5.3.1 第2课时 函数单调性的综合问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦导数与函数单调性的综合应用，从已学导数与单调性关系切入，通过求含参单调区间、已知单调性求参数、比较大小、解不等式四个递进任务搭建学习支架，衔接基础与综合应用。 其亮点是以典例分析和变式探究为载体，通过分类讨论（如含参函数分a≥0、a<0讨论）培养逻辑推理，结合导数不等式恒成立提升数学运算，利用单调性比较大小和解不等式发展数学抽象。随堂与分层评价助力教师精准教学，帮助学生深化理解，提升解题能力。

5.3.1　函数的单调性 第2课时　函数单调性的综合问题 　 第五章　单元学习七　导数在研究函数中的应用 学习目标 1.进一步理解函数的导数与其单调性的关系. 2.能求简单的含参的函数的单调区间，提升数学运算的核心素养. 3.能根据函数的单调性求参数的取值范围、比较大小、解不等式，提升数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养. 内容索引 任务一　求含参函数的单调性(单调区间) 1 任务二　已知函数的单调性求参数的值或取值范围 2 任务三　利用单调性比较大小 3 课时分层评价 6 任务四　利用单调性解不等式 4 随堂评价 5 任务一　求含参函数的单调性(单调区间) 返回 已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)当a＝2时，求函数f(x)在x＝1处的切线方程； 解：当a＝2时，f(x)＝ln x＋2x2＋5x， 所以f'(x)＝＋4x＋5， 所以f'(1)＝10，f(1)＝7， 所以切线方程为y－7＝10(x－1)，即y＝10x－3. 典例 1 (2)讨论函数f(x)的单调性. 解：f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x， 定义域为(0，＋∞)， f'(x)＝＋2ax＋2a＋1＝＝， 当a＝0时，f'(x)＝＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 当a＞0时，f'(x)＝＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 当a＜0时，令f'(x)＞0，得0＜x＜－；令f'(x)＜0，得x＞－. 即f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减. 综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间； 当a＜0时，f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减. 变式探究 1.(变条件)讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)·ln x(a≥0)的单调性. 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f'(x)＝ax＋1－＝. ①当a＝0时，f'(x)＝， 由f'(x)＞0，得x＞1，由f'(x)＜0，得0＜x＜1. 所以f(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增. ②当a＞0时，f'(x)＝， 因为a＞0，所以＞0. 由f'(x)＞0，得x＞1，由f'(x)＜0，得0＜x＜1. 所以f(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增. 综上所述，当a≥0时，f(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增. 2.(变条件)当f'(x)＝(x＞0)时，试判断函数f(x)的单调性. 解：当a≤1时，因为ex＞1，所以ex－a＞0恒成立， 所以当x＞1时，函数f(x)单调递增，当0＜x＜1时，函数f(x)单调递减. 当a＞1时，由ex－a＝0，得x＝ln a. 当0＜ln a＜1，即1＜a＜e时，由f'(x)＞0，得x＞1，或0＜x＜ln a，所以函数f(x)单调递增； 由f'(x)＜0，得ln a＜x＜1，所以函数f(x)单调递减. 当ln a＝1，即a＝e时，f'(x)＝≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 当ln a＞1，即a＞e时，由f'(x)＞0，得x＞ln a，或0＜x＜1，所以函数f(x)单调递增； 由f'(x)＜0，得1＜x＜ln a，所以函数f(x)单调递减. 综上可知，当a≤1时，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调 递减. 当1＜a＜e时，函数f(x)在(0，ln a)和(1，＋∞)上单调递增，在(ln a，1)上单调递减. 当a＝e时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 当a＞e时，函数f(x)在(0，1)和(ln a，＋∞)上单调递增，在(1，ln a)上单调递减. 1.