精品解析：山东菏泽市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

高二数学试题 2026.02 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知经过两点的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知为等差数列，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 若圆上所有的点都在轴左侧，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中，若平面经过点且以为法向量，则平面的方程为；若直线经过点且以为方向向量，则直线的方程为.已知平面的方程为，直线的方程为，且，那么平面与平面夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 设，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的左､右焦点分别为为双曲线的左顶点，为坐标原点，以为直径的圆与的渐近线在第一象限交于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 或 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足为常数，则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. ，使得为等差数列 D. ，使得中存在相邻三项成等比数列 10. 已知为坐标原点，点在直线上，是圆的两条切线，为切点，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 若圆上恰有三个点到的距离为，则 C. 若为等边三角形，则 D. 若，则的取值范围是 11. 在长方体中，为的中点，为所在平面上一动点，为所在平面上一动点，且平面，则（ ） A. 若点到点与到直线的距离相等，则动点的轨迹为抛物线 B. 若与平面所成的角为，则动点的轨迹为圆 C. 若三棱柱的侧面积为定值，则动点的轨迹为椭圆（除与直线交点外） D. 若与所成的角为，则动点的轨迹为双曲线 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且，则的长为__________. 13. 已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是__________. 14. 过点的直线分别与轴､轴交于两点，为坐标原点.若使得的面积为的直线有且只有2条，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在三棱锥中，已知. （1）若与垂直，求； （2）求点到平面的距离. 16. 已知抛物线的准线与圆相切，是上一点. （1）若是抛物线的焦点，为坐标原点，且满足，求； （2）若点的坐标为，求点到点的距离与到轴的距离之和的最小值. 17. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，且平面. （1）证明：四边形为矩形； （2）若点在线段上（异于点），直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 18. 已知数列的前项和为，且 （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）若，求的前项和； （3）是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由. 19. 椭圆是坐标原点，若的三个顶点都在椭圆上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”. （1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点恰好是椭圆的两个顶点，并说明理由； （2）已知是“核心三角形”. （i）证明：的面积是定值； （ii）若为等腰三角形，这样的三角形有几个？并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 2026.02 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知经过两点的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】应用两点得出直线斜率，再根据方向向量得出斜率，最后列式求参数. 【详解】经过两点的直线斜率为， 又因为直线的方向向量为，则直线斜率为， 所以，即. 故选：C. 2. 已知为等差数列，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，进而求出指定项. 【详解】等差数列中，，则， 又，则，因此数列的公差， 所以. 故选：B 3. 若圆上所有的点都在轴左侧，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心半径，由题意即可求解. 【详解】可化为：，故圆心为：，半径为，由题意得，解得. 故选：C 4. 如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的几何体及空间的基底，利用空间向量线性运算求解即可. 【详解】由为的中点，得， 所以. 故选：A 5. 已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 6. 在空间直角坐标系中，若平面经过点且以为法向量，则平面的方程为；若直线经过点且以为方向向量，则直线的方程为.已知平面的方程为，直线的方程为，且，那么平面与平面夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的信息，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】由平面的方程为，得平面的法向量， 由直线的方程为，得直线的方向向量， 而，则平面的法向量为，设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的正弦值. 故选：D 7. 设，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解. 【详解】因为， 则， 则， 两式作差得， 所以， 即得， 计算得. 故选：C. 8. 双曲线的左､右焦点分别为为双曲线的左顶点，为坐标原点，以为直径的圆与的渐近线在第一象限交于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出以为直径的圆方程，进而求出点的坐标，再利用余弦定理建立方程求出即可. 【详解】令双曲线的半焦距为，，则以为直径的圆为， 点是渐近线与圆在第一象限的交点，联立两个方程解得，而， 在中，由，得，， 由余弦定理，得，即， 整理得，解得或， 所以双曲线的离心率为或. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足为常数，则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. ，使得为等差数列 D. ，使得中存在相邻三项成等比数列 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列、等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得为常数，是等差数列，A正确； 对于B，由为非0常数，是等比数列，B正确； 对于C，当时，若中存在为0的项，此时无意义，若不存在为0的项， 则不是常数， 即对任意非0常数，都不是常数，即数列不是等差数列，C错误； 对于D，若成等比数列，则，即， 整理得，解得，与矛盾， 因此，中不存在相邻三项成等比数列，D错误. 故选：AB 10. 已知为坐标原点，点在直线上，是圆的两条切线，为切点，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 若圆上恰有三个点到的距离为，则 C. 若为等边三角形，则 D. 若，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线所过定点判断A；由圆到直线距离为求解判断B；利用圆的切线性质求解判断C；求出点的轨迹，再利用直线与圆有公共点求解判断D. 【详解】对于A，对任意实数，当时，恒有，因此直线恒过定点，A正确； 对于B，由圆上恰有三个点到的距离为，得，解得，B错误； 对于C，由为等边三角形，得，而，则，C正确； 对于D，由，得四边形是正方形，则， 点在以点为圆心，为半径的圆上，即直线与圆有公共点， 因此，解得或，D正确. 故选：ACD 11. 在长方体中，为的中点，为所在平面上一动点，为所在平面上一动点，且平面，则（ ） A. 若点到点与到直线的距离相等，则动点的轨迹为抛物线 B. 若与平面所成的角为，则动点的轨迹为圆 C. 若三棱柱的侧面积为定值，则动点的轨迹为椭圆（除与直线交点外） D. 若与所成的角为，则动点的轨迹为双曲线 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，并设点，再利用空间角及距离运算求出轨迹方程判断ACD；利用柱体侧面积公式，结合椭圆的定义判断B. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则， 对于A，由点到点与到直线的距离相等，得，解得， 动点的轨迹为平面内垂直于轴，且与轴距离为3的两条直线，A错误； 对于B，，平面的法向量，由与平面所成的角为， 得，整理得，动点的轨迹为圆，B正确； 对于C，三棱柱的侧面积为定值， 则为定值，且，因此动点的轨迹是以为焦点， 长轴长为4的椭圆（除与直线交点外），C正确； 对于D，，由与所成的角为， 得， 整理得，因此动点的轨迹为双曲线，D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且，则的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的运算性质可求得的长. 【详解】如下图所示： 由空间向量数量积的定义可得，， 同理可得， 所以 ， 故. 故答案为：. 13. 已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据递增数列的定义，需满足对任意的恒成立，故需要同时满足①当时，②，③时，联立三者求出的取值范围. 【详解】当时，， 而， 若是递增数列，则恒成立， 得到的最小值是，解得； 当时，， 若是递增数列，则恒成立， 即，解得，且，解得， 综上，，即. 故答案为：. 14. 过点的直线分别与轴､轴交于两点，为坐标原点.若使得的面积为的直线有且只有2条，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线的点斜式方程设出直线的方程，并求出点坐标及三角形面积，再按直线斜率的正负分类，结合一元二次方程根的情况求出范围. 【详解】直线不垂直于坐标轴，设直线方程为， 则点，的面积， 于是，即，， 当，即时，，整理得， 此方程有两个负根，则，又，解得； 当，即时，，整理得， 此方程有两个正根，则，又，解得， 因此当时，有两解；当时，有三解； 当时，有四解， 由使得的面积为的直线有且只有2条，得有两解，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在三棱锥中，已知. （1）若与垂直，求； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示求解. （2）求出平面的法向量，再利用点到平面距离公式求解. 【小问1详解】 由，得，而， 由与垂直，得，即， 所以. 【小问2详解】 设平面的法向量为，则，取，得， 所以点到平面的距离. 16. 已知抛物线的准线与圆相切，是上一点. （1）若是抛物线的焦点，为坐标原点，且满足，求； （2）若点的坐标为，求点到点的距离与到轴的距离之和的最小值. 【答案】（1）4； （2）12. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用圆的切线性质求出，再作出几何图形，数形结合求解. （2）由（1）中信息，利用抛物线的定义，结合线段和差关系求出最小值. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为，圆的圆心为，半径为1， 由抛物线的准线与圆相切，得，解得， 抛物线的准线为，焦点， 过点作准线的垂线，垂足为，过作于， 由，得，在中，， 所以. 【小问2详解】 在抛物线的方程中，令，得，则点与焦点在抛物线的两侧， 设点到轴距离为，则 ，当且仅当是线段与抛物线的交点时取等号， 所以点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为12. 17. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，且平面. （1）证明：四边形为矩形； （2）若点在线段上（异于点），直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，连接OA，由AB=AC=√2,O为BC的中点，得OA⊥BC， 又，则，而平面，则直线两两垂直， 如图，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由，得， 又四边形为平行四边形，所以四边形为矩形. （2）或. 【解析】 【分析】（1）以O为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面的法向量，利用线面角的向量求法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， 则， 设， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成的角为， 则 ， 即，解得或， 所以的值为或. 18. 已知数列的前项和为，且 （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）若，求的前项和； （3）是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 在数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 而，则，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，即， 所以的通项公式为. （2）； （3）存在，理由： 假设存在正整数，使得， 由，得，则，又， 于是，则， 因此， 即，得， 所以存在正整数，使得成立. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用前项和与第项的关系，结合等比数列定义推理证明，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用分组求和法及裂项相消法求和. （3）假定存在，利用不等式性质推理求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以 . 【小问3详解】 略 19. 椭圆是坐标原点，若的三个顶点都在椭圆上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”. （1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点恰好是椭圆的两个顶点，并说明理由； （2）已知是“核心三角形”. （i）证明：的面积是定值； （ii）若为等腰三角形，这样的三角形有几个？并说明理由. 【答案】（1） 不存在，理由如下：不妨设，为椭圆的两个顶点， 椭圆的四个顶点坐标分别为， 由知，原点不可能是的中点， 所以为长轴的两个顶点和短轴的两个顶点显然不成立． 不妨设，则由得， 显然不满足椭圆方程，即点不在椭圆上． 同理可得，或时，点不在椭圆上． 综上所述，不存在＂核心三角形＂，其中两个顶点恰好是椭圆的两个顶点． （2） （i）当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称， 此时或，不妨设，则 由知：直线的方程为， 所以的面积为：． 当直线的斜率存在时，设的方程为：， 联立消去y得：， 由得：，① 设，则由韦达定理知：， ，又由可得 ，即. 把代入得：②， 因为是的重心，所以， 由，原点到直线的距离， 所以 所以． 综上所述，的面积是定值． （ii）若为等腰三角形，这样的三角形有4个．理由如下： 由题意不妨令， 当直线的斜率不存在时，满足题意的等腰三角形有2个； 当直线斜率为0时，满足题意的等腰三角形也有2个． 当直线的斜率存在且不为0时，由（i）知：， 所以的斜率， 那么由，即与不垂直， 这与且为的重心矛盾， 即当直线BC的斜率存在且不为0时，不存在满足题设的等腰三角形． 综上所述，若为等腰三角形，这样的三角形有4个． 【解析】 【分析】（1）求出椭圆四个顶点，根据向量和为0得不可能是的中点，假设，求出，分析其不在椭圆上，同理得到其他情况，即可判断； （2）（i）首先求出当直线的斜率不存在时，的面积，再设的方程为：，联立椭圆方程，得到韦达定理式，从而得到点坐标，再将其代入回椭圆方程得到关系式，最后根据弦长公式和点到距离公式计算三角形面积即可； （ii）首先考虑当直线的斜率和其斜率为0时的情况，最后再讨论斜率存在且不为0的情况即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $