01有关根式、分数指数幂及指数的运算问题寒假作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教A版必修一寒假作业——指数与指数函数专项突破版 01测试范围：有关根式、分数指数幂及指数的运算问题 一、题型梳理 1、根式的性质： 2、根式与分数指数幂的互化 3、指数的运算性质 4、指数运算与完全平方差（和）等公式的交汇 二、典例讲解 1、根式的性质： 根式化简：将被开方数分解为质因数或因式，提取平方（或更高次）因数。根指数与被开方数的指数约分，同类二次根式化为最简形式（被开方数不含分母及可开尽方的因数）。 求值与计算：化简后，根据题目要求代入数值求值；加减运算仅合并同类根式，乘除运算分别对被 开方数和根指数运算，结果再化简。 例1．计算：（     ） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】由根式的运算性质求解即可 【详解】.故选：C 例2．式子的化简结果是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用根式的运算性质计算即可. 【详解】.故选：D 例3．若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据根式的性质求解的范围，再根据根式的性质化简即可. 【详解】由题意得：，解得， 故.故选：C. 例4．（多选）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据根式运算法依次验证各个选项即可得到结果. 【详解】对于A，，A正确对于B，，B正确，对于C，，C错误，对于D，，D错误，故选：AB. 例 5．下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【详解】A选项：左边的定义域为，右边的定义域为，定义域不同，故不恒等，A错误；B选项：，因，故，B错误；C选项：仅在为偶数时成立；当为奇数时，，C错误；D选项：由根式性质，当有意义时，总有，故D正确.故选： D 2、根式与分数指数幂的互化 例6．已知，则化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分数指数幂的运算性质化简即可. 【详解】，故选：C. 例7．已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂和根式的关系逐层转化即可. 【详解】.故选：A 例8．（   ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】根式化为分数指数幂，再进行运算即可. 【详解】，故选：D 例9．（多选）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据根式和分数指数幂运算逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：，故A错误；对于选项B：，故B正确；对于选项C：，故C正确；对于选项D：，故D错误．故选：BC. 例10．化简的结果为 【答案】1 【分析】由根式与指数幂的关系及指数幂的运算性质化简求值. 【详解】由 . 3、指数的运算性质 例11．设，则＝（   ） A．10 B． C．25 D．5 【答案】D 【分析】根据题意得，再结合同底数幂的乘法的运算法则进行求解. 【详解】由题意知，，所以， 故选：D. 例12．若，则下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算法则依次讨论各选项即可得答案. 【详解】因为，对于A，，故错误； 对于B，，故错误；对于C，，故错误； 对于D，，正确，故选：D 例13．的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】转化为计算即可. 【详解】 故选：B 例14．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算得解. 【详解】由,，得. 故选：A 例15．（多选）设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据指数幂运算逐项分析判断即可. 【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确；对于D：，故D正确. 故选：CD. 例16．计算： 【答案】 【分析】利用指数幂的运算法则化简. 【详解】因为，， 所以. 4、 指数运算与完全平方差（和）等公式的交汇 例17．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将两边平方，得，即， 所以. 故选：A. 例18．（多选）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由，得，对于A，，A错误； 对于B，，B正确；对于C，，则，C正确；对于D，，D正确. 故选：BCD 例19、已知，则的值为 ； 【答案】4 【详解】由，平方可得：， 即，再平方可得：，即， 所以。 例20、已知方程的两根为，则的值为 . 【答案】 【详解】已知方程的两根为，所以， 所以. 01 有关根式、分数指数幂及指数运算的寒假作业 一、选择题 1．化简为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算计算求解. 【详解】. 故选：B. 2、设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，则. 故选：B. 3、下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确；对于D，，故D错误. 故选：C. 4．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由根式和指数的运算法则计算即可. 【详解】. 故选：C. 5．已知，，则的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算性质可得. 【详解】.故选：B. 6．若，则的化简结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】由，得，所以 .故选：C. 7．已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】由题意得，故A正确. 故选：A 8．设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根式与分数指数幂的互化，结合指数运算，即可得出结果． 【详解】当时，则． 故选：B． 9．已知，，则（   ） A．16 B．27 C．37 D．54 【答案】D 【分析】根据指数运算法则化简求值即可. 【详解】. 故选：D. 10．已知，，则的值是（    ） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】C 【分析】根据题意结合指数幂运算可得，，即可得结果. 【详解】因为，得，即，又因为，，则，所以. 故选：C. 11．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对已知条件进行变形，利用完全平方公式化简可得，再根据平方差公式化简即可求解. 【详解】解：由，得，则，因此， 所以． 故选：C 12、计算（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 13．下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】C 【分析】选项根据指数运算的公式即可判断；选项根据平方根的定义即可判断；选项根据指数，利用完全平方公式即可计算出结果；选项根据平方开根号必须加绝对值，再利用正负取绝对值即可判断. 【详解】对于：利用指数运算的公式：，则，故错误； 对于：，，故错误；对于：，所以 ，化简得，所以，故正确；对于：因为，所以，故错误. 故选：. 14．已知，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据得，再平方得，再结合立方和公式即可得出答案. 【详解】因为，所以，整理得，所以，整理得，所以. 故选：B. 二、填空题 15、设，则 .（结果用分数指数幂表示） 【答案】 【详解】.，故答案为： 16．化简： . 【答案】 【详解】由题意可知：，所以. 17、计算： 【答案】 【详解】因为，， 所以. 18．已知，，化简： . 【答案】 【分析】根据根式与分数指数幂的互化、指数运算的性质直接求解即可. 【详解】，. 19．计算 . 【答案】3 【分析】利用根式的化简及指数幂的运算，即可求得答案. 【详解】 . 三、解答题 20．计算下列各式 (1)；(2)；(3)已知，求的值. 【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】（1）； （2）； （3），，则，. 21、（1）化简：； (2)求值：. 【详解】（1）原式. （2），， ，， ． 22、化简求值：(1)； (2)已知，求：. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）； （2）方法一：由已知条件可得， ，所以. 方法二：由已知条件，不妨设，，解得或. 当时，； 当时，； 综上所述：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一寒假作业——指数与指数函数专项突破版 01测试范围：有关根式、分数指数幂及指数的运算问题 一、题型梳理 1、根式的性质： 2、根式与分数指数幂的互化 3、指数的运算性质 4、指数运算与完全平方差（和）等公式的交汇 二、典例讲解 1、根式的性质： 根式化简：将被开方数分解为质因数或因式，提取平方（或更高次）因数。根指数与被开方数的指数约分，同类二次根式化为最简形式（被开方数不含分母及可开尽方的因数）。 求值与计算：化简后，根据题目要求代入数值求值；加减运算仅合并同类根式，乘除运算分别对被 开方数和根指数运算，结果再化简。 例1．计算：（     ） A． B．2 C．4 D． 例2．式子的化简结果是（    ） A． B．2 C． D． 例3．若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例4．（多选）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 例 5．下列各式正确的是（） A． B． C． D． 2、根式与分数指数幂的互化 例6．已知，则化为（   ） A． B． C． D． 例7．已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 例8．（   ） A．a B． C． D． 例9．（多选）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A． B． C． D． 例10．化简的结果为 3、指数的运算性质 例11．设，则＝（   ） A．10 B． C．25 D．5 例12．若，则下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 例13．的值为（    ） A． B． C． D．1 例14．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 例15．（多选）设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 例16．计算： 4、 指数运算与完全平方差（和）等公式的交汇 例17．若，则（    ） A． B． C． D． 例18．（多选）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 例19、已知，则的值为 ； 例20、已知方程的两根为，则的值为 . 01 有关根式、分数指数幂及指数运算的寒假作业 一、选择题 1．化简为（   ）. A． B． C． D． 2、设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 3、下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则的值为（   ） A．0 B． C． D． 6．若，则的化简结果是（    ） A．1 B． C． D． 7．已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 8．设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 9．已知，，则（   ） A．16 B．27 C．37 D．54 10．已知，，则的值是（    ） A．3 B．8 C．11 D．14 11．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 12、计算（    ） A． B． C． D． 13．下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 14．已知，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 二、填空题 15、设，则 .（结果用分数指数幂表示） 16．化简： . 17、计算： 18．已知，，化简： . 19．计算 . 三、解答题 20．计算下列各式 (1)；(2)；(3)已知，求的值. 21、（1）化简：； (2)求值：. 22、化简求值：(1)； (2)已知，求：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $