5.2.1 基本初等函数的导数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦基本初等函数的导数，通过问题导引回顾基本初等函数，从常函数导数定义推导切入，逐步归纳幂函数导数规律，延伸至三角函数、指数对数函数导数公式，构建从具体到抽象的学习支架。 其特色在于以任务驱动分层教学，通过“公式推导-切线应用-实际建模”培养数学思维与运算素养，如典例3结合房价增长体现数学建模，切线问题强化几何直观。学生能提升问题解决能力，教师可依托系统评价资源优化教学。

5.2.1　基本初等函数的导数 　 第五章　单元学习六　导数的运算 　　[单元整体设计]　本单元是在学习导数的概念及其意义的基础上进一步体会极限思想，包括几个常用函数的导数，基本初等函数的导数公式，函数的和、差、积、商的导数运算法则以及简单函数的导数运算法则，学习计划4课时. 　　本单元内容重点是求简单函数的导数，难点是求简单复合函数的导数.在学习的过程中，进一步体会极限思想，提升数学运算的核心素养. 学习目标 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3， y＝， y＝的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数，提升数学运算的核心素养. 3.会使用导数公式表，能利用导数公式解决简单的切线问题和实际问题，培养数学运算、逻辑推理和数学建模的核心素养. 内容索引 任务一　基本初等函数的求导公式 1 任务二　利用导数公式研究曲线的切线方程 2 任务三　导数公式的实际应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　基本初等函数的求导公式 返回 (阅读教材P72－74，完成探究问题1、2) 问题1.回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？ 提示：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数. 问题2.如何求常函数f(x)＝c的导数？ 提示：因为＝＝＝0， 所以f'(x)＝＝0＝0，即(c)'＝0. 我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数： f(x)＝x⇒f'(x)＝1＝1x1－1； f(x)＝x2⇒f'(x)＝2x＝2x2－1； f(x)＝x3⇒f'(x)＝3x2＝3x3－1； f(x)＝＝x－1⇒f'(x)＝－x－2＝－x－1－1； f(x)＝＝⇒f'(x)＝＝. 通过观察上面几个式子，我们发现了这几个幂函数的导数的规律，即(xα)'＝α. 问题导思 1.几个常用函数的导数 新知构建 原函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f'(x)＝0 f(x)＝x f'(x)＝1 f(x)＝x2 f'(x)＝2x f(x)＝x3 f'(x)＝3x2 f(x)＝ f'(x)＝－ f(x)＝ f'(x)＝ 这6个函数都是幂函数(f(x)＝xα)，对它们的求导要熟练记住公式，就没必要再利用定义求导了. 微提醒 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f'(x)＝___ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f'(x)＝_________ f(x)＝sin x f'(x)＝_______ f(x)＝cos x f'(x)＝_________ f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f'(x)＝________ f(x)＝ex f'(x)＝____ f(x)＝logax (a＞0，且a≠1) f'(x)＝______ f(x)＝ln x f'(x)＝___ 0 α cos x －sin x axln a ex 三角函数的求导过程中，一要注意名称的改变，二要注意符号的变换. 微提醒 函数f(x)＝ln x与g(x)＝logax的求导有什么内在联系？ 提示：f(x)＝ln x，则f'(x)＝，g(x)＝logax＝，所以g'(x)＝'＝×(ln x)'＝. 微思考 (链教材P75例1)求下列函数的导数： (1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝； 解：(1)因为y＝cos ＝，所以y'＝0. (2)因为y＝＝x－5，所以y'＝－5x－6. (3)因为y＝＝＝，所以y'＝. 典例 1 (4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos . 解：(4)因为y＝lg x，所以y'＝. (5)因为y＝5x，所以y'＝5x ln 5. (6)因为y＝cos ＝sin x，所以y'＝cos x. 求函数导数的方法 1.用导数的定义求导，但运算比较烦琐. 2.用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.即若所给的函数是基本初等函数，则直接利用公式求导；若给出的函数不是基本初等函数，则通过恒等变换进行化简或变形后求导. [注意]　“y＝与y＝ln x”，“y＝ax与y＝logax”，“y＝sin x与y＝cos x”的导数区别. 规律方法 对点练1.(1)(多选)下列结论正确的是 A.若y＝2 025，则y'＝0 B.若y＝，则y'＝－ C.若y＝，则y'＝ D.若y＝，则y'＝ 对于A，常数的导数为0，故A正确；对于B，y'＝()'＝－＝－，故B错误；对于C，y'＝()'＝＝，故C正确；对于D，因为y＝＝，所以y'＝()'＝＝，故D正确. 故选ACD. √ √ √ (2)函数y＝2sincos的导函数为__________. 因为y＝2sincos＝sin x，所以y'＝cos x. y'＝cos x 返回 任务二　利用导数公式研究曲线的切线方程 返回 已知函数f(x)＝x2，l是曲线y＝f(x)的切线，且l经过点(2，3). (1)判断(2，3)是不是曲线y＝f(x)上的点； 解：因为 f(2)＝22＝4≠3，所以点(2，3)不是曲线y＝f(x)上的点. 典例 2 (2)求l的方程. 解：设切点为(x0，f(x0)). 因为f'(x)＝2x， 所以切线的斜率为f'(x0)＝2x0， 又因为f(x0)＝，所以直线l的方程为y－＝2x0(x－x0)， 将(2，3)代入上式并整理，可得－4x0＋3＝0， 由此可解得x0＝1或x0＝3. 因此，切点为(1，1)或(3，9)，切线方程为y－1＝2(x－1)，或y－9＝6(x－3). 即l的方程为y＝2x－1，或y＝6x－9. 变式探究 1.(变条件，变设问)将本例变为“已知曲线f(x)＝x－2，求曲线在(a，a－2) (a＞0)处的切线方程”. 解：由题意f'(x)＝－2x－3，所以曲线f(x)＝x－2在点(a，a－2)处的切线方程为y－a－2＝－2a－3(x－a)，即y＝－2a－3x＋3a－2. 2.(变条件，变设问)将本例变为“已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线”，试求k的值. 解：设切点坐标为(x0，y0)，由题意得y'＝＝k，又y0＝kx0，而且y0＝ln x0，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝. 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 2.求过点P与曲线相切的直线方程的一般步骤 规律方法 对点练2.(1)求曲线y＝在点P(1，1)处的切线方程； (2)求曲线y＝在点Q(3，3)处的切线方程； 解：设所求切线的斜率为k. 因为y'＝()'＝，所以k＝， 所以曲线y＝在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0. (2)求曲线y＝在点Q(3，3)处的切线方程； 解：设所求切线的斜率为k. 因为y'＝－，所以k＝－1， 所以曲线y＝在点Q(3，3)处的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0. (3)求曲线y＝ln x的切线斜率等于4时的切线方程. 解：设切点坐标为(x0，y0). 因为y'＝，曲线y＝ln x在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4， 所以＝4，得x0＝，所以y0＝－ln 4，所以切点为， 所以所求切线方程为y＋ln 4＝4，即4x－y－1－ln 4＝0. 返回 任务三　导数公式的实际应用 返回 (链教材P75例2)某城市近10年间房价年均上涨率为10％，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10％)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15≈1.611，ln 1.1≈0.095) 解：由题意得p'(t)＝1.1tln 1.1， 所以p'(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)， 所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年. 典例 3 　　解决导数公式的实际应用问题时，需根据题意理解函数导数在该问题中的实际意义，特别是导数的物理意义. 规律方法 对点练3.从时刻t＝0开始的t s内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示. 求第5秒和第10秒时的电流(单位：安). 解：由q＝cos t得q'＝－sin t， 所以q'(5)＝－sin 5，q'(10)＝－sin 10， 即第5秒、第10秒时的电流分别是－sin 5安、－sin 10安. 返回 课堂小结 任务 再现 1.几个常用函数的导数. 2.基本初等函数的导数公式. 3.利用导数公式研究曲线的切线方程. 4.导数公式的实际应用 方法 提炼 公式法、待定系数法、方程思想、转化思想 易错 警示 不化简成基本初等函数或者公式变形不够彻底导致求导错误 随堂评价 返回 1.已知f(x)＝x2，则f'(2)＋f(2)等于 A.0 B.2x＋x2 C.8 D.16 √ 因为f(x)＝x2，所以f'(x)＝2x，所以f'(2)＋f(2)＝8. 故选C. 2.一质点的运动方程为s＝cos t，则t＝2时质点的瞬时速度为 A.2cos 2 B.－sin 2 C.sin 2 D.2sin 2 √ s'＝－sin t，当t＝2时，s'＝－sin 2，所以当t＝2时质点的瞬时速度为 －sin 2. 故选B. 3.(多选)下列选项正确的是 A.y＝ln 2 025，则y'＝ B.f＝，则f'＝－ C.y＝2x，则y'＝2xln 2 D.y＝log2x，则y'＝ √ √ √ 对于A，y'＝(ln 2 025)'＝0，故A错误；对于B，f'(x)＝－，则f'(3)＝－，故B正确；对于C，y'＝(2x)'＝2xln 2，故C正确；对于D，y'＝(log2x)'＝，故D正确. 故选BCD. 4.曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的斜率为_____. 3 因为f(x)＝x3，所以f'(x)＝3x2，所以在点(1，f(1))处的切线的斜率为f'(1)＝3. 返回 课时分层评价 返回 1.函数f＝在x＝1处的导数f'等于 A.－ B. C.1 D.2 √ 由f'＝，故f'＝. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.下列各式正确的是 A.'＝－sin 985° B.'＝sin x C.'＝cos x D.'＝－x－6 √ 根据基本初等函数的导数公式，'＝0，故A错误；'＝－sin x，故B错误；'＝cos x，故C正确；'＝－5x－6，故D错误. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在经济学中，通常把生产成本关于产量的导函数称为边际成本. 设生产x个单位产品与总成本的函数关系是C(x)＝x2，则生产8个单位产品时，边际成本是 A.2 B.8 C.10 D.16 √ C'(x)＝2x，则C'(8)＝2×8＝16. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若函数f(x)的导函数为偶函数，则f(x)的解析式可能是 A.f(x)＝x2 B.f(x)＝cos x C.f(x)＝sin x D.f(x)＝ex √ 对于A，f'(x)＝2x，为奇函数；对于B，f'(x)＝－sin x，为奇函数；对于C，f'(x)＝cos x，为偶函数；对于D，f'(x)＝ex，既不是奇函数也不是偶函数. 故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(多选)已知函数f(x)＝的导函数为f'(x)，若f'(x1)＜f'(x2)，则x1，x2的大小关系可能为 A.0＜x1＜x2 B.0＜x2＜x1 C.x1＜0＜x2 D.x2＜0＜x1 √ 因为f(x)＝，所以f'(x)＝－，若f'(x1)＜f'(x2)，则－＜－，所以＞，＜，结合选项可知，0＜x2＜x1不可能. 故选ACD. √ √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选)设b为实数，则直线y＝x＋b能作为下列曲线的切线的是 A.f(x)＝ B.f(x)＝x4 C.f(x)＝sin x D.f(x)＝ex √ 对于A，因为f(x)＝，所以f'(x)＝－＝无解，所以直线y＝x＋b不能作为曲线的切线，故A错误；对于B，因为f(x)＝x4，所以f'(x)＝4x3，令f'(x)＝4x3＝，解得x＝，此时y＝，所以切点坐标为，所以直线y＝x＋b能作为曲线的切线，故B正确； √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 对于C，因为f(x)＝sin x，所以f'(x)＝cos x，令f'(x)＝cos x＝，解得x＝2kπ±，k∈Z，此时y＝±，所以切点坐标为，k∈Z或，k∈Z，所以直线y＝x＋b能作为曲线的切线，故C正确；对于D，因为f(x)＝ex，所以f'(x)＝ex，令f'(x)＝ex＝，解得x＝ln，此时y＝，所以切点坐标为，所以直线y＝x＋b能作为曲线的切线，故D正确. 故选BCD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为_______. 设切点为(x0，y0)，因为y'＝3x ln 3，所以k＝ln 3，所以y＝ln 3·x，又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以ln 3·x0＝，所以x0＝＝log3e.所以k＝eln 3. eln 3 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.(开放题)若函数f(x)在R上可导，且f(x)·f'(x)为单调函数.写出满足上述条件的一个函数_______________________. 设f(x)＝x2，则f'(x)＝2x，所以f(x)· f'(x)＝2x3在R上单调递增，满足条件.所以f(x)＝x2满足条件. f(x)＝x2(答案不唯一) 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.已知点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为_____. 如图所示，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y ＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近.则曲线y＝ex在点 P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y'＝(ex)'＝ex，所以＝1， 得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1).利用点到直线 的距离公式得最小距离为. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)已知函数f(x)＝. (1)曲线y＝f(x)在点P处的切线与直线y＝4x－5互相垂直，求点P的坐标； 解：因为f(x)＝，所以f'(x)＝－， 设P(x0，)， 因为曲线y＝f(x)在点P处的切线与直线y＝4x－5互相垂直，所以f'(x0)＝－＝－，解得x0＝±2， 所以P(2，)或P(－2，－). 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)过点Q(－1，3)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线的方程. 解：过点Q(－1，3)作曲线y＝f(x)的切线，设切点为(x1，)，则f'(x1)＝ －，切线方程为y＝－(x－x1)＋＝－x＋，代入点Q(－1，3)的坐标得3＝＋，解得x1＝－或x1＝1，即切线方程为y＝－9x－6或y＝ －x＋2. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.设f0(x)＝cos x，f1(x)＝f0'(x)，f2(x)＝f1'(x)，…，fn＋1(x)＝fn'(x)，n∈N，则f2 025(x)＝ A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x √ 根据题意，f0(x)＝cos x，则f1(x)＝f0'(x)＝－sin x，f2(x)＝f1'(x)＝－cos x，f3(x)＝f2'(x)＝sin x，f4(x)＝f3'(x)＝cos x，…，则fn(x)的解析式重复出现，每4次一循环，故f2 025(x)＝f4×506＋1(x)＝f1(x)＝－sin x. 故选B. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.“以直代曲”是重要的数学思想，具体做法是：在函数图象某个切点附近用切线代替曲线来近似计算.比如要求sin 0.05的近似值，我们可以先构造函数y＝sin x，由于0.05与0比较接近，所以求出x＝0处的切线方程为y＝x，再把x＝0.05代入切线方程，故有sin 0.05≈0.05.类比上述方式，可得≈ A.1.001 B.1.005 C.1.015 D.1.025 √ 设f(x)＝ex，则f'(x)＝ex，则f'(0)＝1，f(0)＝1，故f(x)＝ex的图象在x＝0处的切线方程为y＝x＋1，设g(x)＝x＋1，由题意得＝f()≈g()＝1.005. 故选B. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的范围是________________. ∪ 因为(sin x)'＝cos x，所以kl＝cos x∈[－1，1]，所以－1≤tan α≤1，又因为α∈[0，π)，所以α∈∪. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，求a1＋a2＋…＋a99的值. 解：导函数y'＝(n＋1)xn，切线斜率k＝y'｜x＝1＝n＋1， 所以切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，即y＝(n＋1)x－n， 可求得切线与x轴的交点为，即xn＝， 所以an＝lg ＝lg n－lg(n＋1)， 所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新定义)(多选)已知函数f的导数为f'，若存在x0，使得f＝f'，则称x0是f的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是 A.f＝x2 B.f＝ C.f＝ln x D.f＝ √ √ √ 对于A，f'＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，有“巧值点”； 对于B，f'＝－，令＝－，得x＝－1，有“巧值点”； 对于C，f'＝，令ln x＝，结合y＝ln x，y＝的图象(如 图)，知方程ln x＝有解，有“巧值点”；对于D，f'＝－，x＞0，令＝－，方程无解，无“巧值点”. 故选ABC. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)求曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线的斜率. 解：(1)当公切线切点相同时，对C1，C2分别求导得y'＝2x，y'＝3x2. 令2x＝3x2，解得x＝0，或x＝. ①当x＝0时，2x＝3x2＝0.此时公切线的斜率为0；②当x＝时，2x＝3x2＝. 此时C1的切线方程为y－＝，而C2的切线方程为y－＝. 显然两者不是同一条切线，所以x＝舍去. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)当公切线切点不同时，在曲线C1，C2上分别任取一点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有y'＝2x1，y'＝3，因为AB的斜率为kAB＝， 所以有2x1＝3＝.由2x1＝3，得x1＝， 代入3＝中，解得x2＝，x1＝. 此时公切线的斜率为2x1＝. 综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0，. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 5.2.1　基本初等函数的导数 返回 $