方法提炼 公式法、转化与化归思想、数形结合思想 易错警示 混淆残差平方和及决定系数R2的含义，导致刻画回归效果出错 随堂评价 返回 1.如图是某地在50天内感染某病毒的累计病例y(单位：万人)与时间x(单位：天)的散点图，则下列最适宜作为此模型的回归方程类型的是 对于A，y＝a＋bx对应的“直线型”的拟合函数，散点图中的点应在某直线附近，故A错误；对于B，根据散点图可以看出散点大致分布在一条“指数型”函数曲线附近，则y＝a＋bex的图象可以如题图所示，故B正确；对于C，y＝a＋b对应的“幂函数型”的拟合函数，则其对应图象应上凸下凹，故C错误；对于D，y＝a＋bln x对应的“对数型”的拟合函数，则其对应图象应上凸下凹，故D错误.故选B. √ A.y＝a＋bx B.y＝a＋bex C.y＝a＋b D.y＝a＋b ln x 2.(多选)为研究女儿身高y与母亲身高x的关系，现经过随机抽样获得成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，下列说法正确的是 A.落在回归直线上的样本点越多，回归直线方程的拟合效果越好 B.样本相关系数越大，变量x，y线性相关程度越强 C.决定系数R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越好 D.决定系数R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 对于A，回归直线方程拟合效果的好坏是由决定系数R2来判断的，故A错误；对于B，因为｜r｜≤1，且相关系数越接近1，变量x，y线性相关程度越强，故B正确；对于C，决定系数R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差，故C错误；对于D，决定系数R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故D正确.故选BD. √ √ 3.已知由样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，10)组成一个样本，可得到回归直线方程为＝2x＋，且＝3，＝4.7，则样本点(4，7)的残差为____. 0.3 依题意知，将点(3，4.7)代入＝2x＋，得＝－1.3，所以＝2x－1.3，x＝4代入＝2x－1.3，解得＝6.7，所以样本点(4，7)的残差为7－6.7＝0.3. 4. 甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和(yi－)2如下表： 则试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度最高的同学是___. 返回 丁   甲 乙 丙 丁 散点图 残差平方和 115 106 124 103 返回 对于已经获取的样本数据，R2表达式中分母(yi－)2为确定的数，则残差平方和越小，R2越大，由此知丁同学的线性回归模型的拟合精度 最高.   甲 乙 丙 丁 散点图 残差平方和 115 106 124 103 课时分层评价 返回 1.某团队尝试用回归模型甲、乙、丙、丁描述人的1 000米跑步成绩与肺活量的关系，已知模型甲、乙、丙、丁对应的决定系数R2分别为0.23，0.45，0.56，0.79，则拟合效果最好的模型是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 R2越大，则回归模型的拟合效果越好，因为0.79＞0.56＞0.45＞0.23，所以拟合效果最好的是模型丁.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某数学建模小组建立了茶水冷却时间x和茶水温度y的一组数据(xi，yi)，经过分析，提出了四种回归模型，①②③④四种模型的残差平方和的值分别是1.23，0.80，0.12，1.36.则拟合效果最好的模型是 A.模型① B.模型② C.模型③ D.模型④ √ 残差平方和越小则拟合效果越好，而模型③的值最小，所以C正确.故 选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.某种产品的广告支出费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的数据如下表： 已知y关于x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5，则当广告支出费用为5万元时，残差为 A.10万元 B.14万元 C.23万元 D.24万元 √ x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 当x＝5时，销售额的预测值为＝5×6.5＋17.5＝50，残差为60－50＝10万元.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知解释变量x与响应变量y在散点图中对应的所有散点都落在一条斜率为非0的直线上，其相关系数为r，决定系数为R2，则 A.r＝0 B.R2＝1 C.r＝1 D.R2＝0 因为｜ r｜越接近于1，线性相关性越强，决定系数R2越接近于1，拟合效果越好，对于本题散点图中对应的所有散点都落在一条斜率为非0的直线上，即线性关系最强，拟合效果最好，所以｜r｜＝1，R2＝1，故A，C，D错误，B正确.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.一种高产新品种水稻单株穗粒数y和土壤锌含量x有关，现整理并收集了6组试验数据，y(单位：粒)与土壤锌含量x(单位：mg/m3)得到样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5，6)，令zi＝ln yi，并将 (xi，zi)绘制成如图所示的散点图.若用方程y＝aebx对y与x的关系进行拟合，则 A.a＞1，b＞0 B.a＞1，b＜0 C.0＜a＜1，b＞0 D.0＜a＜1，b＜0 因为y＝aebx，ln y＝bx＋ln a，令z＝ln y，则z与x的回归方程为z＝bx＋ln a，根据散点图可知z与x正相关，因此b＞0，又回归直线的纵截距小于0，即ln a＜0，得0＜a＜1，所以0＜a＜1，b＞0.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)某种产品的广告支出费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如下表所示. 根据表中的数据可得经验回归方程＝2.27x＋，R2≈0.96，以下说法正确的是 A.第三个样本点对应的残差e3＝－1 B.在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区域中 C.该模型拟合效果较好 D.用该经验回归方程可以很准确地预测广告费用为20万元时的销售量 √ √ 广告支出费用x 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 销售量y 3.8 5.4 7.0 11.6 12.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，依题意，得＝＝4，＝＝8，代入＝2.27x＋，得＝－1.08，故＝2.27x－1.08，所以e3＝7－(2.27×4.0－1.08)＝－1，故A正确；对于C，由于R2≈0.96，所以该回归模型拟合的效果比较好，故C正确； 广告支出费用x 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 销售量y 3.8 5.4 7.0 11.6 12.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于B，由分析知对应的残差图中残差点应该比较均匀地分布在水平的带状区域中，故B错误；对于D，由于样本的取值范围会影响回归方程的使用范围，而广告费用20万元远大于表格中广告费用值，故用该经验回归方程预测广告费用为20万元时的销售量不一定准确，故D错误.故选AC. 广告支出费用x 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 销售量y 3.8 5.4 7.0 11.6 12.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1，2，…，n)，且ei恒为0，则R2为____.(参考公式：R2＝1－) 1 由ei恒为0，知yi＝恒成立，即yi－＝0恒成立，故R2＝1－＝1－0＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围.令＝ln y，求得线性回归方程为＝0.25x－2.58，则该模型的非线性回归方程为________________. 由回归直线方程＝0.25x－2.58，＝ln y得ln y＝0.25x－2.58，整理得y＝e0.25x－2.58，所以该模型的回归方程为y＝e0.25x－2.58. y＝e0.25x－2.58 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.某工厂为研究某种产品的产量x(吨)与所需某种原材料的质量y(吨)的相关性，在生产过程中收集4组对应数据(x，y)，如表所示.(残差＝观测值－预测值) 根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为＝0.7x＋.据此计算出在样本(4，3)处的残差为－0.15，则表中m的值为_____. x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 m 4.5 依题意，得x＝4时的预测值为3－(－0.15)＝3.15，则有3.15＝0.7×4＋，所以＝0.35，即＝0.7x＋0.35，又＝＝4.5，＝＝，故＝0.7×4.5＋0.35，所以m＝4.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出.广告费支出x(单位：万元)和销售量y(单位：万台)的数据如下： (1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程； 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 广告费支出x 1 2 4 6 11 13 19 销售量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：依题意，得＝＝8， ＝＝＝4.2， xiyi＝1×1.9＋2×3.2＋4×4.0＋6×4.4＋11×5.2＋13×5.3＋19×5.4＝279.4， ＝1＋4＋16＋36＋121＋169＋361＝708. 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 广告费支出x 1 2 4 6 11 13 19 销售量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以＝＝＝＝0.17， 所以＝－＝4.2－0.17×8＝2.84， 所以y关于x的线性回归方程为＝0.17x＋2.84. 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 广告费支出x 1 2 4 6 11 13 19 销售量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若用y＝c＋d模型拟合y与x的关系，可得回归方程＝1.63＋0.99，经计算线性回归模型和该模型的R2分别约为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好. 附：＝. 解：因为0.75＜0.88，且R2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好， 所以选用＝1.63＋0.99更好. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知指数曲线y＝aebx进行适当变换后得到的方程为u＝1－x，则二次函数y＝x2＋bx＋a的单调递增区间为 A.(0，＋∞) B.(，＋∞) C.(，＋∞) D.(1，＋∞) √ 因为y＝aebx，所以两边取对数，可得ln y＝ln(aebx)＝ln a＋ln ebx＝ln a＋bx，由于指数曲线y＝aebx进行变换后得到的回归方程为u＝1－x，则u＝ln y，ln a＝1，b＝－1，即a＝e，由于函数y＝x2＋bx＋a为二次函数，即y＝x2－x＋e，抛物线开口向上，对称轴为x＝，则函数y＝x2＋bx＋a的单调递增区间为(，＋∞).故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)两个具有相关关系的变量x，y的一组数据为(x1，y1)，(x2，y2)…(xn，yn)，求得样本中心点为(，)，回归直线方程为＝x＋，决定系数为R2；若将数据调整为(x1，y1＋1)，(x2，y2＋1)，…，(xn，yn＋1)，求得新的样本中心点为('，')，回归直线方程为'＝'x＋'，决定系数为R'2，则以下说法正确的有 附：＝，＝－，R2＝1－ A.＝' B.＝' C.＜' D.R2＜R'2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 '＝＝＋1＝＋1，故A错误；的计算中，xi数据不变，yi－＝(yi＋1)－'也不变，所以不变，故B正确；'＝'－＝＋1－＝＋1＞，故C正确；由于R2＝1－，yi变成了yi＋1，'＝＋1，'i＝'xi＋'＝xi＋＋1＝＋1，从而yi－，yi－都不变，所以R2＝R'2，故D错误.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(双空题)某蔬菜的保鲜时间y(小时)与存放温度x(℃)样本数据如下表 所示： 建立y关于x的一元线性回归模型，预测存放温度为2 ℃时，这种蔬菜的保鲜时间约为____小时(，及结果保留到整数)；该模型的决定系数R2＝______(保留2位小数).附：R2＝1－. 存放温度x/℃ 21 15 10 6 3 保鲜时间y/小时 6 14 26 33 41 42 0.99 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 计算得＝11，＝24，xiyi＝917，＝811，所以＝≈ －2，＝－＝46，故线性回归方程为＝－2x＋46，当x＝2时，＝42，所以可估计其保鲜时间约为42小时；因为(yi－)2＝10，(yi－)2＝798，所以R2≈0.99. 存放温度x/℃ 21 15 10 6 3 保鲜时间y/小时 6 14 26 33 41 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分) 红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①y＝a·bx(a＞0，b＞0)，②y＝cx2＋d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.根据收集到的数据，计算得到如下值： 表中zi＝ln yi；＝ i；ti＝；＝ti. (xi－)2 (ti－)2 25 2.89 646 168 422 688 (zi－)(xi－) (yi－)(ti－) 48.48 70 308 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，判断应选择哪个模型，并说明理由； 解：应该选择模型①. 理由为：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高.故选模型①比较合适. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)根据(1)中所选择的模型，求出y关于x的回归方程(计算过程中四舍五入保留两位小数)，并求温度为35 ℃时，产卵数y的预报值. 参考数据：e5.61≈273，e5.70≈299，e5.79≈327. 解：由(1)知，选用模型①，y＝a·bx，两边取对数，得ln y＝(ln b)x＋ln a. 令z＝ln y，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则z＝(ln b)x＋ln a， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ln b＝＝≈0.29， ln a＝－ln b＝2.89－0.29×25＝－4.36， 于是有ln y＝0.29x－4.36， 所以产卵数y关于温度x的回归方程为y＝e0.29x－4.36. 当x＝35时，y＝e0.29×35－4.36＝e5.79≈327(个)， 所以，温度为35 ℃时，一只红铃虫的产卵数的预报值为327个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)根据一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，求得经验回归方程为＝1.5x＋0.5，且＝3.现发现这组样本数据中有两个样本点(1.2，2.2)和(4.8，7.8)误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2，则 A.去除两个误差较大的样本点后，y的估计值增加速度变快 B.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程一定过点(3，4) C.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为＝1.2x＋1.4 D.去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点(2，3.75)的残差为0.05 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，因为1.5＞1.2，所以去除两个误差较大的样本点后y的估计值增加速度变慢，故A错误；对于B，当＝3时，＝3×1.5＋0.5＝5，设去掉两个误差较大的样本点后，横坐标的平均值为'，纵坐标的平均值为'，则'＝＝＝3，'＝＝＝5，故B错误；对于C，因为去除两个误差较大的样本点后，重新求得回归直线l的斜率为1.2，所以5＝3×1.2＋，解得＝1.4，所以去除两个误差较大的样本点后的经验回归方程为＝1.2x＋1.4，故C正确；对于D，因为＝1.2×2＋1.4＝3.8，所以y－＝3.75－3.8＝－0.05，故D错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表. 该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：＝x2＋. (1)根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程(的值精确到0.1)； 月份x 1 2 3 4 5 销售量y(万件) 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：令w＝x2，则＝＝11， ＝＝7.2， ＝＝ ＝≈0.2，＝－＝7.2－0.2×11＝5， 所以y关于x的回归方程为＝0.2x2＋5. 月份x 1 2 3 4 5 销售量y(万件) 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知该公司的月利润z(单位：万元)与x，y的关系为z＝24－，根据(1)的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？ 解：由(1)知＝0.2x2＋5， z＝24－＝24－ ＝24－－. 令h(x)＝24－－(x＞0)， 月份x 1 2 3 4 5 销售量y(万件) 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 h'(x)＝－＋＝＝(x＞0)， 令h'(x)＞0，得0＜x＜9，h(x)单调递增， 令h'(x)＜0，得x＞9，h(x)单调递减， 令h'(x)＝0，得x＝9. 所以h(x)＝24－－(x＞0)在x＝9处取得极大值，也是最大值， 所以h(x)max＝h(9)＝72－27－9＝36， 所以9月份的月利润预报值最大. 月份x 1 2 3 4 5 销售量y(万件) 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 八 章 成 对 数 据 的 统 计 分 析 返回 $