指数（或指数型）函数的单调性问题寒假作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教A版必修一寒假作业——指数与指数函数专项突破版 04测试范围：指数（或指数型）函数的单调性问题 一、题型梳理 1、指数（或指数型）函数单调性的判断； 2、求指数型函数的单调区间； 3、利用单调性求参数范围； 4、与指数（或指数型）函数有关的分段函数单调性问题 5、指数（或指数型）函数的新定义问题 二、典例讲解 1、指数（或指数型）函数单调性的判断； 例1．函数的图象如图所示，则函数在上（    ） A．为增函数 B．为减函数 C．为常数函数 D．单调性不确定 【答案】B 【分析】根据直线的图象，可判断出的取值范围，进而可求出，然后结合指数函数的单调性，可求出答案. 【详解】由题意，直线的图象过点，所以，即，又因为直线的纵截距为，且，所以.所以，所以函数在上为减函数. 故选：B. 例2．设函数，则函数的单调性（    ） A．与a有关，且与b有关 B．与a无关，且与b有关 C．与a有关，且与b无关 D．与a无关，且与b无关 【答案】D 【分析】通过对进行讨论，再用复合函数的求单调性的方法，可知该函数的单调性与是否有关. 【详解】因为函数，所以当时，单调递增.当时，单调递增.则且，，的单调性都为单调递增. 所以函数的单调性与无关.故选：D 例3．函数的单调性为（   ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递增，在上单调递减 D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】B 【分析】根据题意，求得函数的定义域为，结合二次函数的单调性与复合函数的单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由函数，则满足，即，解得，即函数的定义域为，又由函数的图象开口向下，且对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，因为在定义域上为单调递减函数， 根据复合函数的单调性的判定方法，可得在上单调递减，在上单调递增. 故选：B. 例4．已知函数．关于函数的单调性，下列判断正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】A 【分析】利用换元法，结合二次函数和指数函数的单调性，最后利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】令，函数可化为为， 因为函数开口向上，对称轴为，即.当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，又因为在上单调递减， 由复合函数的单调性可得，函数在上单调递增.故选：. 例5、已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； 【答案】(1)；(2)在上是递减函数，证明见解析 【分析】（1）利用奇函数的定义列式求出值. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得， 则，所以. （2）由（1）知，函数在上是递减函数， 任取，且，， 由，得，则，，即， 所以是定义在上的递减函数. 2、求指数型函数的单调区间 设内层函数，外层函数，根据“同增异减”判断：时，的单调区间与一致；时，与相反，注意定义域优先原则。 例6．若单调性一致，则为单调递增.函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】令，则函数在上单调递减，在上单调递增，又函数为减函数，所以函数的单调递增区间是.故选：A. 例7．关于函数 下列说法正确的是（ ） A．值域 B．值域 C．单调增区间 D．单调减区间 【答案】BCD 【分析】令，求函数的值域即可判断AB；根据同增异减判断复合函数的单调性判断CD. 【详解】令，则，因在上单调递增，则，即的值域为，故正确，错误；在上单调递增，在上单调递减，则的增区间为，减区间为，故CD正确.故选：BCD 例8、函数的单调递增区间为 ． 【答案】（说明写成也给分） 【分析】应用复合函数单调性结合指数函数单调性求解. 【详解】因为单调递减，单调递减，单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 例9、已知幂函数为偶函数，则 ，若，则的单调增区间是 【答案】 3 （或） 【分析】先由幂函数定义求出参数m，再结合奇偶性确定符合的m值；再由函数和函数的单调性结合复合函数同增异减原则即可得解. 【详解】由题可得或，当时，函数为奇函数，不符合；当时，函数为偶函数，符合.所以；所以，定义域为R，因为为减函数，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调增区间是. 例10、函数的单调增区间为 ． 【答案】 【分析】求出给定函数定义域，再求出函数的单调区间，然后借助复合函数单调性即可得解. 【详解】函数中，，解得，即函数定义域为， 因函数在上单调递减，在上单调递增，又指数函数为单调递减， 因此，函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的单调增区间是. 3、根据单调性求参数范围； 拆分复合函数，明确内外层函数单调性，结合“同增异减”列不等式；若含参数在底数位置，需分和讨论，同时保证函数定义域有效。 例11．函数是R上的单调减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性，只需，解不等式即可求解. 【详解】函数是R上的单调减函数，所以，解得， 故选：B 例12、若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，对称轴为，又是R上增函数，因为是上的增函数，所以，即，所以实数的取值范围为. 故选：A. 例13．已知函数在上单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，“函数在上单调”等价于“函数在上单调”，求出的对称轴方程，分在上单调递增和在上单调递减两种情况求解. 【详解】，令，则“函数在上单调”等价于“函数在上单调”，的对称轴为，若在上单调递增， 则，解得，若在上单调递减，则，解得，综上所述，实数的取值范围为.故选：D. 例14、已知函数，若对，且，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可得，令，则在上单调递减，由复合函数的单调性可得在上单调递减，结合二次函数的图象与性质分析即可求解. 【详解】因为对，且，都有，则， 令，则在上单调递减，令 由于在上为增函数，由复合函数单调性可得：在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足条件， 当时，要使在上单调递减，则，解得：， 当时，要使在上单调递减，则，解得：， 综上的取值范围为：; 4、与指数（或指数型）函数有关的分段函数单调性问题 例15．已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数是上的减函数，可得在上单调递减，且，求解即可. 【详解】因为函数是上的单调函数，而在上是减函数， 所以在上单调递减且，即，解得. 故选：D 例16、已知，函数在上单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的单调性，分段考虑单调性，再考虑分段点的函数值大小即得. 【详解】对于，，若，由幂函数性质易得函数在上单调递增， 当时，因函数在上单调递减，故在上单调递增， 时，总有在上单调递增.对于，因函数在上单调递减，由题意需使在上单调递减，即．依题意，需使，解得，故实数a的取值范围是． 例17、已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由指数函数的单调性结合分段函数的单调性和间断点的连续性列不等式可得. 【详解】因为当时，函数单调递减，且当时，；当时，函数单调递减，且当时，.由题意得，，解得即实数的取值范围是. 例18．已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性，按单调递减和单调递增分类列式求解. 【详解】函数在上单调， 当在上单调递减时，，解得； 当在上单调递增时，，解得， 所以实数的取值范围是. 5、指数（或指数型）函数的新定义问题 例19．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定定义，把问题转化为两个函数在区间同增或同减列出恒成立的不等式，再借助指数函数单调性求解. 【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增，若区间为函数的“稳定区间”，令，则函数与函数在区间上同增或者同减， ①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立， 于是，解得； ②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立， 于是，不等式组无解，所以实数的取值范围为 故选：A 例20．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为 。 【答案】 【分析】题目等价于函数与函数在区间上同增或者同减，分别讨论两个函数同增或同减的情况列出不等式可求解. 【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增，若区间为函数的“稳定区间”，则函数与函数在区间上同增或者同减， ①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立， 可得，解得； ②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立， 即，不等式组无解，综上所述；. 04 指数（或指数型）函数的单调性问题的寒假作业 一、选择题 1、函数的单调增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数及指数函数的单调性，结合复合函数的单调性法则得解. 【详解】令，由二次函数单调性可知，在上单调递减， 又是减函数，由复合函数的单调性知，的单调增区间为. 2．函数（    ） A．是上的减函数 B．是上的增函数 C．在上是减函数，在上是增函数 D．无法判断其单调性 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论. 【详解】因为指数函数为上的增函数，指数函数为上的减函数， 故函数是上的增函数. 故选：B. 3．已知函数，，则的单调性（    ） A．若无关，与无关 B．与有关，与无关 C．若无关，与有关 D．若有关，与有关 【答案】A 【分析】根据单调性的定义判断． 【详解】解：设，，当时，，，，，为增函数，当时，同理得，为增函数，故选：A 4．若函数在区间内不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的单调区间，建立不等关系，解之即可得解. 【详解】作出函数的图像，如图所示， 由图可知，函数在内单调递减，在内单调递增，又函数在区间内不单调，，解得：.所以实数的取值范围是 故选：D 5、已知函数在上单调递增，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数以及指数函数的单调性，利用分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【详解】由二次函数的图像开口向下，对称轴为直线，则函数在上单调递增，在上单调递减.由指数函数易知在上单调递增. 由题意可得，即，解得. 故选：D. 6．若函数在上的最大值为9，最小值为n，且函数在上是单调减函数，则（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【解析】由在上是单调减函数，可得，然后对指数函数分和两种情况讨论其在区间的最值即可得答案 【详解】∵在上是单调减函数，∴，当时，的最大值为，即，，不符合题意；当时，的最大值为，即，，符合题意，综上， 故选：B     7、若函数，且满足对任意的实数都有 成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得在上单调递增，结合分段函数的单调性要求即可求解. 【详解】解：∵对任意的实数都有成立， ∴函数在上单调递增，∴,解得， 故选：C 8．设函数与(且)在区间具有不同的单调性，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】D 【分析】根据幂函数和指数函数的单调性可知或，分类讨论两种情况，结合指数函数的单调性即可比较大小. 【详解】解：因为与(且)在区间具有不同的单调性， 所以或，解得：或，当时，，，此时； 当时，，，此时；所以的大小不确定. 故选：D. 9、（多选）关于函数 下列说法正确的是（ ） A．值域 B．值域 C．单调增区间 D．单调减区间 【答案】BCD 【分析】令，求函数的值域即可判断AB；根据同增异减判断复合函数的单调性判断CD. 【详解】令，则，因在上单调递增，则，即的值域为，故正确，错误；在上单调递增，在上单调递减，则的增区间为，减区间为，故CD正确.故选：BCD 10．对于函数，则（    ） A．与具有相同的最小值 B．与在上具有相同的单调性 C．与都是轴对称图形 D．与在上具有相反的单调性 【答案】AC 【分析】在同一坐标系中，作出函数，的图像，进而对四个选项一一作出判断. 【详解】A选项，在同一坐标系中，作出函数，的图像如图所示， 由图可知与的最小值都为1，A项正确； B选项，在上单调递增，在上不单调，B项错误； C选项，的图像关于直线对称，的图像关于直线对称，C项正确； D选项，与在上均单调递减，D项错误. 故选：AC 11．若函数与，在单调区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的可能取值是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】ABC 【分析】根据“稳定区间”的定义，得，分函数与为增函数和函数与为减函数两种情况讨论，求出的范围，从而可得出答案. 【详解】解：因为函数的稳定区间为，所以， 当函数与为增函数时，则，则，因为，所以，所以， 当函数与为减函数时，则，则，因为，所以，所以，此时不存在， 综上所述，. 故选：ABC. 二、填空题 12、若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是 。 【答案】 【分析】先令，将原函数转化为函数与的复合函数，再根据复合函数单调性的判断方法，结合二次函数的性质确定的范围. 【详解】令，则原函数可以看作函数与的复合函数. 因为R上的增函数，要使函数在上单调递增，则函数在上单调递增.所以，即，所以的取值范围. 13、已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 。 【答案】 【分析】利用分段函数的单调性以及指数函数的性质求解. 【详解】因为时，单调递减，且函数在上具有单调性，所以当时，函数在单调递减，所以，解得，再考虑函数在处左右的取值，所以，解得， 综上，实数的取值范围是， 14．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫作的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题干中“稳定区间”的含义可知函数与函数在区间上同增或者同减，分类讨论转化为不等式组在上恒成立，计算得到结果； 【详解】根据题意可知，函数与函数在区间上同增或者同减， ①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，函数在定义域上单调递减，若在某区间上单调递增，只能绝对值里面小于等于0，即，可得解得； ②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立，即此时不等式组无解综上所述，． 三、解答题 15．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)讨论函数在上的单调性； 【答案】(1)偶函数，证明见解析；(2)答案见解析 【分析】（1）根据奇偶性的定义可知函数为偶函数； （2）利用函数单调性定义，设 ，作差 ， 再根据的符号讨论单调性； 【详解】（1）因为，的定义域为， 所以，所以函数为偶函数； （2）设 ，则 ，因此 . 因为，所以，，分母， 当 时，，即 ，函数在 上单调递减； 当 时，，即 ，函数在 上单调递增. 16．已知函数. (1)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (2)若对，都有成立，求实数a的取值范围； 【答案】(1)在上单调递增，证明见详解.(2) 【分析】（1）直接由指数函数单调性，单调性的定义证明即可. （2）将原问题转换为不等式对恒成立，通过换元法以及对勾函数性质即可得解. 【详解】（1）在上单调递增，理由如下； 任取，且，那么， ，，可得，又， ，即，在上单调递增. （2），， ， 由（1）可知在上单调递增，，，即对恒成立，令，，只需，令，则，， 在上单调递增，当时，，. 17．函数的图象关于坐标原点对称. (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性且用单调性的定义证明，求出函数的值域； (3)若存在实数m，n使得函数在区间上的值域是，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2)是定义在上为减函数，证明见解析；函数的值域为 (3) 【分析】（1）先判断该函数为上的奇函数，由求出的值并验证即可； （2）根据函数的单调性定义，利用作差法证明函数的单调性，再由指数函数性质和不等式的性质求其值域； （3）根据函数的单调性及值域先推出，可得为方程的两个不等实根，通过换元将其转化为方程有两个不等的正根，结合二次函数的图象列出不等式组，求解即得. 【详解】（1）函数的图象关于坐标原点对称，即函数为上的奇函数， 由，解得，此时. 由，符合题意，故. （2）函数在上为减函数，证明如下. 任取，满足，由， 因，则，，则，故函数在上为减函数. 又，由可得，即得，故函数的值域为. （3）由（2）可得函数在区间上为减函数， 由题意可得，即为方程的两个不等实根. 设，则，可得方程有两个不等的正根， 故得，解得，即实数k的取值范围为. 40．设，函数． (1)是否存在，使函数为奇函数，并说明理由； (2)当时，判断的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)当时，若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)存在使函数为奇函数，理由见解析 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出定义域，再根据奇函数的性质即可求解； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）根据奇偶性与单调性得出，再根据二次函数图象求解最大值即可求解． 【详解】（1）因为，所以定义域为，若为奇函数，则，即，解得，所以，，符合题意． （2）在上单调递增，证明如下： 当时，，定义域为，任取，且， ， 因为，所以，则，所以，即在上单调递增． （3）当时，，在上是增函数且为奇函数，所以， 因为关于的不等式在上有解， 且在的最大值为，所以，解得． 19．已知函数，，定义函数． (1)判断在上的单调性，并证明你的结论； (2)求函数在上的最大值； 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析；(2) 【分析】（1）化简函数的解析式为，判断出在上单调递增，然后任取、，且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （2）化简得出，令，可得出，，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，可得出最大值的表达式； 【详解】（1）由题意得，在上单调递增． 证明如下： 任取、，且， 则， 因为，所以，即，所以， 即，故在上单调递增． （2）， 令，因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，所以，所以，，又的图象的对称轴为， 当时，函数在上单调递增，此时； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，因为，，则，此时； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，因为，，则，此时； 当时，函数在上单调递减，此时． 综上所述. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一寒假作业——指数与指数函数专项突破版 04测试范围：指数（或指数型）函数的单调性问题 一、题型梳理 1、指数（或指数型）函数单调性的判断； 2、求指数型函数的单调区间； 3、利用单调性求参数范围； 4、与指数（或指数型）函数有关的分段函数单调性问题 5、指数（或指数型）函数的新定义问题 二、典例讲解 1、指数（或指数型）函数单调性的判断； 例1．函数的图象如图所示，则函数在上（    ） A．为增函数 B．为减函数 C．为常数函数 D．单调性不确定 例2．设函数，则函数的单调性（    ） A．与a有关，且与b有关 B．与a无关，且与b有关 C．与a有关，且与b无关 D．与a无关，且与b无关 例3．函数的单调性为（   ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递增，在上单调递减 D．在上单调递增，在上单调递减 例4．已知函数．关于函数的单调性，下列判断正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 例5、已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； 2、求指数型函数的单调区间 设内层函数，外层函数，根据“同增异减”判断：时，的单调区间与一致；时，与相反，注意定义域优先原则。 例6．若单调性一致，则为单调递增.函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 例7．关于函数 下列说法正确的是（ ） A．值域 B．值域 C．单调增区间 D．单调减区间 例8、函数的单调递增区间为 ． 例9、已知幂函数为偶函数，则 ，若，则的单调增区间是 例10、函数的单调增区间为 ． 3、根据单调性求参数范围； 拆分复合函数，明确内外层函数单调性，结合“同增异减”列不等式；若含参数在底数位置，需分和讨论，同时保证函数定义域有效。 例11．函数是R上的单调减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例12、若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例13．已知函数在上单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例14、已知函数，若对，且，都有，则的取值范围是 ． 4、与指数（或指数型）函数有关的分段函数单调性问题 例15．已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例16、已知，函数在上单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例17、已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是 . 例18．已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ． 5、指数（或指数型）函数的新定义问题 例19．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例20．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为 。 04 指数（或指数型）函数的单调性问题的寒假作业 一、选择题 1、函数的单调增区间是（ ） A． B． C． D． 2．函数（    ） A．是上的减函数 B．是上的增函数 C．在上是减函数，在上是增函数 D．无法判断其单调性 3．已知函数，，则的单调性（    ） A．若无关，与无关 B．与有关，与无关 C．若无关，与有关 D．若有关，与有关 4．若函数在区间内不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5、已知函数在上单调递增，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．若函数在上的最大值为9，最小值为n，且函数在上是单调减函数，则（    ） A．3 B． C．9 D． 7、若函数，且满足对任意的实数都有 成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．设函数与(且)在区间具有不同的单调性，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 9、（多选）关于函数 下列说法正确的是（ ） A．值域 B．值域 C．单调增区间 D．单调减区间 10．对于函数，则（    ） A．与具有相同的最小值 B．与在上具有相同的单调性 C．与都是轴对称图形 D．与在上具有相反的单调性 11．若函数与，在单调区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的可能取值是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 二、填空题 12、若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是 。 13、已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 。 14．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫作的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为 ． 三、解答题 15．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)讨论函数在上的单调性； 16．已知函数. (1)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (2)若对，都有成立，求实数a的取值范围； 17．函数的图象关于坐标原点对称. (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性且用单调性的定义证明，求出函数的值域； (3)若存在实数m，n使得函数在区间上的值域是，求实数k的取值范围. 18．设，函数． (1)是否存在，使函数为奇函数，并说明理由； (2)当时，判断的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)当时，若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 19．已知函数，，定义函数． (1)判断在上的单调性，并证明你的结论； (2)求函数在上的最大值； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $