河南省安阳市林州市第一中学2024-2025学年高二上学期9月检测数学试题

2024-2025学年高二上学期9月检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1． 选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C． D． 2．已知空间直角坐标系中的点关于轴的对称点为，则的值为（    ） A． B．4 C．6 D． 3．已知直线：与直线：，若，则（    ） A． B．2 C．2或 D．5 4．已知圆过点，则圆心到原点距离的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 5．如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（    ）    A．存在点E，使平面 B．三棱锥的体积随动点E变化而变化 C．直线与所成的角不可能等于 D．存在点E，使平面 6．已知正方体的棱长为，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面四个结论中正确的个数是（    ） ①与一定不垂直       ②二面角的正弦值是 ③的面积是       ④点到平面的距离是常量 A． B． C． D． 7．若在圆上，总存在相异两点到原点的距离等于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知点A在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为 A． B． C． D． 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。） 9．如图，边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将，，分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C重合于点P，则下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥的外接球的体积为 C．点P到平面DEF的距离为 D．二面角的余弦值为 10．已知四面体中，，，两两垂直，则以下结论中一定成立的是（    ） A．； B． C．； D． 11．已知圆：和直线，则（   ） A．直线与圆的位置关系无法判定 B．当时，圆上的点到直线的最远距离为 C．当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时， D．如果直线与圆相交于、两点，则的中点的轨迹是圆的一部分 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分。） 12．已知平面向量，满足与的夹角为，且，则对一切实数的最小值是 ． 13．如图，在正四棱锥中，二面角为60°，E为的中点.已知F为直线上一点，且F与A不重合，若异面直线与所成角为60°，则= . 14．设直线2x－y－＝0与y轴的交点为P，点P把圆(x＋1)2＋y2＝25的直径分为两段，则这两段之比为 ． 四．解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） （14分）15．已知的三个顶点分别为，，，其中点在直线上 (1)若，求的边上的中线所在的直线方程： (2)若当时，求实数的值． （14分）16．在平面直角坐标系中，横､纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列与，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同：②，其中，则称与互为正交点列. (1)求的正交点列； (2)判断是否存在正交点列？并说明理由. （16分）17．如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，平面，，点是棱的中点，点是棱上的一点，且.    (1)证明：平面平面； (2)求平面和平面夹角的大小. （17分）18．设直线的方程为. (1)求证：不论a为何值，直线必过一定点P； (2)若直线分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A，B，当面积最小时，求的周长； (3)当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程. （16分）19．已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交于点，且∥平面．    (1)证明：； (2)当为的中点，与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学答案 1．A【详解】根据题意，， 所以. 2．D【详解】因为关于轴的对称点为，所以， 所以， 3．A【详解】若 , 则， 所以 或 . 当 时, 重合, 不符合题意, 所以舍去; 当 时, 符合题意. 4．D【详解】设圆心,由得，化简得，即圆心在直线运动，圆心到原点距离的最小值即原点到直线的距离，故最小值为， 5．D【详解】在正方体中，以点D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    设正方体棱长为2，则， 由在线段上运动，设（），则， 平面的法向量，显然，则直线与平面不平行，A错误； ，设直线与所成角为，则， 显然当时，，，即存在点E使得直线与所成的角为，C错误； 设平面的法向量为，， 则，令，得， 当时，，因此平面，D正确； 点在正方体的对角面矩形的边上，则， 而平面平面，则，又， 可得平面，点到平面的距离为，则三棱锥的体积为定值，B错误. 6．C【详解】以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设、，其中，设点，其中， 易知点，、、、、、 、、， 对于①，，，则， 当点与点重合时，即，此时，即，故①错； 对于②，因为，，故平面即平面， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 易知平面即为平面，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以，， 则， 因此，二面角的正弦值是，故②对； 对于③，，， 所以，点到直线的距离为， 所以，，故③对； 对于④，由②知，平面的一个法向量为， 所以，点到平面的距离为，④对. 7．C【详解】由题意可知， 若在圆上，总存在相异两点到原点的距离等于1，等价于圆和圆相交， 则圆心与原点之间的距离为， ，即，解得或， 实数的取值范围是. 8．A【详解】∵直线与直线 平行，线段的中点为， ，化简可得 解得， 设 ， ，即 9．AC【详解】对于A选项，作出图形， 取EF中点H，连接PH，DH，由原图知和均为等腰三角形，故，，又因为，所以平面PDH， 又平面PDH，所以，A正确； 由PE，PF，PD三线两两垂直，如下图构造长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径，设为2R，则，则，所以所求外接球的体积为，B错误； 根据题意，可知PE，PF，PD三线两两垂直，且，，在中，，，由等积法可得，得，C正确； 由题意如上图，，，则，，所以∠PHD为二面角的一个平面角，因为，，且，所以平面PEF，则，即，在中，，D不正确． 10．ACD【详解】由题意可知，，，两两垂直，所以， 对于A选项， ， ，故，所以A选项正确； 对于B选项，， 当时，，否则不成立，所以选项B不正确； 对于C选项， ，所以选项C正确； 对于D选项，，同理可得，， 所以，选项D正确， 11．BCD【详解】圆：，即，圆心为，半径为. 直线，即， 当时，，所以直线过定点. ，所以点在圆内，所以直线与圆相交，A选项错误. 时，直线的方程为，圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的最远距离为，B选项正确. 若圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离为， 即，C选项正确. 对于D选项，直线与圆相交于、两点，设的中点，则， 则，即点的轨迹是以为直径的圆. 由于直线的斜率存在，所以点的轨迹是以为直径的圆，且除去与直线的交点（以外的另一点），所以D选项正确.    12． 【详解】由题知，则， 则，故若使取最小值， 则只需向量与向量反向， 即 ， 当且仅当时，等号成立. 故答案为： 13．11 【详解】取的中点G，与的交点为，以O为坐标原点，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设 因为二面角为60°，所以 则. 设，则 从而 整理得，解得(舍)， 故. 14．或 【详解】依题意令x＝0,得P（0，﹣）， （x+1）2+y2＝25圆心C（﹣1，0）， ∴|CP|＝＝2，∵半径为5， ∴其长度之比＝＝或＝， 故答案为或． 15．(1) (2)6 【详解】（1）当时，，AB的中点为， 则，由直线的点斜式方程得MC的方程为 ，即； （2）设，，则， 当时，，即，解得. 16．(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）设点列的正交点列是， 由正交点列的定义可知， 设， 由正交点列的定义可知， 即，解得 所以点列的正交点列是. （2）由题可得， 设点列是点列的正交点列， 则可设 因为与与相同，所以有 因为得方程，显然不成立， 所以有序整点列不存在正交点列. 17．(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，    所以，设， 则，解得，即. 则， 设平面的一个法向量为， 则，即 令，解得，所以平面的一个法向量为. 因为，设平面的一个法向量为， 所以即，令，解得， 所以平面的一个法向量为， 又，所以平面平面； （2）， 所以. 设平面的一个法向量为， 所以，即 令，解得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 则，即 令，解得，所以平面的一个法向量为. ， 所以平面和平面夹角的大小为 18．(1)证明见解析 (2) (3)见解析. 【详解】（1）由得: ； 则，解得 所以不论为何值，直线必过一定点； （2）由得， 当时，，当时，， 又由，得， ∴ , 当且仅当，即时取等号 ∴，， ∴的周长为； （3）直线在两坐标轴上的截距均为整数， 即，均为整数， 所以，均为整数，∴，，，，，0，，2， 又当时，直线在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意， 所以直线的方程为，，，，，，，. 19．(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）设，则为的中点，连接， 因为为菱形，则， 又因为，且为的中点，则， ，平面，所以平面， 且平面，则， 又因为∥平面，平面，平面平面， 可得∥，所以. （2）因为，且为的中点，则， 且，，平面，所以平面， 可知与平面所成的角为，即为等边三角形， 设，则，且平面，平面， 可得平面，平面， 且平面平面，所以，即交于一点， 因为为的中点，则为的重心， 且∥，则， 设，则， 如图，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 可得， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$