5.2.1 基本初等函数的导数-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 第五章　一元函数的导数及其应用 学习单元3　导数的概念及其意义　导数的运算 知识点1　基本初等函数的导数公式 内容索引 知识点2　利用导数公式研究曲线的切线方程 知识点3　导数公式的简单应用 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 2 知识点1　基本初等函数的导数公式 1.几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)=c f'(x)=0 f(x)=x f'(x)=　　  f(x)=x2 f'(x)=　　  f(x)=x3 f'(x)=　　  f(x)= f'(x)=- f(x)= f'(x)= 1　 2x　 3x2 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=　　　  f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=　　　  f(x)=sin x f'(x)=　　　  f(x)=cos x f'(x)=　　　  f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=　　　  f(x)=ex f'(x)=　　　  f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= 0　 αxα-1　 cos x　 -sin x　 axln a 　ex 　求下列函数的导数: (1)y=x0; [分析]　以上题目为基本初等函数求导,首先判断所属类型,再根据基本初等函数的导数公式求解即可. 例1 [解]　(1)y'=0. (2)y=; [分析]　以上题目为基本初等函数求导,首先判断所属类型,再根据基本初等函数的导数公式求解即可. [解]　(2)y'=ln 3. (3)y=lg x; [分析]　以上题目为基本初等函数求导,首先判断所属类型,再根据基本初等函数的导数公式求解即可. [解]　(3)y'=. (4)y=; [分析]　以上题目为基本初等函数求导,首先判断所属类型,再根据基本初等函数的导数公式求解即可. [解]　(4)∵y=, ∴y'=. (5)y=2cos2-1. [分析]　以上题目为基本初等函数求导,首先判断所属类型,再根据基本初等函数的导数公式求解即可. [解]　(5)∵y=2cos2-1=cos x, ∴y'=(cos x)'=-sin x. 1.若所求函数符合基本初等函数的导数公式,则直接利用公式求导. 2.若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式,则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导. 3.要特别注意“与ln x”,“ax与logax”,“sin x与cos x”的导数区别. 思维提升 1.求下列函数的导函数. (1)y=10x; 跟踪训练 解:(1)y'=(10x)'=10xln 10. (2)y=lox; 解: (2)y'=. (3)y=; 解: (3)因为y=,所以y'=()'=. (4)y=-1. 解: (4)因为y=-1=sin x, 所以y'=(sin x)'=cos x. 知识点2　利用导数公式研究曲线的切线方程 　已知曲线y=,求: (1)曲线在点P(1,1)处的切线方程; [分析]　(1)本题为求解曲线在某一点处的切线方程,通过求导可以得到切线的斜率,再借助点斜式求出切线方程. 例2 [解]　因为y=,所以y'=-. (1)因为点P(1,1)是曲线上的点,所以P为切点, 所求切线的斜率为函数y=在x=1处的导数,即k=y'|x=1=-1, 所以曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0. (2)过点Q(1,0)且与曲线相切的切线方程. [分析] (2)本题为求解曲线过已知点与曲线相切的切线方程,要先设出切点坐标并求出,再解决问题. [解] (2)因为点Q(1,0)不在曲线y=上, 所以可设过该点的切线与曲线相切于点A, 则该切线的斜率为k=y'|x=a=-, 于是切线方程为y-(x-a). 将点Q的坐标(1,0)代入切线方程,得0-(1-a),解得a=, 从而可得切线方程为4x+y-4=0. 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数; (2)若已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解. 2.求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤 思维提升 2.函数y=x3在点(2,8)处的切线方程为(　　) A.y=12x-16　　　　　　 B.y=12x+16 C.y=-12x-16 D.y=-12x+16 跟踪训练 A 因为y'=3x2,所以当x=2时,y'=12,故切线的斜率为12,切线方程为y=12x-16. 3.若曲线y=logax(a>0,a≠1)在点(1,0)处的切线与直线x+2y-3=0垂直,则a=　　　　　　 .  对函数y=logax(a>0,a≠1)求导得y'=,则y',因为直线x+2y-3=0的斜率为-,且曲线y=logax(a>0,a≠1)在点(1,0)处的切线与直线x+2y-3=0垂直,则-=-1,可得ln a=,解得a=. 知识点3　导数公式的简单应用 　设某质点的运动方程是s(t)=sin t.求: (1)该质点在t=时的速度的大小; [分析]　(1)对s(t)求导后,代入t=即可; 例3 [解]　(1)∵s'(t)=cos t, ∴s', 即该质点在t=. (2)该质点运动的加速度方程. [分析] (2)令v(t)=s'(t),求导后,v'(t)即为所求加速度方程. [解]　(2)设该质点运动的加速度方程为a(t), 令v(t)=s'(t)=cos t, 则v'(t)=-sin t, ∴a(t)=v'(t)=-sin t. 由导数的定义可知,导数是瞬时变化率,所以求某个量的变化速度,就是求相关函数在某点处的导数. 思维提升 4.已知①y=f(x),②y=g(x),③y=h(x)都是物体运动的路程y关于时间x的函数,且f'(x)=1,g'(x)=2,h'(x)=3,则运动速度最快的是　　　　.(填序号)  跟踪训练 ③ 由导数的几何意义知,①中,物体的瞬时速度为1,②中,物体的瞬时速度为2,③中,物体的瞬时速度为3,且都是匀速运动,故最快的是③. 5.某城市近10年间房价年均上涨率为10%,房价p(单位:万元)与时间t(单位:年)有如下函数关系:p(t)=p0(1+10%)t,假定p0=1,那么在第5个年头,房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)?(参考数据:1.15≈1.611,ln 1.1≈0.095) 解:由题意得p'(t)=1.1tln 1.1, 所以p'(5)=1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年), 所以在第5个年头,该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年. 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知f(x)=,则f'(8)等于(　　) A.0　　　　　　　　　　 B.2 C. D.-1 C 由f(x)=,得f'(x)=, ∴f'(8)=. 2.(多选)下列结论正确的是(　 　) A.若y=3,则y'=0 B.若y=,则y'=- C.若y=x8,则y'=8x7 D.若y=x,则y'=1 ACD 只有B是错误的. 因为y'=. 3.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),若f'(1)=1,则a等于(　　) A.e B. C. A f(x)=logax(a>0且a≠1), 则f'(x)=, ∴f'(1)==1,∴a=e. 4.曲线f(x)=2x在点(0,1)处的切线方程　　 　　　.  xln 2-y+1=0 由f(x)=2x,得f'(x)=2xln 2,所以f'(0)=20ln 2=ln 2,所以所求的切线方程 为y-1=ln 2(x-0),即xln 2-y+1=0. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.(多选)以下求导正确的是(　　) A.　　　　　　 B.(cos x)'=sin x C.(2x)'=2x·ln 2 D.(x4)'=4x3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CD 13 14 对于A,'=(x-1)'=-x-2=-,A错误; 对于B,(cos x)'=-sin x,B错误; 对于C,(2x)'=2x·ln 2,C正确; 对于D,(x4)'=4x3,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.已知函数f(x)=xα(α∈Q,且α≠0).若f'(-1)=-4,则α的值等于(　　) A.4 B.-4 C.5 D.-5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 ∵f'(x)=αxα-1,f'(-1)=α(-1)α-1=-4, ∴α=4. 3.若函数f(x)=cos x,则f'的值为(　　) A.0 B.-1 C.1 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 因为f'(x)=-sin x, 所以f'=0. 4.曲线y=sin x在点T(2π,0)处的切线的方程是(　　) A.x-y-2π=0 B.x-y+2π=0 C.x+y-2π=0 D.x+y+2π=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 y'=(sin x)'=cos x, 所以曲线y=sin x在点T(2π,0)处的切线的斜率为k=cos 2π=1, 所以曲线y=sin x在点T(2π,0)处的切线的方程是y-0=1×(x-2π), 即x-y-2π=0. 5.若曲线y=在点P(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a的值是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 13 14 因为y'=, 所以切线方程为y-(x-a). 令x=0,得y=;令y=0,得x=-a, 由题意知··a=2,所以a=4. 6.在平面曲线中,曲率是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值,如图,圆C1,C2,C3在点Q处的弯曲程度依次增大,而直线在点Q处的弯曲程度最小,曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大.曲线的曲率定义如下:若f'(x)是f(x)的导函数,f″(x)是f'(x)的导函数,则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K=,则余弦曲线f(x)=cos x在(0,1)处的曲率为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 已知f(x)=cos x,则f'(x)=-sin x,f″(x)=-cos x, 则余弦曲线f(x)=cos x在(0,1)处的曲率K==1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:如图,当曲线y=ex在点P(x0,y0)处的切线与直线y=x平行时,点P到直线y=x的距离最近. 则曲线y=ex在点P(x0,y0)处的切线斜率为1,又y'=(ex)'=ex, 所以=1,得x0=0, 代入y=ex,得y0=1,即P(0,1). 利用点到直线的距离公式得最小距离为. 8.已知函数y=ln x. (1)求该函数在x=2处的切线方程; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)当x=2时,y=ln 2,所以此时切点为(2,ln 2), 由f(x)=ln x可得f'(x)=, 所以切线的斜率为k=f'(2)=, 则利用点斜式方程可得到y-ln 2=(x-2),即x-2y+2ln 2-2=0. (2)求该函数过原点的切线方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)显然切线斜率不存在时,不合题意, 故设切线方程为y=kx,切点(x0,y0),斜率k=, ∴y=·x,又因为切点在y=ln x上, ∴y0=·x0=1,当y=1时,x0=e, ∴k=,切线方程为y=x,即x-ey=0. [B组　关键能力练] 9.(多选)已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k,则当k=3时,P点坐标为(　　) A.(-1,1) B.(-1,-1) C.(1,1) D.(1,-1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BC 13 14 由题意得y'=3x2.因为k=3,所以3x2=3,所以x=±1,则P点坐标为(-1,-1)或(1,1). 10.(多选)直线y=x+b可作为函数y=f(x)的图象的切线,则f(x)的解析式可以是(　 　) A.f(x)= B.f(x)=ln x C.f(x)=sin x D.f(x)=ex 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCD 13 14 对于A项,f(x)=, 且f'(x)=-<0, 此时f'(x)=无解,故A错误; 对于B项,f(x)=ln x定义域为(0,+∞),则f'(x)=>0, 显然f'(x)=在(0,+∞)上有解,故B正确; 对于C项,f(x)=sin x定义域为R,且f'(x)=cos x, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为-1≤cos x≤1,所以f'(x)=cos x=在R上有解,故C正确; 对于D项,f(x)=ex定义域为R,f'(x)=ex>0, 显然f'(x)=ex=在R上有解,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.设f0(x)=sin x,f1(x)=f'0(x),f2(x)=f'1(x),…,fn+1(x)=f'n(x),n∈N,则f2 024(x)=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 sin x 13 14 由已知得,f1(x)=cos x,f2(x)=-sin x, f3(x)=-cos x,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,…,依次类推可得,函数呈周期变化,且周期为4, 则f2 024(x)=f4(x)=sin x. 12.曲线y=logax(a>1)与y=在公共点处有相同的切线,则a=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设y=f(x)=logax(a>1),y=g(x)=, 则f'(x)=,g'(x)=, 设f(x)与g(x)的公共点为(x0,y0),∵f(x)与g(x)在公共点处有相同的切线, ∴ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即 则则ln x0=2,所以x0=e2, ∴ln a=,所以a=. 13 14 13.设函数y=f(x)的定义域是R,它的导数是f'(x).若存在常数m(m∈R),使得f(x+m)=-f'(x)对一切x恒成立,那么称函数y=f(x)具有性质P(m). (1)求证:函数y=ex不具有性质P(m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)证明:假设y=ex具有性质P(m), 即ex+m=-(ex)'对一切x恒成立, 化简ex+m=-ex得到em=-1,显然不存在实数m使得em=-1成立,所以假设错误, 因此函数y=ex不具有性质P(m). (2)判别函数y=sin x是否具有性质P(m).若具有,求出m的取值集合;若不具有,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)解:假设y=sin x具有性质P(m), 即sin (x+m)=-(sin x)'对一切x恒成立, 即 sin(x+m)=-cos x对一切x恒成立,则sin xcos m+(sin m+1)cos x=0对一切x恒成立, 由,k∈Z时,y=sin x具有性质P(m), 所以y=sin x具有性质P(m),m的取值集合. 13 14 [C组　素养培优练] 14.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析几何函数论》中给出一个定理,如果函数y=f(x)满足条件: ①在闭区间上是连续不断的; ②在区间(a,b)上都有导数; 则在区间(a,b)上至少存在一个实数t,使得f(b)-f(a)=f'(t)(b-a),其中t称为 “拉格朗日中值”,函数g(x)=x2在区间上的“拉格朗日中值”t=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 - 由g'(x)=2x,则g(0)-g(-1)=2t·[0-(-1)]=2t, 即2t=-1,故t=-∈[-1,0]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$