精品解析：河南省光山县第二高级中学2025-2026学年高二上学期2月考试数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程可得，即可求出焦距 . 【详解】由题意知，可得，则, 所以双曲线的焦距为. 故选：D.     2. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式计算可得答案. 【详解】由于 ，则 ， 所以， 解得  . 故选：A 3. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将等式两端同时求导并代入计算可得结果. 【详解】对求导， 令，，则， 故选：A      4. 在等比数列 中，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式可得答案. 【详解】由等比数列的通项公式，得： ， 已知 ， 所以 故选：B 5. 若 ，恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，通过求导判断单调性，求出的最大值即可. 【详解】若 ，恒成立，则， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当 时，，在上单调递减， ， ， 故选:B. 6. 为了应对还有一个月到来的寒冬，有三只小松鼠准备外出采集坚果，其中小松鼠A每天风雨无阻地固定采集3颗坚果；小松鼠B第一天采集1颗坚果，之后每隔一天才外出采集一次，且每次采集的坚果数量均比上一次多1颗；小松鼠C第一天采集1颗坚果，之后四天每天采集的坚果数量均是上一天的2倍，但每过五天，小松鼠C都会休息三天，然后按此规律重新从第一次1颗坚果开始采集，请问三十天后下列哪只小松鼠采集的坚果最多？（ ） A. 小松鼠A B. 小松鼠B C. 小松鼠C D. 三只小松鼠同样多 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差，等比数列前 项和公式，分别计算三只小松鼠在三十天采集的坚果总数，可得答案. 【详解】三只小松鼠在三十天采集的坚果总数分别为： 小松鼠A：每天固定采集3颗，共颗； 小松鼠B：在第1、3、5、…、29天外出，共15天， 采集数量依次为1，2，…，15， 总和为颗； 小松鼠C：每8天为一个周期（工作5天，休息3天）， 每个周期采集颗， 30天包含3个完整周期和6天余数， 余数中前5天工作（采集31颗），第30天休息， 因此总数为颗； 比较得：，小松鼠C采集的坚果最多. 故选：C 7. 已知，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将表达式变形并构造函数，由函数单调性及奇偶性即可得. 【详解】令，代入原式得，即； 令函数，则恒成立， 因此函数在 上单调递增，又， 所以，即， 可得 ，所以. 故选：A 8. 在平面直角坐标系中，已知，，，射线AO是∠BAC的角平分线，则△ABC面积的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线得到点的轨迹，再结合三角形面积求解最大值即可. 【详解】AO是∠BAC的角平分线，， 设，则，两边平方化简得， 故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆（除去与轴的交点）. ，又，. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列 的前n项和为，公差为d，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 取最大值时 D. 时n的最大值为12 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，求和公式，结合等差数列的性质可逐项作出判断. 【详解】因为数列为等差数列， 由 ， 又，所以，A正确， ，B错误， 因为，，且， 可知等差数列 前6项为正，从第7项开始为负， 所以取最大值时 ，C正确， 因为， 则，又， 所以时n的最大值为12，D正确， 故选：ACD 10. 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形， ，为的中点，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 点到直线的距离为 C. 点到平面 的距离为 D. 平面与平面 夹角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量求法计算可得A正确，由点到直线、点到平面距离的向量求法计算可得B正确，C错误；求出平面与平面 的法向量，即可求得它们夹角的余弦值，即D正确. 【详解】由底面， 底面，所以， 又底面是正方形，所以 ， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则,则, 对于A，因此，即异面直线与所成角的余弦值为，A正确， 对于B，易知,, 则点到直线的距离为,B正确， 对于C，，设平面 的法向量为， 则，令 ，可得,即， 则点到平面 的距离为，C错误. 对于D，易知, 设平面的法向量为，则， 令 ，可得,即， 因为，故平面与平面 夹角的余弦值为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知曲线C：与直线l： 交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为，， ，则下列结论正确的是（ ） A. t取任意实数时，直线l均与曲线C交于不同的两点 B. 