精品解析：河南安阳市第一中学2025-2026学年高二上学期阶段二考试数学试题

安阳一中阶段二考试高二数学 命题人：陈社斌 审题人：朱立军 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知三点，，在同一条直线上，则（ ） A. 12 B. 24 C. 6 D. 10 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 4. 已知是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 1028 B. 1023 C. 1024 D. 1025 5. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，则以椭圆的短轴端点为顶点，且与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 设是等差数列的前n项和，若，，则的公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，（ ） A. B. C. 0或 D. 0或 8. 记数列的前项和为，，，则（ ） A. 9 B. C. 10 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 点在圆：上，点在圆：上，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 10. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 11. 设为椭圆的长轴的两个端点，为椭圆上与不重合的动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线的斜率之积为 B. 最大值为7 C. 存在点满足 D. 若的内心为的延长线交线段于点，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知A为抛物线（）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C的焦点坐标为______. 13. 将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则数列的前10项和为_______． 14. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为_____ 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知圆的圆心在轴上，且经过点，. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点，若，求直线的方程. 17. 已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线. （1）求的轨迹方程. （2）已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点. 18. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.数列满足，其前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆的离心率为点 在椭圆上，直线 与x轴交于点B. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在D的左侧），直线AC，AD分别与直线交于 E， F 两点，直线AC，AD的斜率记为. ①求证：为定值； ②点G为CF中点，若求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安阳一中阶段二考试高二数学 命题人：陈社斌 审题人：朱立军 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知三点，，在同一条直线上，则（ ） A. 12 B. 24 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由三点共线可得，再列式求解即可． 【详解】因为、、三点共线，所以， 即， 解得. 故选：C． 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线方程转化为标准形式，再求解即可. 【详解】将抛物线方程转化为标准形式, 因此其准线方程为. 故选：C. 3. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求得公差，进而求得. 【详解】设等差数列的公差为， ， 所以. 故选：C 4. 已知是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 1028 B. 1023 C. 1024 D. 1025 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得， 则. 故选：B. 5. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，则以椭圆的短轴端点为顶点，且与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的值，可得出双曲线的方程，根据题意，设所求双曲线的方程为，根据所求双曲线与双曲线有相同的渐近线可得出的值，即可得出所求双曲线的方程. 【详解】由题意且，则，则双曲线的方程为. 以椭圆的短轴端点为顶点的双曲线可设为， 若与双曲线具有相同渐近线，则，即. 故所求双曲线的方程为，即. 故选：B. 6. 设是等差数列的前n项和，若，，则的公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】当为奇数时，，由此公式可得，，进而可得. 【详解】，，解得． 故选: 7. 已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，（ ） A. B. C. 0或 D. 0或 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知直线与圆的位置关系，结合三角形面积公式和点到直线的距离公式列关于的方程求解． 【详解】 直线， 圆是圆心为，半径为的圆， 的面积，， 当时，的面积最大，此时圆心到直线l的距离为， ，解得或，经验证均符合题意， 当的面积最大时，或． 故选：D． 8. 记数列的前项和为，，，则（ ） A. 9 B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据递推数列求出是周期为2的数列，然后求出前25项和. 【详解】由，得， 令，则，所以，， 所以，所以是周期为2的数列． 由题设易得，所以． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 点在圆：上，点在圆：上，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】先把两个圆的方程都转化成标准形式，得出圆心坐标和半径大小，再算圆心距，并判断位置关系，求 的最值，及圆心连线斜率，最后逐一判断选项即可. 【详解】圆 ：，圆心 ，半径 ， 圆 ：，即，所以圆心 ，半径 ， 则，所以两圆相离. 的最小值：，A错误； 的最大值：， 的最大值为 7，B正确； C选项：两圆心连线斜率 ，C正确. D选项：两圆外离，无相交弦，故方程不存在， D错误. 故选：BC. 10. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由题设分和依次求出和数列是以2为公比，为首项的等比数列，进而得到数列是以为公差，为首项的等差数列求出，接着求出即可逐一计算即可得解. 【详解】数列的首项，且满足， 所以时，， 当时，， 整理得， 所以数列是以2为公比，为首项的等比数列， 所以，所以， 所以数列是以为公差，为首项的等差数列， 所以， 所以，， 所以常数， . 综上，ACD正确，B错误. 故选：ACD 11. 设为椭圆的长轴的两个端点，为椭圆上与不重合的动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线的斜率之积为 B. 最大值为7 C. 存在点满足 D. 若的内心为的延长线交线段于点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】设则，分别表示出和，计算化简，A正确，由椭圆定义得到，从而，当点在的延长线上时取得最大值，从而取得最大值，B正确；由圆的性质判断点的轨迹，圆和椭圆没有交点，C错误；在和中分别利用角平分线性质定理，得到，D正确. 【详解】由椭圆知，，， A选项，因为为长轴的两个端点，所以， 设，，则， ， ，A正确； B选项，因为点是椭圆上一点，所以，所以， ， 是椭圆内一点，，当且仅当点在的延长线上，即在时等号成立， 因为，的最大值为， 的最大值为，B正确； C选项，若点满足，则点落在以为直径，即以原点为圆心，为半径的圆上， 因为，所以圆与椭圆没有交点，所以不存在，C错误； D选项，内心是角平分线的交点，由角平分线性质定理， 在中，因为是的角平分线，所以， 在中，因为是的角平分线，所以， 所以，D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知A为抛物线（）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C的焦点坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义知，又， ，所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为：. 13. 将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则数列的前10项和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知新数列是以3为首项，以为公差的等差数列，进而可得数列的通项公式，利用裂项相消法求和. 【详解】因为数列是以为首项，以为公差的等差数列， 数列是以3为首项，以3为公差的等差数列， 可知这两个数列的公共项所构成的新数列是以3为首项，以为公差的等差数列， 所以数列的通项公式为：， 则 ， 则的前10项和为. 故答案为：. 14. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质、向量垂直的条件、线段比例关系，建立的齐次方程，即可求得双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为，，则， ，，则四边形为平行四边形. 由，得，因此，即，如图所示： 因为点、均在双曲线的右支上，则，得， 由可得. 在中，，由勾股定理： 即，化简得， 因为，解得. 在中，，， 代入可得， 整理得，故. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式进行求解即可. （2）根据等比数列和等差数列的前项和公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为等比数列满足， 则，两式相除可得，解得. 所以的通项公式为. 【小问2详解】 . 所以 16. 已知圆的圆心在轴上，且经过点，. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心，根据圆过已知两点，可确定圆心和半径，可得圆的标准方程. （2）利用几何法，根据弦长可求圆心到直线的距离，分直线存在斜率和不存在斜率，利用点到直线的距离公式，可求直线方程. 【小问1详解】 设圆心为，由， 所以. 所以圆的方程为：. 【小问2详解】 因为直线与圆相交，弦长为， 所以圆心到直线的距离为：. 如图： 若直线斜率不存在，则：，圆心到的距离为1，故满足题意； 若直线斜率存在，则设：即， 由. 所以直线：即. 综上，所求直线的方程为：或. 17. 已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线. （1）求的轨迹方程. （2）已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助为线段中点，利用相关点法求轨迹方程； （2）设直线：，联立抛物线方程，设，，可得根与系数的关系式，结合化简可得参数之间的关系，进而利用直线方程求得定点坐标. 【小问1详解】 设，，是的中点， ，，又， 代入得．故点的轨迹方程是． 【小问2详解】 由题意点坐标适合，即点A在C上， 由题意可知BD斜率不会为0，设直线：， 联立，消去并整理得， 需满足，即， 设，，则，，  因为，， 所以， 所以，将，代入得， 即， 所以直线：，即， 所以直线BD经过定点. 18. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.数列满足，其前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【小问1详解】 当时，有， 所以，得， 当时，有， 即，而， 两式作差，得，即， 化简得， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； 【小问2详解】 当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是. 19. 已知椭圆的离心率为点 在椭圆上，直线 与x轴交于点B. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在D的左侧），直线AC，AD分别与直线交于 E， F 两点，直线AC，AD的斜率记为. ①求证：为定值； ②点G为CF中点，若求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①，直线的方程为. 联立该直线与椭圆方程得，化简得. 由，解得. 设，（）， 由韦达定理可得. 所以 ， 所以为定值，定值为. ② 【解析】 【分析】（1）根据离心率的值和椭圆上一点求得，进而求得椭圆方程即可. （2）① 设出直线的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理对进行化简即可验证结果.②先根据三角形面积公式将表达式用列出来，然后根据求根公式整理为关于的式子，利用换元法令转化为的函数求值域即可. 【小问1详解】 由题意知， 因为，所以，所以. 所以，解得，则. 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①略 ②设直线的方程为，即. 令，则，所以. 设直线的方程为，同理可得. 则由①知，所以， 所以； . 又，所以. 由方程（）， 可得 所以， 令， 则 所以的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $