6.3.1 二项式定理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦二项式定理，通过观察低次二项式展开式引导学生发现项数与次数规律，结合计数原理推导定理，连接计数原理与组合知识，为概率学习搭建逻辑支架。 其亮点在于“先猜后证”探究过程，以问题链培养逻辑推理和数学抽象素养，典型例题与分层评价提升数学运算能力，课堂小结表格梳理任务、方法和易错点，助力学生系统掌握，教师可精准教学。

6.3.1　二项式定理 　 第六章 计数原理 单元学习三　二项式定理 [单元整体设计]　二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思路是“先猜后证”，它既是计数原理和组合知识的应用，也是解决有关概率问题的基础.在本单元中，将依次学习二项式定理，二项式系数的性质.学习计划3课时. 本单元内容重点是用多项式运算法则和计数原理推导出二项式定理，并会用它解决有关的简单问题.难点是用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.在研究的过程中，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 学习目标 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，培养数学 抽象、逻辑推理的核心素养.　 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.　 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题，提升数 学运算的核心素养. 任务一　二项式定理 1 任务二　二项式定理的综合应用 2 课时分层评价 4 内容索引 随堂评价 3 任务一　二项式定理 返回 (阅读教材P29－30，完成探究问题1、2、3) 观察以下各式： (a＋b)1………………a＋b， (a＋b)2………………a2＋2ab＋b2， (a＋b)3………………a3＋3a2b＋3ab2＋b3， (a＋b)4………………a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4， … 问题1.展开式的项数与二项式的次数有关系吗？ 提示：展开式的项数比二项式的次数多1. 问题导思 问题2.展开式中各项的次数与二项式的次数有关系吗？ 提示：展开式中各项的次数与二项式的次数相等. 问题3.对于(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2，如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？ 提示：(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－kbk(k＝0，1，2)的形式.而且a2－kbk的个数相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数，即a2－kbk的系数是. 1.二项式定理 (a＋b)n＝______________________________________，n∈N*，这个公式叫做二项式定理. 2.相关概念 (1)二项展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项. (2)二项式系数：各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数. (3)二项展开式的通项：(a＋b)n展开式中的_________叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝_________. 新知构建 an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn n＋1 an－kbk an－kbk (1)每一项中a与b的指数和为n.(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止.(3)a与b的位置不能交换. 微提醒 (链教材P30例1) (1)求(3－)4的展开式. 解：(3－)4＝()4＝(3x－1)4 ＝[(3x)4＋(3x)3·(－1)＋(3x)2·(－1)2＋(3x)·(－1)3＋(－1)4] ＝(81x4－108x3＋54x2－12x＋1)＝81x2－108x＋54－＋. (2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). 解：原式＝(x－1)5＋(x－1)4＋(x－1)3＋(x－1)2＋(x－1)1＋(x－1)0－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. 典例 1 规律方法 运用二项式定理的解题策略 1.正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a－b)n的展开式中会出现正负交替的情况.对较繁杂的式子，需先化简再用二项式定理展开. 2.逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 注意：逆用二项式定理时如果各项的系数是正负相间的，则结果是(a－b)n的形式. 对点练1.(1)(2x－)5的二项展开式是_____________________________. 32x5－80x2＋－＋－ (2x－)5＝(2x)5－(2x)4()1＋(2x)3()2－(2x)2()3＋(2x)()4－·()5＝32x5－80x2＋－＋－. (2)计算3＋9＋27＋…＋3n＝__________. 4n－1 原式＝31＋32＋33＋…＋3n＝30＋31＋32＋33＋…＋3n－30＝(1＋3)n－1＝4n－1. 返回 任务二　二项式定理的综合应用 返回 角度1　求二项展开式中的特定项 已知二项式(－)n展开式中的第7项是常数项. (1)求n； 典例 2 解：因为(－)n展开式的第7项是·()n－6·(－)6＝26··. 由于第7项是常数项，故＝0，解得n＝15. (2)求展开式中有理项共有几项，分别是第几项？ 解：由(1)知(－)15，展开式的通项为Tk＋1＝(－1)k·2k··， 若Tk＋1为有理项，则＝5－k为整数， 所以k为6的倍数， 因为0≤k≤15，所以k＝0，6，12，共三个数， 所以展开式中的有理项共有3项，分别是第1、第7和第13项. 规律方法 求二项展开式的特定项的常用方法 1.对于常数项：隐含条件是字母的指数为0(即0次项). 2.对于有理项：一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解. 3.对于二项展开式中的整式项：其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致. 角度2　二项式系数与项的系数 在二项式(x－)9的展开式中，求： (1)第6项的二项式系数和第6项的系数； 解：由已知得，二项式通项为Tk＋1＝x9－k(－)k＝ (－1)kx9－2k(0≤k≤9，k∈N)， 所以T6＝(－1)5x9－2×5＝－126x－1， 所以第6项的二项式系数为＝126，第6项的系数为－126. 典例 3 (2)x3的系数. 解：设展开式中的第k＋1项为含x3的项，则由(1)得9－2k＝3，即k＝3， 所以展开式中第4项含x3，其系数为(－1)3·＝－84. 规律方法 1.二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关. 2.求某项的二项式系数可直接代入求解.求二项展开式某项的系数可以分为两步完成： (1)根据所给出的条件和通项公式，建立方程来确定指数，求解时要注意二项式系数中n和k的隐含条件(n为正整数，k为非负整数，n≥k)； (2)根据所求的指数，求所求解的项或项的系数. 对点练2.(1)(2x－y)4的展开式中x3y的系数为 A.－32 B.32 C.8 D.－8 √ 依题意知，展开式通项为Tk＋1＝(2x)4－k(－y)k＝24－kx4－k(－1)kyk，所以k＝1时，x3y的系数为×23×(－1)1＝－32.故选A. (2)在(＋)6的展开式中，含x－2的项的二项式系数为___. 返回 1 由Tk＋1＝)6－k()k＝3k·，k＝0，1，…，6，令＝ －2，得k＝6，所以含x－2的项为729·x－2，其二项式系数为＝1. 返回 课堂小结 任务再现 1.二项式定理.2.利用二项展开式的通项公式求特定项.3.二项式系数或项的系数 方法提炼 通项公式法 易错警示 二项式系数与项的系数的区别；an－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k＋1项，不是第k项 随堂评价 返回 1.在(2x＋)3的展开式中，x的系数为 A.3 B.6 C.9 D.12 依题意，在(2x＋)3中，每一项为(2x)3－k()k＝23－kx3－2k，当3－2k＝1，即k＝1时，23－k＝22＝3×4＝12.故选D. √ 2.(多选)对于二项式(－)6，下列说法正确的是 A.展开式中的常数项为 B.展开式中的常数项为 C.展开式中的有理项有3项 D.展开式中的有理项有4项 (－)6的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝)6－k(－)k＝ (－)kx－k＝(－)k，k＝0，1，2，…，6，令3－k＝0，则k＝2，常数项为(－)2＝15×＝，故A正确；当k＝0，2，4，6，展开式中的项是有理项，所以有理项有4项，故D正确.故选AD. √ √ 3.20×－21×＋22×－23×＋…＋28×－29×的值为_____. －1 (2－1)9＝·29·(－1)0＋·28·(－1)1＋·27·(－1)2＋…＋·21·(－1)8＋·20·(－1)9，即(2－1)9＝·29－·28＋·27＋…＋·21－·20＝1， 所以20×－21×＋22×－23×＋…＋28×－29×＝－1. 4.已知(x＋)n展开式中前三项系数成等差数列. (1)求n的值； 解：(x＋)n展开式的通项为Tk＋1＝()k，k＝0，1，2，…，n. 依题意可得n≥2，且1，，成等差数列， 即n＝1＋，解得n＝8. (2)判断展开式中是否有含x5的项.若有，则求出含x5的项；若没有，请说明 理由. 解：由(1)可得Tk＋1＝()k， 令＝5，解得k＝2，则T3＝×28x5＝7x5. 返回 课时分层评价 返回 1.(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于 A.9 B.10 C.11 D.8 因为(x＋2)n的展开式共有n＋1项，结合题意，所以n＋1＝11，即n＝10.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(8－x)9展开式中系数为无理数的项共有 A.2项 B.3项 C.4项 D.5项 √ 因为(8－x)9展开式的通项为Tk＋1＝89－k(－)kxk，当k＝1，3，5，7，9时，展开式中系数为无理数的项，共5项.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(1－3x)6的展开式中含x4的项的二项式系数为 A.15 B.20 C.－540 D.1215 √ (1－3x)6的展开式的通项为Tk＋1＝·16－k·(－3x)k＝(－3)kxk，令k＝4，则(1－3x)6的展开式中含x4的二项式系数为＝15.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若实数a＝2－，则a12－2a11＋22a10－…＋212等于 A.－32 B.32 C.－64 D.64 依题意可得a12－2a11＋22a10－…＋212＝(a－2)12＝(2－－2)12＝64.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知m为非零常数.若在的二项展开式中，x3的系数是的系数的8倍，则m＝ A.－2 B.－1 C. D. 展开式中含x3的项为x5()2＝21m2x3，含x2()5＝21m5·，所以依题意可得21m2＝8×21m5，解得m＝.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)若(x－)n(n为正整数)的展开式中存在常数项，则下列选项中n的取值可能是 A.3 B.5 C.6 D.7 √ √ (x－)n展开式的通项为Tk＋1＝xn－k(－)k＝(－2)kxn－3k，k＝0，1，…，n，因为存在常数项，所以n＝3k.经验证，k＝1时，n＝3；k＝2时，n＝6符合条件.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a－b等于___. 5 因为(1＋)4＝1＋4＋12＋8＋4＝17＋12＝a＋b，又a，b为有理数，所以a＝17，b＝12.所以a－b＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若(x＋1)n＝xn＋…＋ax4＋bx3＋…＋1，且a＝502b，则n＝______. 因为(x＋1)n＝(1＋x)n的展开通项为xk，所以＝a，＝b，则＝502，解得n＝2 011. 2 011 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.若3个班分别从2个景点中选择一处游览，共有n种不同的选法，则在(x－)n的展开式中，含x2项的系数为______. 70 依题意，得n＝23＝8.在(x－)8的二项展开式中，通项为Tk＋1＝ x8－k(－)k＝(－1)k.由8－k－k＝2，得k＝4，该项为(－1)4x2＝70x2，含x2项的系数为70. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知在(＋)n(n∈N*)的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2. (1)求n的值； 解：依题意，知＝×＝＝2，解得n＝8. (2)求展开式中含x4的项. 解：Tk＋1＝)8－k(2)k＝22k－8，0≤k≤8，k∈N， 令8－k＝4，得k＝3，所以展开式中含有x4的项为T4＝22×3－8x4＝14x4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知x≠0，n∈N*，则“n＝8”是“(2x3＋)n的二项展开式中存在常数 项”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 若n＝8，则(2x3＋)8的常数项为(2x3)2·()6＝112；若(2x3＋)n的二项展开式中存在常数项，设二项式的通项为Tk＋1＝(2x3)n－k·()k＝2n－k··x3n－4k，且存在常数项，则3n－4k＝0，k＝，k为整数，所以n能被4整除.所以“n＝8”是“(2x3＋)n的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)在(x＋)9的展开式中，下列结论正确的是 A.第2项的二项式系数为36 B.x3的系数为126 C.常数项为84 D.有理项有2项 √ √ (x＋)9的展开式中共有10项，第2项的二项式系数为＝9，故A错误；依题意得(x＋)9展开式的通项为Tk＋1＝x9－k()k＝，k＝0，1，2，…，9，令k＝4，得到x3的系数为＝126，故B正确；令9－k＝0，解得k＝6，所以常数项为＝＝84，故C正确；有理项中x的指数为整数，故k＝0，2，4，6，8，即有理项有5项，故D错误.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知多项式(x－2)5＋(x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5＋a6x6，则a1＝_____. 74 对于(x－2)5，其二项展开式的通项为Tk＋1＝x5－k(－2)k，令5－k＝1，得k＝4，故T5＝x(－2)4＝80x，对于(x－1)6，其二项展开式的通项为 Tk＋1＝x6－k(－1)k，令6－k＝1，得k＝5，故T6＝x(－1)5＝－6x，所以a1＝80＋(－6)＝74. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(17分)在(2x＋)n(n≥3，n∈N*)的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列. (1)证明：展开式中不存在常数项； 解：证明：易知第2，3，4项的二项式系数依次为，，， 可得＋＝2，即n＋＝2×， 整理得(n－2)(n－7)＝0，解得n＝7或n＝2(舍)， 所以二项式为(2x＋)7.假设第k＋1项为常数项，其中k∈N， 即可得(2x)7－k()k＝27－k为常数项，所以7－k－k＝0， 解得k＝∉N，不合题意， 即假设不成立，所以展开式中不存在常数项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求展开式中所有的有理项. 解：由(1)可知，二项展开式的通项为(2x)7－k()k＝27－k. 其中的有理项需满足7－k－k∈Z，即7－k∈Z，且k≤7； 当k＝0，7－k＝7∈Z，此时有理项为27x7＝128x7； 当k＝2，7－k＝4∈Z，此时有理项为25x4＝672x4； 当k＝4，7－k＝1∈Z，此时有理项为23x＝280x； 当k＝6，7－k＝－2∈Z，此时有理项为21x－2＝. 综上可知，展开式中所有的有理项为128x7，672x4，280x，. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(创新题)设的小数部分为x，则x3＋6x2＋12x＝ A. B.1 C. D.2 √ 由3＞＞＝2，得的整数部分为2，则＝x＋2，所以(x＋2)3＝9，即x3＋2x2＋22x＋8＝x3＋6x2＋12x＋8＝9，所以x3＋6x2＋12x＝1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知x10＋1＝(x－1)2f (x)＋ax＋b(a，b∈R)，其中f (x)是关于x的多项式，则a＋b＝____. 返回 2 因为x10＋1＝[(x－1)＋1]10＋1＝(x－1)10＋(x－1)9＋…＋(x－1)2＋(x－1)＋＋1，所以[(x－1)8＋(x－1)7＋…＋]·(x－1)2＋10x－8＝(x－1)2f (x)＋ax＋b，所以a＝10，b＝－8，所以a＋b＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 计 数 原 理 返回 $