利用导数研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤 第一步(求定义域)：确定函数f(x)的定义域； 第二步(求导)：求导数f'(x)； 第三步(讨论)：分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论； 第四步(定区间)：在不同的参数范围内，解不等式f'(x)＞0和f'(x)＜0，确定函数f(x)的单调区间. 规律方法 2.导函数为二次型时单调性讨论的过程 规律方法 对点练1.已知函数f(x)＝(ax2＋2ax＋1)ex－2(a≥0)，讨论f(x)的单调性. 解：因为f(x)＝(ax2＋2ax＋1)ex－2， 所以f'(x)＝(ax2＋4ax＋2a＋1)ex， 令u(x)＝ax2＋4ax＋2a＋1. ①当a＝0时，u(x)＝1＞0，f'(x)＞0， 所以f(x)在R上单调递增. ②当a＞0时，Δ＝(4a)2－4a(2a＋1)＝4a(2a－1). (ⅰ)当a＞时，Δ＞0，令u(x)＝0，得x1＝，x2＝，且x1＜x2， 所以当x∈(－∞，x1)或x∈(x2，＋∞)时，u(x)＞0，f'(x)＞0， 当x∈(x1，x2)时，u(x)＜0，f'(x)＜0， 所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减； (ⅱ)当0＜a≤时，Δ≤0，所以u(x)≥0，f'(x)≥0，所以f(x)在R上单调递增. 综上，当a＞时，f(x)在(－∞，)，(，＋∞)上单调递增， 在(，)上单调递减； 当0≤a≤时，f(x)在R上单调递增. 返回 任务二　已知函数的单调性求参数的值或取值范围 返回 已知函数f(x)＝x3－ax＋b. (1)若函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围； 解：f'(x)＝3x2－a. 若函数f(x)＝x3－ax＋b在(1，＋∞)上单调递增， 则f'(x)＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立， 即a≤3x2在x∈(1，＋∞)时恒成立， 则a≤(3x2)min. 因为x＞1，所以3x2＞3. 所以a≤3，即实数a的取值范围是(－∞，3]. 典例 2 (2)若函数f(x)的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求实数a的值. 解：f'(x)＝3x2－a. 令f'(x)＞0，得x2＞. 若a≤0，则x2≥恒成立，即f'(x)≥0恒成立， 此时，函数f(x)＝x3－ax＋b在R上单调递增，与题意不符. 若a＞0，令f'(x)＞0，得x＞，或x＜－. 因为(1，＋∞)是函数f(x)的一个单调递增区间， 所以＝1，即a＝3. 变式探究 1.(变条件)若函数f(x)＝x3－ax＋b的单调递减区间为(－1，1)，求实数a的取值范围. 解：由题意得f'(x)＝3x2－a，函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞). ①当a≤0时，f'(x)≥0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，与已知矛盾，不符合题意. ②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±， 当－＜x＜时，f'(x)＜0. 所以f(x)在上为减函数， 所以f(x)的单调递减区间为， 又函数f(x)＝x3－ax＋b的单调递减区间为(－1，1)， 所以＝1，即a＝3. 2.(变条件)若函数f(x)＝x3－ax＋b在(1，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围又如何？ 解：f'(x)＝3x2－a， 当a≤0时，f'(x)＝3x2－a≥0恒成立，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当a＞0时，函数f(x)在(1，＋∞)上不单调， 即f'(x)＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有实根. 由3x2－a＝0，可得x＝，或x＝－(舍去).依题意，有＞1， 所以a＞3，所以实数a的取值范围是(3，＋∞). 利用函数的单调性求参数的值或范围，常用方法如下： 规律方法 形式1 函数f(x)在区间D上单调递增⇒f'(x)≥0在区间D上恒成立 形式2 函数f(x)在区间D上单调递减⇒f'(x)≤0在区间D上恒成立 形式3 函数f(x)在区间D上不单调⇒f'(x)在区间D上存在异号零点 形式4 函数f(x)在区间D上存在单调递增区间⇒∃x0∈D，使得f'(x0)＞0成立 形式5 函数f(x)在区间D上存在单调递减区间⇒∃x0∈D，使得f'(x0)＜0成立 形式6 若已知f(x)在区间D上的单调性，区间D上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令D是其单调区间的非空子集，从而求出参数的取值范围 对点练2.(1)函数f(x)＝ex－ax＋1是R上的单调增函数，则实数a的取值范围是 A.(0，＋∞) B.(－∞，0) C.[0，＋∞) D.(－∞，0] √ 依题意f'(x)＝ex－a≥0，a≤ex，由于ex＞0，所以a≤0. 故选D. (2)若函数y＝a(x3－x)的单调递减区间为，则a的取值范围是__________. (0，＋∞) y'＝a(3x2－1)＝3a. 当－＜x＜时，＜0，要使y＝a(x3－x)在上单调递减，只需y'＜0，即a＞0. 返回 任务三　利用单调性比较大小 返回 (1)已知函数f(x)＝3x＋2cos x，若a＝f()，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是 A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.b＜a＜c D.b＜c＜a √ 典例 3 由题意，得f'(x)＝3－2sin x，因为－1≤sin x≤1，所以f'(x)＞0恒成立，所以函数f(x)是增函数.因为＞1，所以＞3，又log24＜log27＜log28，即2＜log27＜3，所以2＜log27＜，所以f(2)＜f(log27)＜f()，即b＜c＜a. 故选D. (2)已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f()，f(1)，f(－)的大小关系为__________________. f(－)＞f(1)＞f() 因为f(x)＝xsin x是偶函数，所以f(－)＝f(). 又x∈［0，］时，f'(x)＝sin x＋xcos x＞0，所以f(x)在［0，］上是增函数，所以f()＞f(1)＞f()，即f(－)＞f(1)＞f(). 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件判断已知函数或进行构造后的函数的单调性，利用其单调性比较大小. 2.比较函数值的大小时，若自变量不在同一单调区间内，则要利用函数的性质，将其转化到同一个单调区间内，再进行比较. 规律方法 对点练3.(1)已知函数f(x)＝ln x－，设a＝f()，b＝f(2)，c＝f()，则 A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b √ 因为f(x)＝ln x－，所以f'(x)＝－＝＝，又x＞0，所以ex＞1，所以f'(x)＞0，即函数f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上单调递增，所以f()＞f(2)＞f()，即c＞b＞a. 故选C. (2)(多选)下列命题为真命题的是 A.＞ln 2 B.ln 2＜ln C.ln 2＜ D.＞5 √ √ √ 因为32＞23，y＝ln x在定义域上单调递增，所以ln 32＞ln 23，所以2ln 3＞3ln 2，所以＞ln 2，故A正确；构造函数f(x)＝，导函数f'(x)＝，当0＜x＜e时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，当x＞e时，f'(x)＜0，f(x)单调递减. 又因为e＞＞2，所以f＞f(2)，所以＞，ln＞ln 2，故B正确；又因为f(2)＜f(e)，所以＜，即ln 2＜，故C正确；又因为e＞＞2，所以f()＞f(2)，所以＞，所以2ln＞ln 2，所以ln()2＞ln ，所以5＞，故D错误. 故选ABC. 返回 任务四　利用单调性解不等式 返回 (1)函数f(x)的图象如图所示，f'(x)为函数f(x)的导函数，不等式＜0的解集为 A.(0，1) B.(－3，－1) C.(0，1)∪(1，2) D.(－3，－1)∪(0，1) √ 典例 4 由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1，1)时，f'(x)＜0；当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f'(x)＞0，故不等式＜0的解集为(－3，－1)∪(0，1). 故选D. (2)已知函数f(x)＝－1，且f(4x－1)＞f(3)，则实数x的取值范围是__________. 因为f(x)＝－1，所以f'(x)＝＜0，故函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，由f(4x－1)＞f(3)，可得4x－1＜3，解得x＜1. 故实数x的取值范围是(－∞，1). (－∞，1) 利用导数解不等式的解题思路 　　对于利用导数解不等式问题，需要利用导数判断出函数的单调性，再利用单调性解不等式. 注意函数的定义域. 规律方法 对点练4.(1)(2025·广东珠海高二期末)已知定义在(0，3]上 的函数f(x)的图象如图，则不等式(x－1)·f'(x)＜0的解集为 A.(0，2) B.(1，2) C.(2，3) D.(0，1)∪(1，2) √ 由题图可知，在(0，1)上f(x)单调递增，则f'(x)＞0，x－1＜0，所以(x－1)·f'(x)＜0，符合题意；在(1，2)上f(x)单调递减，则f'(x)＜0，x－1＞0，所以(x－1)·f'(x)＜0，符合题意；在(2，3)上f(x)单调递增，则f'(x)＞0，x－1＞0，所以(x－1)·f'(x)＞0，不符合题意. 综上， 不等式(x－1)·f'(x)＜0的解集为(0，1)∪(1，2). 故选D. (2)已知函数f(x)＝2 025x＋－，则不等式f(x＋1)＞f(2x)的解集为__________. (－，1) 由题意可知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝2 025－x＋－＝＋2 025x－＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数， 当x≥0时，f'(x)＝2 025xln 2 025＋·ln＋＝(2 025x－2 025－x)·ln 2 025＋≥0，且f'(x)不恒为零，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，由f(x＋1)＞f(2x)，可得f(｜x＋1｜)＞f(｜2x｜)，则｜x＋1｜＞｜2x｜，可得(x＋1)2＞4x2，整理得(3x＋1)(x－1)＜0，解得－＜x＜1. 返回 课堂小结 任务再现 1.求含参函数的单调区间. 2.由函数的单调性求参数的值或取值范围. 3.由函数的单调性比较大小、解不等式 方法提炼 分类讨论法、数形结合法、转化法、构造法 易错警示 求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论 随堂评价 返回 1.函数y＝xln x＋m的单调递增区间是 A. B.(0，e) C. D. √ 定义域为{x｜x＞0}，由y'＝ln x＋1＞0，得x＞. 故选A. 2.已知f(x)＝x2＋ln x＋mx－1在区间(1，2)上单调递增，则实数m的取值范围是 A.m≥－4 B.m＞－4 C.m＞－3 D.m≥－3 √ f(x)＝x2＋ln x＋mx－1在区间(1，2)上单调递增，则f'(x)＝2x＋＋m≥0在区间(1，2)上恒成立，即m≥－在区间(1，2)上恒成立. 设h(x)＝－，x∈(1，2)，h'(x)＝－2＋＝＝＜0，函数h(x)在(1，2)上是减函数，则h(x)＜h(1)＝－3，所以m≥－3. 故选D. 3.若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为 A.a＞c＞b B.b＞c＞a C.c＞b＞a D.a＞b＞c √ a＝＝，b＝＝，c＝，设f＝，f'＝，则x＞e时，f'＜0，故f上单调递减，则f＞f＞f，即＞＞，所以a＞c＞b. 故选A. 4.已知定义在R上的函数f(x)的导函数f'(x)＞1，且f(2m)＜f(m＋1)，则实数m的取值范围为__________. (－∞，1) 因为定义在R上的函数f(x)的导函数f'(x)＞1＞0，所以f(x)在R上单调递增，由f(2m)＜f(m＋1)，得2m＜m＋1，即m＜1. 所以实数m的取值范围为(－∞，1). 返回 课时分层评价 返回 1.设函数f(x)＝2x＋sin x，则 A.f(1)＞f(2) B.f(1)＜f(2) C.f(1)＝f(2) D.以上都不正确 √ 因为f(x)＝2x＋sin x，所以f'(x)＝2＋cos x＞0，故f(x)在R上单调递增，故f(1)＜f(2). 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0，1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1，2)上单调递增，则a等于 A.0 B.1 C. D.2 √ 因为函数f(x)＝x2－ax＋3在(0，1)上为减函数，所以≥1，得a≥2. g'(x)＝2x－＝，依题意g'(x)≥0在(1，2)上恒成立，即2x2≥a在x∈(1，2)时恒成立，有a≤2，所以a＝2. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x＞0时，有f'(x)＞0，g'(x)＞0，则当x＜0时，有 A.f'(x)＞0，g'(x)＞0 B.f'(x)＞0，g'(x)＜0 C.f'(x)＜0，g'(x)＞0 D.f'(x)＜0，g'(x)＜0 √ 由已知，得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数. 因为当x＞0时，f'(x)＞0，g'(x)＞0，所以f(x)，g(x)在(0，＋∞)上均单调递增，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，g(x)在(－∞，0)上单调递减，所以当x＜0时，f'(x)＞0，g'(x)＜0. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若函数f(x)＝x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有3个单调区间，则实数a的取值范围为 A.－1≤a≤2 B.－2≤a≤1 C.a＞2，或a＜－1 D.a＞1，或a＜－2 √ 若函数f(x)有3个单调区间，则f'(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，解得a＞1，或a＜－2. 故选D. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(多选)已知函数f(x)＝－ln x，则下列结论中正确的有 A.当a＞0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减 B.当a＝0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减 C.当a＜0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减 D.当a＜0时，函数f(x)在(0，－a)上单调递增，在(－a，＋∞)上单调递减 √ 由题意知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝－－＝－. 当a≥0时，f'(x)＜0恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故A，B正确；当a＜0时，令f'(x)＝0，解得x＝－a，所以当x∈(0，－a)时，f'(x)＞0，当x∈(－a，＋∞)时，f'(x)＜0，所以函数f(x)在(0，－a)上单调递增，在(－a，＋∞)上单调递减，故C错误，D正确. 故选ABD. √ √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选)已知函数f的定义域为R，且f'＞1，f＝4，则下列结论中正确的有 A.f为增函数 B.g＝f－x为增函数 C.f＞4的解集为 D.f＞2x的解集为 √ 对于A，因为f'＞1，所以f为增函数，故A正确；对于B，由g＝f－x，g'＝f'－1＞0，所以g为增函数，故B正确；对于C，f＝4，则f＞4等价于f＞f，又f为增函数，所以2x－1＞3，解得x＞2，所以f＞4的解集为，故C错误；对于D，f＞2x等价于f－＞1＝f－3，即g＞g，又g为增函数，所以2x－1＞3，解得x＞2，所以f＞2x的解集为，故D正确. 故选ABD. √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.(易错题)已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k＞0).若f(x)的单调递减区间是(0，4)，则实数k的值为_____；若f(x)在(0，4)上单调递减，则实数k的取值范围是________. f'(x)＝3kx2＋6(k－1)x，f(x)的单调递减区间是(0，4)，则0，4是方程f'(x)＝0的两个根，即f'(4)＝0，解得k＝.若f(x)在(0，4)上单调递减，则f'(x)≤0在(0，4)上恒成立，即k≤对任意x∈(0，4)恒成立，因为y＝在(0，4)上单调递减，所以＜＜1，所以k≤.又k＞0，所以0＜k≤，即实数k的取值范围为(0，］. 　 (0，］ 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是__________. 因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，又f'(x)＝4x－，由f'(x)＝0，得x＝.当x∈时，f'(x)＜0；当x∈时，f'(x)＞0. 据题意，k－1＜＜k＋1，k－1≥0，解得1≤k＜. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.若函数f(x)＝－2x＋sin x，则满足不等式f(2m2－m＋π－1)≤－2π的m的取值范围为____________________. 函数f(x)的定义域是R，由f'(x)＝－2＋cos x＜0可知f(x)为减函数，且f(2m2－m＋π－1)≤－2π＝f(π)，所以2m2－m＋π－1≥π，即2m2－m－1≥0，解得m≤－，或m≥1. (－∞，］∪[1，＋∞) 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间. 解：函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)， f'(x)＝k－＝. 当k≤0时，kx－1＜0，所以f'(x)＜0， 则f(x)在(0，＋∞)上单调递减. 当k＞0时，由f'(x)＜0，即＜0， 解得0＜x＜； 由f'(x)＞0，即＞0，解得x＞. 所以当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； 当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为 A.e2 B.e C.e－1 D.e－2 √ 依题意可知，f'(x)＝aex－≥0在(1，2)上恒成立，显然a＞0，所以xex≥，设g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g'(x)＝(x＋1)ex＞0，所以g(x)在(1，2)上单调递增，g(x)＞g(1)＝e，故e≥，即a≥＝e－1，即a的最小值为e－1. 故选C. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(2025·北京月考)对于R上可导的任意函数f(x)，若当x≠1时满足≥0，则必有 A.f(0)＋f(2)＜2f(1) B.f(0)＋f(2)≤2f(1) C.f(0)＋f(2)≥2f(1) D.f(0)＋f(2)＞2f(1) √ 由≥0，得当x－1＞0，即x＞1时，f'(x)≥0，则f(2)≥f(1)；当x－1＜0，即x＜1时，f'(x)≤0，则f(0)≥f(1). 由不等式的性质得f(0)＋f(2)≥2f(1). 故选C. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(开放题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝______________. ①f(x1)f(x2)＝f(x1＋x2)；②f'(x)＞0；③f'(x)＞f(x). 3x(答案不唯一) 由①可知函数f(x)可以是指数函数. 由②可知函数f(x)单调递增. 由③设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则f'(x)＝axln a，由f'(x)＞f(x)，得axln a＞ax，即ln a＞1，解得a＞e，满足题意的函数可以为f(x)＝3x(答案不唯一). 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知函数f(x)＝x2－4x＋(2－a)ln x，a∈R. (1)当a＝8时，求f(x)的单调区间； 解：当a＝8时，f(x)＝x2－4x－6ln x，定义域为(0，＋∞)， f'(x)＝2x－4－＝， 令f'(x)＞0，得x＞3； 令f'(x)＜0，得0＜x＜3， 所以f(x)的单调递增区间是(3，＋∞)，单调递减区间是(0，3). 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)若f(x)在区间[2，＋∞)内单调递增，求实数a的取值范围； 解：由题意知，f'(x)＝2x－4＋≥0在[2，＋∞)内恒成立，则a≤2x2－4x＋2在[2，＋∞)内恒成立， 令g(x)＝2x2－4x＋2＝2(x－1)2，则a≤g(x)min，而g(x)在[2，＋∞)内的最小值为g(2)＝2，所以a≤2. 故实数a的取值范围是(－∞，2]. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (3)若f(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围. 解：依题意，f'(x)＝2x－4＋＜0在区间(0，＋∞)内有解，即2x2－4x＋2－a＜0在区间(0，＋∞)内有解， 而抛物线y＝2x2－4x＋2－a的对称轴为直线x＝1，且开口向上， 则必有Δ＝16－8(2－a)＞0，即a＞0. 故实数a的取值范围是(0，＋∞). 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(2025·湖北襄阳联考)函数f(x)的导函数为f'(x)，若在f(x)的定义域内存在一个区间D，f(x)在区间D上单调递增，f'(x)在区间D上单调递减，则称区间D为函数f(x)的一个“渐缓增区间”. 若对于函数f(x)＝aex－x2，区间(0，)是其一个“渐缓增区间”，那么实数a的取值范围是____________. ［，］ 对于函数f(x)＝aex－x2，x∈(0，)， f'(x)＝aex－2x，令g(x)＝aex－2x， 则g'(x)＝aex－2，因为f'(x)在区间(0，)上单调递减， 所以aex－2≤0恒成立，即a≤恒成立， 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 又＞＝， 所以a≤，又f(x)在区间(0，)上单调递增， 所以f'(x)＝aex－2x≥0恒成立， 所以a－1≥0，解得a≥， 综上，得≤a≤. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知函数f(x)＝ax2＋2(1－a)x－2ln x(a∈R). (1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程； 解：由a＝0，则f(x)＝2x－2ln x，f(e)＝2e－2， 所以f'(x)＝2－，f'(e)＝2－，所以切线方程为y－(2e－2)＝(x－e)， 即y＝x. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)讨论函数y＝f(x)的单调性. 解：由f(x)＝ax2＋2(1－a)x－2ln x，求导得f'(x)＝2ax＋2(1－a)－＝， ①当a＝0时，f'(x)＝，令f'(x)＜0，解得x∈(0，1)，令f'(x)＞0，解得x∈(1，＋∞)， 则函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞). ②当a＞0时，令f'(x)＝0，解得x＝1，或x＝－(舍去)， 当x∈(0，1)时，f'(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时， f'(x)＞0， 则函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞). 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 ③当a＜－1时，令f'(x)＝0，解得x＝1，或x＝－， 当x∈∪(1，＋∞)时，f'(x)＜0，当x∈时，f'(x)＞0， 则函数f(x)的单调递减区间为和(1，＋∞)，单调递增区间为. ④当a＝－1时，f'(x)＝≤0， 则函数f(x)的单调递减区间为(0，＋∞). 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 ⑤当－1＜a＜0时，令f'(x)＝0，解得x＝1，或x＝－， 当x∈(0，1)∪时，f'(x)＜0，当x∈时，f'(x)＞0， 则函数f(x)的单调递减区间为(0，1)和，单调递增区间为. 综上，当a≥0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)； 当a＜－1时，函数f(x)的单调递减区间为和(1，＋∞)，单调递增区间为 ； 当a＝－1时，函数f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)； 当－1＜a＜0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，1)和，单调递增区间为. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 第2课时　函数单调性的综合问题 返回 $