是以点Q为直角顶点的直角三角形 C. 当时， D. 面积的最小值为5 【答案】AB 【解析】 【分析】联立直线与曲线方程利用判别式可得A正确，利用向量数量积的坐标表示可证明，即可得B正确，根据线段长度比例关系并结合韦达定理解方程可得，因此C错误；求出面积的表达式即可判断出面积最小值为4，可得D错误. 【详解】对于A，联立直线与曲线方程得，整理得， 易知， 所以取任意实数时，直线均与曲线交于不同的两点，A正确， 对于B，设，则, 可知，又，即， 可得是以点Q为直角顶点的直角三角形，B正确， 对于C，易知曲线C：是由向右平移一个单位而来， 所以曲线的焦点坐标为，即为，准线为，即轴，如下图： 根据抛物线定义可得, 由可得，即， 可得，所以， 又，即，整理可得； 解得，因此C错误； 对于D，, 又， 当且仅当 时，面积的最小值为4，即D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过，两点的直线的倾斜角为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用直线倾斜角与斜率的关系即可求得结果. 【详解】设该直线的倾斜角为，易知， 由题意知，即； 可得. 故答案为： 13. 已知，，记，则数列的前 项和 ________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的前 项和公式可得答案. 【详解】由三角函数知：， 所以 ， 数列是首项为 、公比为  的等比数列， 所以数列的前   项和 . 故答案为： 14. 已知椭圆：与双曲线有公共的焦点，，A为，在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则最小值为________. 【答案】8 【解析】 【分析】设，根据双曲线与椭圆有公共焦点可得，再由的面积为2可知，，再由离心率定义可得，结合基本不等式计算可得当且仅当时最小值为. 【详解】记椭圆中的几何量为，双曲线中的几何量为， 则由椭圆和双曲线的定义可得①，②， 两式平方相减整理得， 记，则由余弦定理得③，如下图： 得， 由面积公式得，则, 代入 整理得，即， 故，因为，所以，所以，得， 因此，，则， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立， 即最小值为. 故答案为：8 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C经过点，，. （1）求圆C的标准方程； （2）若过原点O的直线l与圆C相切，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程并代入三点坐标，可求得圆的方程，再化成标准方程即可； （2）对直线l的斜率是否存在分类讨论，再由点到直线距离等于半径即可求得直线l的方程. 【小问1详解】 设圆， 代入三点得，解得， 则圆， 可得圆的标准方程为. 【小问2详解】 直线若斜率不存在，则直线为，圆心到直线的距离， 则直线与圆相切. 直线若斜率存在，则直线为，即, 圆心到直线的距离，解得， 则直线与圆相切. 综上直线的方程为或. 16. 如图，在正方体中，E是的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求平面的法向量，再用向量的方法证明线面平行； （2）直接用向量的方法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 如图：以D点为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2. 则， 设平面的法向量为，， 由，得，令 ，则，. 又因为，所以，所以， 又因为直线平面，所以直线平面. 【小问2详解】 因为，平面的法向量为， 设直线与平面所成角， 所以 17. 已知数列 满足，，记数列的前n项和为. （1）求数列 的通项公式； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数列通项和前 项和的关系，通过作差法即可求解； （2）由错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由，， 可得，， 两式相减可得， 即，， 又当时，符合上式， 所以，， 即，， 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 则， 两式相减可得：， 即， 化简可得： 18. 动点满足到定点和定直线的距离之比为，动点G的轨迹为曲线C， ，过点的直线l与C交于M，N两点，直线AM，AN与直线分别交于点 （1）求C的方程； （2）记直线的斜率分别为，，证明：为定值； （3）记 ，的面积分别为，问是否存在实数，使得恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） . （2）证明见解析. （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据动点到定点和定直线的距离比值整理化简即可得曲线的方程； （2）联立直线与椭圆方程，得出斜率表达式并利用韦达定理进行化简计算可得； （3）求出，，结合（2）中结论可知点 到直线的距离相等，可得，即. 【小问1详解】 由题意可得， 即，化简可得； 所以曲线的方程为 . 【小问2详解】 显然直线的斜率存在，设直线，，如下图： 联立得，消去并整理得， 所以，得， 则， 因为，且时，，所以直线与相切， 由椭圆的对称性可知， 所以 即可得为定值. 【小问3详解】 设存在实数，使得恒成立， 由，得， 由，得， 由可知，所以； 所以点到直线的距离为，点到直线的距离为， 因此点 到直线的距离相等，所以， 即. 19. 已知函数 ， . （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论在R上的单调性； （3）若 对任意的 恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） . （2）当时，在 上单调递增； 当 时，在 上单调递减，在 上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求出切线方程即可； （2）对参数的取值分类讨论，即可得出在R上的单调性； （3）将不等式等价转化为 对任意的 恒成立，求导得出当 时 在上恒成立，由 恒成立可知满足题意，再对 进行单调性分析得出矛盾即可求得结果. 【小问1详解】 当时，函数 ，求导可得 ， 则有 , 则在处的切线方程为，即 . 【小问2详解】 易知 ， 当时， ，故 恒成立，在 上单调递增； 当时，令 ，解得, 当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上可知时，在 上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 不等式 即为， 即 对任意的 恒成立， 设 ，易知， 令， 则，因为 ，所以 , 因此 ，因此在上单调递增； 又 ， 当 时，即 时， ，即 在上恒成立， 因此在上单调递增，所以 恒成立，满足题意； 当 时， ，由 可得 ； 此时 ， 易知当 时， ， 即在 上单调递减，所以存在 ，这与 对任意的 恒成立矛盾， 综上可得的取值范围为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 3. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 在等比数列 中，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 若 ，恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 为了应对还有一个月到来的寒冬，有三只小松鼠准备外出采集坚果，其中小松鼠A每天风雨无阻地固定采集3颗坚果；小松鼠B第一天采集1颗坚果，之后每隔一天才外出采集一次，且每次采集的坚果数量均比上一次多1颗；小松鼠C第一天采集1颗坚果，之后四天每天采集的坚果数量均是上一天的2倍，但每过五天，小松鼠C都会休息三天，然后按此规律重新从第一次1颗坚果开始采集，请问三十天后下列哪只小松鼠采集的坚果最多？（ ） A. 小松鼠A B. 小松鼠B C. 小松鼠C D. 三只小松鼠同样多 7. 已知，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 8. 在平面直角坐标系中，已知，，，射线AO是∠BAC的角平分线，则△ABC面积的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列 的前n项和为，公差为d，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 取最大值时 D. 时n的最大值为12 10. 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形， ，为的中点，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 点到直线的距离为 C. 点到平面 的距离为 D. 平面与平面 夹角的余弦值为 11. 已知曲线C：与直线l： 交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为，， ，则下列结论正确的是（ ） A. t取任意实数时，直线l均与曲线C交于不同的两点 B. 是以点Q为直角顶点的直角三角形 C. 当时， D. 面积的最小值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过，两点的直线的倾斜角为________. 13. 已知，，记，则数列的前 项和 ________. 14. 已知椭圆：与双曲线有公共的焦点，，A为，在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C经过点，，. （1）求圆C的标准方程； （2）若过原点O的直线l与圆C相切，求直线l的方程. 16. 如图，在正方体中，E是的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列 满足，，记数列的前n项和为. （1）求数列 的通项公式； （2）求. 18. 动点满足到定点和定直线的距离之比为，动点G的轨迹为曲线C， ，过点的直线l与C交于M，N两点，直线AM，AN与直线分别交于点 （1）求C的方程； （2）记直线的斜率分别为，，证明：为定值； （3）记 ，的面积分别为，问是否存在实数，使得恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数 ， . （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论在R上的单调性； （3）若 对任意的 恒成立，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $