4.3.1 第2课时 等比数列的性质及其实际应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦等比数列的性质及其实际应用，通过类比等差数列性质导入，引导学生推导通项推广式及下标和性质，构建从定义到性质的知识支架，帮助学生实现知识迁移。 其亮点在于以问题导思激发探究，通过典例与变式培养逻辑推理和数学运算素养，结合十二平均律、资金增长等实例渗透数学建模，规律方法总结系统，助力学生掌握解题技巧，也为教师提供丰富教学资源，提升课堂效率。

　 第四章　单元学习三　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第2课时　等比数列的性质及其实际应用 学习目标 1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算解决简单的数列问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形. 3.了解由等比数列衍生出新等比数列的常见形式. 4.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题，培养数学建模的核心素养. 内容索引 任务一　等比数列项的运算性质 1 任务二　由等比数列衍生的新数列 2 任务三　综合应用——等比数列中项的设法 3 课时分层评价 6 任务四　等比数列的实际应用 4 随堂评价 5 任务一　等比数列项的运算性质 返回 (阅读教材P30例2、P31练习T5，完成探究问题1、2) 问题1.在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是在这两类数列之间无形之中产生了类比思想.类比等差数列中an＝am＋(n－m)d，能发现等比数列中相似的性质吗？ 提示：类比可得an＝am；由等比数列的定义可知an＝a1，am＝a1，两式相除可得＝＝q(n－1)－(m－1)＝qn－m，即an＝amqn－m. 问题导思 问题2.结合上面的类比，你能把等差数列中am＋an＝ak＋al，类比出等比数列中相似的性质吗？ 提示：类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*. 推导过程：am＝a1，an＝a1，ak＝a1，al＝a1，所以aman＝a1·a1＝qm＋n－2，akal＝a1·a1＝qk＋l－2，因为m＋n＝k＋l，所以有aman＝akal. 等比数列项的运算性质 1.等比数列通项公式的推广和变形：an＝_________(m，n∈N*). 2.在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝_____. (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝；当m＋n＋s＝p＋q＋t(m，n，p，q，s，t∈N*)时，amanas＝apaqat. (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·＝…＝ak·＝…. 新知构建 amqn－m ap·aq (1)下标的和相等，且左右两侧项数相同，性质2可以推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz. (2)若m，p，n 成等差数列，则am，ap，an 成等比数列. 微提醒 已知{an}为等比数列. (1)若{an}为递增数列，a2＝3，a1＋a3＝，求＋＋； 典例 1 解：设等比数列{an}的公比为q， 因为a2＝3，a1＋a3＝， 所以a1q＝3，a1＋a1q2＝， 解得a1＝，q＝2，或a1＝6，q＝(舍)， 所以＋＋＝q＋q2＋q3＝2＋22＋23＝14. (2)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； 解：a2a4＋2a3a5＋a4a6＝＋2a3a5＋ ＝(a3＋a5)2＝25， 因为an＞0，所以a3＋a5＞0，所以a3＋a5＝5. (3)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. 解：根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， 所以a1a2…a9＝(a5a6)5＝95， 所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10. 变式探究 1.(变条件，变设问)在本例(2)中，添加条件a1a7＝4，求an. 解：由等比数列的性质得a1a7＝a3a5＝4，又由本例(2)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4，或a3＝4，a5＝1，若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n－3； 若a3＝4，a5＝1，则q＝，an＝25－n. 2.(变条件)把本例(3)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300”，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. 解：a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)＝ q300(a1a2a3…a10)3＝3300，即a1a2a3…a10＝1， 则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0. 等比数列运算的两种常用思路 1.基本量法：(1)基本思路是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解； (2)优缺点适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁. 2.巧用性质法：(1)基本思路是充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量. 规律方法 对点练1.(1)在正项等比数列{an}中，若a1a9＝64，a4＋a6＝20，则an＝ A.2n－2 B.28－n C.2n－2或28－n D.22－n或2n－2 √ 因为在等比数列{an}中，a1a9＝64，所以a4a6＝a1a9＝64，所以当a4＝4，a6＝16时，an＞0，q2＝＝4，所以q＝2，a1＝＝，所以an＝×2n－1＝2n－2；当a4＝16，a6＝4时，an＞0，q2＝＝，所以q＝，a1＝＝128，所以an＝128×＝28－n.综上所述，an＝2n－2或an＝28－n. 故选C. (2)若等比数列中的a8，a2 018是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 025＝ A.1 011 B. C.1 012 D. √ 因为a8，a2 018是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则a8a2 018＝3，又在等比数列中，a1a2 025＝a2a2 024＝…＝a1 012a1 014＝＝3，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 025＝log3(a1a2a3…a2 024a2 025)＝log3＝. 故选D. 返回 任务二　由等比数列衍生的新数列 返回 (阅读教材P32例5、P34练习T2，完成探究问题3、4) 问题3.若是等比数列，那么是等比数列吗？呢？ 提示：是等比数列，不一定是等比数列. 证明：设数列的公比为q，则＝＝q，故数列是以q为公比的等比数列. 由＝，若an不是常数，则该式子不是定值，故不一定是等比数列. 问题4.若是等比数列，那么a1，a4，a7，a10，…是等比数列吗？ 提示：是等比数列，因为＝＝＝…＝q3为常数. 问题导思 1.若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{}， ，都是等比数列，公比分别为________________. 2.若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别为p和q，则数列{an·bn}，也为__________，公比分别为______. 3.子数列的性质 (1)对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为_________，首项为，公比为___. 新知构建 q，，q2，，q2 等比数列 pq， 等比数列 q (2)若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为_________，首项为______，公比为______. 特别地，等比数列的奇数项、偶数项分别组成一个等比数列，新公比均为原公比的平方，即等比数列间隔一项的两项符号相同. (3)公比为q的等比数列{an}的前n项积记为Tn，则Tn＝，且Tn，，，…成等比数列，其公比为.由此可得()2＝Tn·，即T3n＝()3. 等比数列 ak qk 在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q＝－1时，连续相邻偶数项的和都是0(如a1＋a2＝0，a3＋a4＝0，…)，故不能构成等比数列. 微提醒 (链教材P34练习T2)(1)如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是 A. B. C.{an·} D.{an＋} √ 典例 2 取等比数列an＝(－1)n，则an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误；对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质. 故选D. (2)若数列{an}，{bn}都是等比数列，满足a1b1＝3，a5b5＝6，则a9b9＝____. 12 易知{an·bn}为等比数列，则有＝(a1b1)·(a9b9)，所以a9b9＝＝＝12. 　　由等比数列构造新的等比数列时，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q＜0的情况. 规律方法 对点练2.(1)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是 A.{}是等比数列 B.{an＋3}是等比数列 C.{an＋1－an}是等比数列 D.{lg ｜an｜}是等比数列 √ 由{an}是等比数列可得＝q(q为定值，n＞1，且n∈N*). 对于A，＝()2＝q2为常数，故A正确；对于B，仅当q＝1且an≠－3时，{an＋3}是非零常数列，是等比数列，但当q≠1或时，{an＋3}不是等比数列，故B错误；对于C，当q≠1时，{an＋1－an}是等比数列，但当q＝1时，{an＋1－an}不是等比数列，故C错误；对于D，不一定为常数，故D错误. 故选A. (2)在等比数列{an}中，a1a2…a10＝1，a11a12…a20＝2，则a21a22…a30的值为_____. 4 法一：设等比数列{an}的公比为q.因为a1a2…a10＝1，a11a12…a20＝(a1a2…a10)q100＝2，所以q100＝2，所以a21a22…a30＝(a11a12…a20)q100＝4. 法二：设{an}的前n项积为Tn.由题意可知T10＝1，T20＝1×2＝2，由性质得T30＝()3＝()3＝8，所以a21a22…a30＝＝4. 返回 任务三　综合应用——等比数列中项的设法 返回 (一题多解、链教材P30例3)有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数和第四个数的和是16，中间两个数的和是12.求这四个数. 解：法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，，由条件， 得 解得 所以当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16； 当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 典例 3 法二：设这四个数依次为－a，，a，aq(a≠0)， 由条件，得 解得 当q＝2，a＝8时，所求四个数为0，4，8，16； 当q＝，a＝3时，所求四个数为15，9，3，1. 法三：设四个数依次为x，y，12－y，16－x. 由条件，得 解得 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 变式探究 1.(变条件)将本例中的条件改为“有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80”，再求这四个数. 解：由题意，设这四个数分别为，b，bq，a， 则 所以这四个数分别为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8. 2.(变条件，变设问)将本例条件改为“有四个数成等比数列，其积为，第二个数与第三个数的和为”，求这个等比数列的公比. 解：设这四个数为a，aq，aq2，aq3(其中aq≠0)， 由题意得 所以 所以＝±，整理得q2－6q＋1＝0，或q2＋10q＋1＝0， 解得q＝3±2，或q＝－5±2. 等比数列的常见设项方法和技巧 1.通项法：当已知条件中出现与首项、公比有关的内容时，可直接设首项为a1，公比为q，利用已知条件建立方程(组)求出a1和q，即可确定此等比数列的通项公式. 2.对称项设法：(1)三个数成等比数列设为，a，aq； 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，，，a，aq，aq2，…； (2)四个符号相同的数成等比数列设为，，aq，aq3； 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，，，，aq，aq3，aq5，…； (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. 规律方法 对点练3.有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是_____. 45 设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列. 即 整理得 因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 返回 任务四　等比数列的实际应用 返回 (1)(2025·杭州高二检测)“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制. “十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于. 而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献. 若第一个单音的频率为f，则第四个单音的频率为 A.5f B.f C.4f D.f √ 典例 4 由题设依次得到的十三个单音构成首项为f，公比为的等比数列{an}， 第四个单音的频率为a4＝f×()3＝f. 故选B. (2)某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2 000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长 12％，则该公司需经过______年其投入资金开始超过了7 000万元. (参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845) 12 设该公司经过n年投入的资金为an万元，则a1＝2 000×1.12，由题意可知，数列{an}是以2 000×1.12为首项，以1.12为公比的等比数列，所以an＝2 000×1.12n，由an＝2 000×1.12n＞7 000，可得n＞log1.12＝≈11.1，因此，该公司需经过12年其投入资金开始超过7 000万元. 1.与等比数列有关的实际应用解题步骤 第一步，建模：将实际问题转化为数学中的等比数列模型； 第二步，求解：利用等比数列知识求出该问题的解； 第三步，还原：将所求结果还原到实际问题中. [注意]　建立等比数列模型时，要根据题意找准首项、公比和 项数. 2.产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解. 规律方法 对点练4.一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的只数为 A.55 989 B.46 656 C.216 D.36 √ 设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列{an}成等比数列，它的首项为6，公比q＝6，所以{an}的通项公式an＝6×＝6n，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝66＝46 656只蜜蜂. 故选B. 对点练5.某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10％的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值； 解：从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10％)，a3＝13.5(1－10％)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10％＝0.9， 所以an＝a1·＝13.5×0.. 所以n年后这辆车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元. (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解：由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， 所以用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元. 返回 课堂小结 任务 再现 1.等比数列的性质. 2.由等比数列构造新等比数列 方法 提炼 1.等比数列运算：基本量法、巧用性质法、方程思想. 2.数列性质问题：整体代换思想. 3.等比数列中项的设法：对称项设法. 4.解答等比数列实际应用问题的基本步骤：建模、求解、还原 误区 警示 1.对等比数列的性质不理解而致错. 2.不注意运用性质而出错或解法繁琐. 3.构造新的等比数列易忽视有等于0的项 随堂评价 返回 1.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝ A.1 B.2 C.4 D.8 √ 法一：由a3a11＝16，即a1·22·a1·210＝16，且a1＞0，得a1＝. 所以a5＝a1·24＝·24＝1. 故选A. 法二：由等比数列的性质，知＝a3a11＝16.又数列{an}的各项都是正数，所以a7＝4. 又a7＝a5×q2，则a5＝＝1. 故选A. 2.(多选)已知数列{an}为等比数列，则 A.数列a2，a4，a8成等比数列 B.数列a1·a2，a3·a4，a5·a6成等比数列 C.数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列 D.数列a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9成等比数列 √ √ 设等比数列{an}的公比为q，＝q2，＝q4，当q≠±1时，q2≠q4，故A错误；数列a1·a2，a3·a4，a5·a6的每项都不为0，且＝＝q4，故B正确；当数列{an}为1，－1，1，－1，1，…时，a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝0，故C错误；数列a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的每一项都不为0，且＝＝q3，故D正确. 故选BD. 3.三个实数成等比数列，它们的和为14，且它们的积为64，则这三个数分别为 A.2，4，8 B.8，4，2 C.2，4，8或8，4，2 D.以上都不对 √ 设所求的三个数分别为，a，aq，则有 当a＝4，q＝时，这三个数分别为8，4，2；当a＝4，q＝2时，这三个数分别为2，4，8.因此，这三个数分别为2，4，8或8，4，2. 故选C. 4.某工厂将在2025年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2033年年底达到原有的4倍，则总产值年平均增长率为________. －1 设2025年年底总产值为a(a≠0)，年平均的增长率为x，则a(1＋x)8＝4a，解得x＝－1. 返回 课时分层评价 返回 1.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是 A.a1，a3，a9成等比数列 B.a2，a3，a6成等比数列 C.a2，a4，a8成等比数列 D.a3，a6，a9成等比数列 √ 设等比数列{an}的公比为q，则＝＝q3＝＝，即a3，a6，a9成等比数列. 同理可知A，B，C错误. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.标准对数视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的“边长”都是下方一行“E”的“边长”的倍，若视力4.2的视标“边长”为a1，则视力5.1的视标“边长”为 A.1a1 B.1a1 C.1a1 D.1a1 √ 由题意可得，以视力4.2的视标“边长”为首项a1，则公比q＝1，视力5.1的视标“边长”为a10，故a10＝a1q9，即a10＝a1×1＝1a1. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知等比数列{an}满足a2＋a4＋a6＋a8＝20，a2·a8＝2，则＋＋＋的值为 A.8 B.10 C.12 D.16 √ 因为{an}是等比数列，所以a2·a8＝a4·a6＝2，＋＋＋＝＋＝＝＝10. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知数列{an}为等比数列，若数列{an＋λ}(λ≠0)仍为等比数列，且a3＝3，则a2 025的值为 A.1 B.3 C.32 024 D.32 025 √ 因为{an}为等比数列，所以＝an·an＋2.又{an＋λ}(λ≠0)为等比数列，所以(an＋1＋λ)2＝(an＋λ)·(an＋2＋λ)，即an＋an＋2＝2an＋1，设{an}的公比为q，则an＋anq2＝2anq，即q2－2q＋1＝0，解得q＝1.又a3＝3，所以 a2 025＝3. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)(2025·河南南阳高二期中)已知递增数列{an}满足a2·a8＝18，a3＋a7＝9，则下列说法正确的有 A.若数列{an}为等差数列，则a14＝9 B.若数列{an}为等差数列，则a11＝9 C.若数列{an}为等比数列，则a11＝12 D.若数列{an}为等比数列，则a14＝9 √ 若数列{an}为等差数列 ，则a3＋a7＝a2＋a8＝9 ，又a2·a8＝18，所以a2＝3，a8＝6，或a2＝6，a8＝3(舍)，所以d＝＝，所以a14＝a8＋6d＝9，a11＝a8＋3d＝，故A正确，B错误；若数列{an}为等比数列 ，则a3·a7＝a2·a8＝18 ，又a3＋a7＝9，所以a3＝3，a7＝6，或a3＝6，a7＝3(舍)，所以q4＝＝2，所以a11＝a7q4＝12，a14＝a7q7＝6×2×＝12×，故C正确，D错误. 故选AC. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)(2025·福建福州联考)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件0＜a1＜1，a8a9＞1，a8a9＋1＜a8＋a9，则下列结论正确的是 A.q＞1 B.a8a10＜1 C.T17＞1 D.Tn的最小值为T9 √ 由a8a9＞1，得等比数列{an}的公比q＞0，又a8a9＋1＜a8＋a9，所以a8a9＋1－a8－a9＜0，即(a8－1)(a9－1)＜0，又q＞0且0＜a1＜1，所以a8＜1＜a9，故q＝＞1，故A正确；a8a10＝＞1，故B错误；T17＝a1a2a3…a16a17＝(a1a17)(a2a16)…(a8a10)·a9＝(a9)17＞1，故C正确；因为q＞1且0＜a1＜1，所以等比数列{an}是递增数列，又a8＜1＜a9，所以Tn的最小值为T8，故D错误. 故选AC. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(开放题)各项均为正数的等比数列{an}，其公比q≠1，且a3·a7＝4，请写出一个符合条件的通项公式an＝________________. 因为数列{an}是正项等比数列，所以a3·a7＝＝4，所以a5＝2，又公比q≠1，不妨令q＝2，则an＝a5qn－5＝2×2n－5＝2n－4(答案不唯一). 2n－4(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为_____. 设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28，28q石，所以＋28＋28q＝98，所以q＝2，或.又0＜q＜1，所以q＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＝324(n≥2)，则n＝_____. 设数列{an}的公比为q.因为a1a2a3＝4＝q3，a4a5a6＝12＝q12，所以q9＝3.又因为an＝qn－2＋(n－1)＋n＝q3n－3＝324，所以q3n－6＝81＝34＝q36，所以3n－6＝36，解得n＝14. 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知{an}是等比数列. (1)若a1＝，a3a5＝4(a4－1)，求a2的值； 解：设数列{an}的公比为q，由a3a5＝4(a4－1)，得＝4(a4－1)，解得a4＝2， 所以q3＝＝8，所以q＝2，所以a2＝a1q＝. (2)若{an}为递增数列，且a1＞0，2(a4＋a6)＝5a5，求q； 解：由2(a4＋a6)＝5a5，得2(a4＋a4q2)＝5a4q，易知a4≠0， 所以2＋2q2＝5q，即(2q－1)(q－2)＝0，解得q＝2或q＝. 因为数列{an}为递增数列，且a1＞0， 所以q＞1，所以q＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)(2025·江苏南通高二检测)若{an}为递减数列，且＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求an. 解：设数列{an}的首项为a1，公比为q，显然an≠0， 由＝a10，得q8＝a1q9，解得a1＝q. 由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2(an＋anq2)＝5anq，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2，或q＝. 因为数列{an}为递减数列，所以q＝， 则a1＝，所以an＝()n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(一题多解)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为 A.2 B. C.3 D. √ 法一：依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q(q≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知解得a1q＝，q3＝，所以第5节的容积为 a1q4＝a1q·q3＝·＝. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 法二：依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9＝(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)＝＝27.所以a5＝. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在等比数列{an}中，a4a5a6＝64，则a2a4＋a6a8的最小值为 A.48 B.32 C.24 D.8 √ 因为a4a5a6＝64，所以＝64，解得a5＝4.所以a2a4＋a6a8＝＋≥2a3a7＝2＝2×42＝32，当且仅当a3＝a7＝4时取等号. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(新角度)已知在等比数列{an}中，an＞0，＋＝900－2a1a5，a5＝9a3，则a2 026的个位数字是_____. 3 由等比数列的性质可得a1a5＝a2a4，因为＋＝900－2a1a5＝900－2a2a4，所以＋＋2a2a4＝(a2＋a4)2＝900，又因为an＞0，所以a2＋a4＝30，所以a1(q＋q3)＝30，又由a5＝9a3，a3q2＝9a3，且q＞0，解得a1＝1，q＝3，所以＝a1q2 025＝32 025＝(34)506×3，所以a2 026的个位数字是3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70％是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16％改造为绿洲，同时原有绿洲的4％被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里. (1)求第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积(n≥2)的关系； 解：由题意得an＝(1－4％)＋(1－)×16％＝0.96＋0.16－0.16＝0.8＋0.16＝＋， 所以an＝＋(n≥2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)判断是否是等比数列，并说明理由； 解：由(1)得an＝＋， 所以an－＝，且a1－＝－＝－≠0， 所以的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)至少经过几年，绿洲面积可超过60％？(参考数据：lg 2≈0.301 0) 解：由(2)有an－＝， a1－＝－， 所以an－＝－， 即an＝－＋. an＝－＋＞，即＜，两边取常用对数得(n－1)lg＜lg， 所以n－1＞＝＝＝＝＝≈4.1， 所以n＞5.1，所以至少经过6年，绿洲面积可超过60％. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(新定义)若数列{an}满足＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1＝2，则b4＝ A. B. C. D. 若为“梦想数列”，则有－1＝3＋2，即－1＝－1，即＝，且b1＝2，所以数列{bn}为以2为首项，以为公比的等比数列.则b4＝2×＝. 故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝14，数列{bn}满足b1＝1，b4＝6，且{an－bn}是等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 解：设{an}的公差为d， 则d＝＝＝4， 所以an＝2＋(n－1)×4＝4n－2， 故{an}的通项公式为an＝4n－2(n∈N*). 设cn＝an－bn，则{cn}为等比数列. c1＝a1－b1＝2－1＝1， c4＝a4－b4＝14－6＝8， 设{cn}的公比为q，则q3＝＝8，故q＝2. 则cn＝2n－1，即an－bn＝2n－1. 所以bn＝4n－2－2n－1(n∈N*). 故{bn}的通项公式为bn＝4n－2－2n－1(n∈N*). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若任意n∈N*，都有bn≤bk成立，求正整数k的值. 解：由题意得，bk应为数列{bn}的最大项. 由－bn＝4(n＋1)－2－2n－4n＋2＋2n－1＝4－2n－1(n∈N*). 当n＜3时，－bn＞0，bn＜， 即b1＜b2＜b3； 当n＝3时，－bn＝0，即b3＝b4； 当n＞3时，－bn＜0，bn＞，即b4＞b5＞b6＞…，所以k＝3或k＝4. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 第2课时　等比数列的性质及其实际应用 返回 $