专题1.2 整式的乘法重难点题型专训（1个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年北师大版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练

本讲义聚焦整式的乘法核心知识点，系统梳理单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，搭建从幂的运算到乘法公式的学习支架，助力学生夯实基础。 资料通过10大题型分层训练与3大拓展训练，结合图形面积问题培养几何直观，借助杨辉三角等规律探究发展创新意识，选用各地月考真题强化应用意识。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固提升，查漏补缺。

专题1.2 整式的乘法重难点题型专训 （1个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 计算单项式乘单项式 题型二 计算单项式乘多项式及求值 题型三 单项式乘多项式的应用 题型四 计算多项式乘多项式 题型五 多项式乘多项式与图形面积 题型六 (x+p)(x+q) 型多项式乘法 题型七 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型八 利用单项式乘多项式求字母的值题 题型九 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型十 多项式乘法中的规律性问题 拓展训练一 单项式乘法与多项式乘法的混合运算及求值 拓展训练二 用多项式乘法解决图形相关问题 拓展训练三 (x+p)(x+q) 型乘法与多项式规律探究、求值综合 知识点一：整式的乘法 单项式与单项式相乘 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．其实质是运用了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质 示例 单项式与多项式相乘 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 示例 多项式与多项式相乘 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是把多项式相乘转化为单项式乘多项式 示例 【即时训练】 1．（25-26七年级下·湖北咸宁·月考）长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的乘法． 长方形的面积等于长乘以宽，直接计算即可． 【详解】解：长方形的面积长宽． 故选：D． 2．（25-26七年级下·湖南株洲·月考）计算： . 【答案】 【分析】此题考查了单项式的乘法，熟练掌握运算法则是关键． 根据单项式乘单项式的运算法则，系数相乘，同底数幂相乘进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 【经典例题一 计算单项式乘单项式】 【例1】（2026·湖北·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的乘法运算，需先计算系数相乘，再计算同底数幂相乘． 【详解】解： ， 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·山东滨州·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·陕西榆林·月考）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法运算，解题的关键是掌握系数相乘、同底数幂相乘的法则． 先计算系数的乘积，再对同底数幂分别进行指数相加，最后合并结果得到最终单项式． 【详解】解： 故选：B． 2．（25-26七年级下·湖北咸宁·月考）长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的乘法． 长方形的面积等于长乘以宽，直接计算即可． 【详解】解：长方形的面积=长×宽． 故选：D． 3．（25-26七年级下·四川乐山·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式的乘法运算，解题的关键是掌握单项式乘法法则． 根据单项式乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·江苏盐城·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂，单项式乘以单项式运算，幂的乘方、积的乘方运算等知识点． （1）分别计算有理数乘方，负整数指数幂，零指数幂，再进行加减计算； （2）先计算幂的乘方、积的乘方，然后计算单项式乘以单项式，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【经典例题二 计算单项式乘多项式及求值】 【例1】（25-26七年级下·河南驻马店·月考）在“单项式与多项式相乘”的课堂上，有这样一道题：，则“”内应填的运算符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式与多项式相乘，准确分析判断是解题的关键． 根据乘法分配律的方法判断即可得解． 【详解】； 内应填． 故选． 【例2】（25-26七年级下·重庆合川·月考）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·福建福州·月考）对任意两个有理数定义一种运算“”，具体运算方式为，下列结论正确的是（    ） A． B．对任意有理数m，n，有 C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．根据新运算，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，，则当时，，故本选项错误，不符合题意； C、当时，，，无法得到，故本选项错误，不符合题意； D、当时，，，则，故本选项正确，符合题意； 故选：D 2．（25-26七年级下·广东广州·月考）下列运算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相除，单项式乘多项式，根据相关的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故本选项的运算错误； B．，故本选项的运算正确； C．，故本选项的运算错误； D．，故本选项的运算错误． 故选：B． 3．（25-26七年级下·广东汕头·月考） ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以多项式的运算，直接应用此运算法则进行计算即可. 【详解】解：； 故答案为：． 4．（25-26七年级下·山西晋中·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【经典例题三 单项式乘多项式的应用】 【例1】（25-26七年级下·天津北辰·月考）一个长方形的长，宽分别是和，这个长方形的面积是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的定义是关键．根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算即可． 【详解】∵长方形的面积=长×宽， ∴面积， ， ． 故选D． 【例2】（25-26七年级下·全国·单元测试）下图是变压器中的L型硅钢片，其面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式乘以多项式的应用，将图形分割成两部分，然后列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·河南周口·月考）如图，小明用四个边长为的正方形．两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式与图形的面积问题． 分别求出两图形的面积，根据面积相等列等式即可． 【详解】解：由题意可知，图1的面积为：； 图2的面积为：； 即． 故选：C． 2．（25-26七年级下·山西长治·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，积的乘方和单项式乘以多项式等运算，根据相关运算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果一个长方形的长是，宽是，则这个长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以单项式的实际应用，解题关键是列出算式． 先列出算式，再计算． 【详解】解：∵长方形的长是，宽是， ∴这个长方形的面积为， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·广东惠州·月考）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】主要考查了单项式乘以多项式的运算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的运算法则求解即可； （2）先计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，再计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题四 计算多项式乘多项式】 【例1】（25-26七年级下·广东广州·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可. 【详解】解：原式； 故选B 【例2】（2025·山西太原·月考）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法，根据多项式的乘法运算法则计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 1．（25-26七年级下·福建泉州·月考）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记；．已知，则的值是（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的规律、有理数的乘方及数学常识，根据题意，得出n的值，据此再进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为， 所以左边展开后应该有3个， 则， 所以， 整理得，， 所以． 故选：B． 2．（25-26七年级下·四川宜宾·月考）已知多项式除以的商为，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据题意得，根据多项式乘以多项式将其展开，与原多项式比较系数，即可求解． 【详解】解：依题意， ， ∴， 解得：，， ∴， 故选：C． 3．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）在某月的月历中任意框出如图摆放的4个数，，，（四个数均存在），下列四个选项中的值是2的倍数的有 （填写序号即可）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了整式的混合运算，分别用含的代数式表示出，，，再代入，根据整式的运算法则计算，即可得出结论． 【详解】解：①，，， ∴ ， 故的值不是2的倍数； ②，，， ∴ ， 故的值是2的倍数； ③，，， ∴ ， 故值一定是2的倍数； ④，，， ∴ ， 故的值是2的倍数； 综上所述，的值是2的倍数的有②③④． 故答案为：②③④． 4．（25-26七年级下·湖北荆州·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘法，幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，解题的关键是掌握各运算法则． （1）利用多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）利用幂的乘方，同底数幂的乘法和除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题五 多项式乘多项式与图形面积】 【例1】（24-25七年级下·山西晋中·期中）观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式应该为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算图形面积的关系，理解图示，掌握整式的混合运算是关键．根据图示，大正方形的面积减去小正方形的面积等于阴影部分的面积，由此即可求解． 【详解】解：左图中大正方形的边长为，面积为，小正方形的边长为，面积为， 右图中的面积即为左图中阴影部分的面积，即， ∴， 故选：C ． 【例2】（25-26七年级下·吉林长春·月考）长春市某中学操场为长方形，长为米，宽为米，则该操场的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，根据长方形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：由题意得： ． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·重庆綦江·月考）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的B类卡片的总面积，由此即可得解． 【详解】解：∵拼成的长方形的长为：、宽为：， ∴长方形的面积为： ， ∴需要B类卡片的张数为（张）． 故选：C． 2．（25-26七年级下·山西·月考）如图，把一块原长为，宽为的长方形草坪，加长了，加宽了，则扩大后的草坪面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的实际应用，熟练掌握长方形面积公式和多项式乘多项式法则是解题的关键．先确定扩大后长方形的长和宽，再根据长方形面积公式计算面积． 【详解】解：， 故选：B． 3．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，计算出的结果，结果中项的系数即为所求答案． 【详解】解： ， ∴要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为9， 故答案为：9． 4．（25-26七年级下·山西长治·期中）如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园．请用含的代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）． 【答案】（平方米） 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，扩建后的长方形的花园面积等于一个长为米，宽为米的长方形面积，据此列式求解即可． 【详解】解： （平方米）， ∴扩建后的长方形的花园面积为（平方米）． 【经典例题六 (x+p)(x+q) 型多项式乘法】 【例1】（25-26七年级下·山西临汾·月考）若，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多项式乘多项式的法则，掌握此知识点是解答此题的关键．先把等式的左边化为的形式，再求出m的值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·河北邢台·月考）若，则□内应填写 ． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式乘以多项式．通过展开左边多项式乘积，合并同类项，得到的系数，即可求解． 【详解】解： 与右边对比，可得内应填写 故答案为：． 1．（25-26七年级下·四川宜宾·月考）若，则常数n的值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘法，运用多项式乘多项式法则展开等式左边，再根据等式两边同类项系数相等求解常数n的值. 【详解】∵ ； 又∵， ∴， 根据等式两边同类项系数相等，得． 故选：A． 2．（25-26七年级下·云南昭通·月考）已知，则m的值为（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的乘法化简、同类项的判断，整式的乘法化简是解题的关键． 首先利用整式的乘法化简展开左边，与右边比较同类项即可求解m的值． 【详解】解：， ∵， ∴ ， ∴， 故选：A． 3．（25-26七年级下·福建泉州·月考）若，为正整数，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则的应用，利用多项式乘以多项式法则对等式左边进行变形，再根据多项式相等的条件确定出的最大值与最小值，再相减即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴，， ∵为正整数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的最大值为，最小值为，其差为， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为和______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若关于x的多项式是“系多项式”，则______． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了整式乘法的应用； （1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； （2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； （3）根据题意，由“系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：3 ； （2）解：根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， ∴多项式的另一个零点是； （3）解：， ∴的两个零点分别是和7， 根据“系多项式”的定义，有， ， 故答案为：． 【经典例题七 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例1】（24-25七年级下·河南南阳·月考）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则得到，结合得到，，求出的值，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ，， ． 故答案为：11． 1．（24-25七年级下·陕西西安·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，负整数指数幂，根据单项式乘单项式运算法则求解，得到关于m，n的方程，求出的值，代入即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ∴． 故选：A． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．熟练掌握单项式与单项式相乘的法则是解题的关键． 【详解】， ， ，， ． 故选：C． 3．（24-25七年级下·广东河源·月考）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 4．（2023七年级下·江苏·专题练习）若，则求的值． 【答案】． 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【经典例题八 利用单项式乘多项式求字母的值题】 【例1】（24-25七年级下·全国·月考）若的展开式中不含项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则展开式子，进而由展开式中不含项，得到项的系数为，据此解答即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故选：． 【例2】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式化简，再利用的展开式中不含有这一项，得出其他项的系数为零，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含有这一项， ∴， ∴． 故答案为： 1．（24-25七年级下·河南周口·期中）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用单项式乘以多项式法则计算，由结果不含有的一次项，得出满足的条件即可． 【详解】解：， ∵将展开的结果中不含有的一次项， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的乘法，利用单项式乘以多项式的法则进行计算，可得到的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ∴ ∴， 故答案为：6． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则求出展开式，再根据展开式中不含项可得项的系数为，解之即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵展开式中不含项， ∴， ∴． 【经典例题九 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例1】（23-24七年级下·福建泉州·期中）若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，令的一次项的系数为0，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键． 【详解】解：， 展开式中不含项， ， ， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·广东佛山·期中）若与的乘积中不含x的一次项，则m的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．先计算，再根据乘积中不含x的一次项，即可求出m的值． 【详解】解：， 与的乘积中不含x的一次项， ， 解得：， 的值是5． 故答案为：5． 1．（25-26七年级下·河南南阳·月考）如果的乘积中不含项，则m为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关项问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据的乘积中不含项，可得含项的系数为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵ ， ∵ 乘积中不含项， ∴， ∴ 故选：A． 2．（25-26七年级下·山东德州·月考）如果与的乘积中不含的一次项，那么的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查已知多项式乘积不含某项求字母的值． 计算与的乘积，令一次项系数为零，即可得的值． 【详解】解：, ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， 解得． 故选：C． 3．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）若中不含m的一次项，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，要求表达式展开后不含的一次项，需使的一次项的系数为零． 【详解】解： ， 不含的一次项， ， ． 故答案为 ：． 4．（25-26七年级下·陕西榆林·月考）若的结果中不含x的一次项，求a的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查整式的无关型问题，先利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，最后结果中不含x的一次项可知，一次项系数为零，即，求解即可． 【详解】解：∵，且结果中不含x的一次项， ∴， ∴． 【经典例题十 多项式乘法中的规律性问题】 【例1】（25-26七年级下·山西大同·月考）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，项的系数是（    ） A．15 B．10 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘法运算中的规律．根据“杨辉三角”，找到展开式中的系数与前面关联项的系数特点即可得到答案． 【详解】解：“杨辉三角”中， 系数为第1项的系数是1， 系数为第2项的系数是2， 系数为第3项的系数是3， 系数为第4项的系数是4， 系数为第5项的系数是5， ∴的展开式中，项的系数是． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·山东济宁·月考）观察下列各式： …… 根据上面各式的规律，写出的计算结果中含的项的系数为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了多项式乘法的规律问题．由题干各式可知的计算结果中含的项是第2项，找出第2项系数的规律，进而作答即可． 【详解】解：由题干各式可知的计算结果中含的项是第2项， 第2项系数是1， 第2项系数是2， 第2项系数是3， 第2项系数是4， …… 第2项系数是2026． 故答案为：2026． 1．（25-26七年级下·湖北襄阳·月考）（为非负整数）当时的展开情况如下所示： 观察左边这些式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是（   ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，杨辉三角的有关知识，由特殊情况，可以总结出一般规律． 【详解】解：当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 故选：B． 2．（25-26七年级下·山东临沂·月考）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 11     121     1331     14641     请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法中规律探究，根据杨辉三角的规律， 展开式的第二项系数为 ，因此 展开式中含 的项是第二项，系数为 ． 【详解】解：由杨辉三角规律可得 展开式的第二项系数为 ， ∴ 展开式中含 的项是第二项，系数为 ． 故选：C． 3．（25-26七年级下·广东珠海·月考）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，给出了二项式的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律．如图所示： 观察这些规律，请写出展开式中项的系数为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了杨辉三角与二项式系数规律，解题的关键是根据杨辉三角的性质，推导出展开式的各项系数． 根据杨辉三角的规律，依次写出和的系数行；的系数为1，4，6，4，1，的系数为1，5，10，10，5，1；在的展开式中，项对应系数行中的第4个数，即10． 【详解】解：由杨辉三角的规律可知的系数为：1，4，6，4，1． 的系数为：1，5，10，10，5，1．在的展开式中，项的系数为10． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第3项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 【答案】(1) (2)11，45； (3) (4)32 【分析】本题考查了二项式乘方的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，用表示出展开式中共项数，当时，用表示出倒数第三项的系数，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令，时代入展开式即可得到所求代数式的值； 【详解】（1）解：依题意，， ∴图中括号内的数为； （2）解：展开式有项， ，展开式有项，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为3，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为6，第三项系数为； 展开式有项，第3项系数为，第三项系数为； ……； 以此类推，展开式中共有项，第三项的系数， ∴展开式共有11项，第3项系数为， 故答案为：11，45； （3）解：根据图示，， 故答案为：； （4）解：依题意， 当时，， ∴． 【拓展训练一 单项式乘法与多项式乘法的混合运算及求值】 【例1】（25-26七年级下·湖北黄石·月考）乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转／秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（    ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查多项式的运算与大小比较，解题的关键是通过作差法比较甲、乙球员击球旋转数的大小．先分别展开甲、乙球员的击球旋转数表达式，再通过作差法计算两者的差值，根据差值的正负判断谁的旋转数更大． 【详解】解：展开甲球员的击球旋转数：， 展开乙球员的击球旋转数：， 作差比较：， ， ， 即， 乙球员击出的球更转． 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·上海·月考）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，积的乘方的逆用． 先计算单项式乘以多项式，再逆用积的乘方将各项化为的形式，进而根据计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·湖南湘西·月考）如果m增加它的得到n（，），而n减少它的得到m，那么p与q的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，百分比的计算．根据百分比变化的定义，列出方程并求解p与q的关系即可求解． 【详解】解：由题意得，且， ∴， ∵， ∴，即， 则， ∴ ， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖北·周测）若能被整除，则的值是（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了整式的乘法，及用待定系数法求字母的值．由于的最高次项是，而的最高次项是，因此可设 ，将按照多项式乘法法则乘开，再利用待定系数法即可求出m、n、a、b的值，再求出的值即可． 熟练掌握多项式乘法法则和待定系数法是解题的关键． 【详解】设， ， ， 解得，，，， ， 故选：A． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·月考）在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法以及对新定义求和符号的理解与运用知识点，解题的关键是根据求和符号的运算规则将式子展开并化简，再通过对比系数求出m、n的值． 首先，我们需要理解题目中给出的求和符号＂＂以及如何展开求和表达式．接着，通过已知条件列出方程，求解出未知数和的值，最后计算的值． 【详解】由知， 即， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查多项式乘多项式、单项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）直接利用单项式乘多项式法则进行计算； （2）先利用多项式乘多项式、幂的运算、单项式乘单项式法则进行计算，然后合并同类项即可； （3）先利用多项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项即可； （4）先利用多项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【拓展训练二 用多项式乘法解决图形相关问题】 【例1】（25-26七年级下·河南南阳·月考）现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各6张，小明要用若干张这些纸片拼一个长、宽分别为、的长方形（不重叠、无缝隙）．下列判断正确的是（    ） A．甲种纸片剩4张 B．丙种纸片缺4张 C．乙种纸片缺1张 D．甲种和乙种纸片都不够 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积，利用多项式乘以多项式的法则求出长方形的面积，进行判断即可． 【详解】解：， 故需用6张甲种纸片，7张乙种纸片，2张丙种纸片拼成一个长、宽分别为、的长方形， ∵甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各6张， ∴乙种纸片缺1张； 故选C． 【例2】（25-26七年级下·陕西安康·月考）如图1，一个小长方形的长为，宽为a，把5个大小相同的小长方形放入图2的大长方形内，则下列说法：①大长方形的长为；②大长方形的面积为；③阴影部分的面积为；④若，大长方形的面积为，大长方形内阴影部分的面积为，则．正确的有 ．（填序号） 【答案】②④ 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何面积，先表示出大长方形的长为，大长方形的宽为，再表示出大长方形的面积，最后逐个判断即可． 【详解】解：大长方形的长为，故①错误；大长方形的宽为， ∴大长方形的面积为，故②正确； ∵5个小长方形的面积为：， ∴阴影部分的面积为：，故③错误； ∵， ∴，， ∴，故④正确． 故答案为：②④． 1．（25-26七年级下·天津南开·月考）如图，边长为a的正方形，边长为b的正方形，边长为b，c的长方形，边长为b，的长方形，组成了边长为a，的长方形．其中边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8，则边长为b的小正方形的面积为（    ） A．7 B．10 C．11 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，单项式乘以多项式的应用，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到，，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴边长为b的小正方形的面积为10， 故选：B． 2．（25-26七年级下·山东德州·月考）公园里有一块长为米，宽为的长方形草坪，经统一规划后，长减少了1米，宽增加1米，改造后得到一块新的长方形草坪，该草坪面积与原来的相比，面积（   ） A．不变 B．减少 C．增加 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查整式的混合运算，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键．根据题意列式为，将其计算后比较其结果与0的大小关系即可． 【详解】解： ， 则该草坪面积与原来的相比，面积增大， 故选：C． 3．（25-26七年级下·广东汕尾·月考）某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于 张． 【答案】23 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，根据需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，得出长方形面积为，再用多项式乘多项式运算法则进行计算，得出长方形面积为，即可得出答案． 【详解】解：∵需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形， ∴长方形的面积为： ， ∴所准备的C种卡片的张数不能少于23张． 故答案为：23． 4．（25-26七年级下·福建福州·期中）对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的方向来思考这个问题. (1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足________关系时，长方形的面积最大．请你利用所学的数学知识帮助小华解释上面发现的结论． (2)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下： 已知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x，则相邻一边的长是． ①当时，将原长方形沿直线l剪成长方形A和长方形B（如图1、图2），再将长方形B割补到长方形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为， 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式，25，满足的等量关系为________． ②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6)，由图，可得出的等量关系为________． ③当时，该长方形即为正方形，其面积为25． 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是________． (3)当时，仿照（2）中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式的最小值． 【答案】(1)相等 (2)①；②；③25 (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的运用，完全平方公式，单项式乘以多项式，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由小华计算数据即可判断； （2）①根据图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差可得答案； ②计算出的结果即可得到答案； ③根据，，可得，据此可得答案； （3）根据题中图形面积的求法画出相应的图形，进而即可求出的最大值，再根据，即可求解最小值． 【详解】（1）解：通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足相等关系时，长方形的面积最大， 故答案为：相等； （2）解：①∵长方形的一边长是，相邻一边长， ∴阴影部分是一个边长为的正方形， 由图可知，长方形面积大正方形面积小正方形面积， ∴， 故答案为：； ②当时，阴影部分是边长为的正方形， ， 故答案为：； ③当时，该长方形即为正方形，其面积为； ∵，， ∴ ∴周长是20的长方形的面积的最大值是25， 故答案为：25； （3）解：， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，该长方形为边长是7的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是49， ∴， ∴代数式的最小值． 【拓展训练三 (x+p)(x+q) 型乘法与多项式规律探究、求值综合】 【例1】（25-26七年级下·内蒙古兴安盟·期中）若（a、b是整数），则m的值可能是（　　）． A．5或13 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式的乘法法则可得且，再列出所有符合题意的整数即可解答． 【详解】解：∵， ∴，（a、b为整数）． 列出所有整数对a、b满足： 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则． ∴ m的可能值为或． 故选D． 【例2】（24-25七年级下·湖北襄阳·自主招生）已知，n为正整数，则 ． 【答案】385 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可得，则可得到，…，，把这些等式的左边和右边分别求和，可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴， ， …… ， 将以上等式两边分别相加，左边求和得， 右边求和得 ∴ ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·广西来宾·月考）规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的整式运算． 根据新定义即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 2．（24-25七年级下·福建漳州·月考）若，则有理数的末尾四位数是（    ） A．1131 B．2431 C．3131 D．4131 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．设，则，计算多项式乘以多项式可得，判断出的末尾四位数是0，由此即可得． 【详解】解：设， 则 ， ∵和的末尾四位数都是0，且， ∴的末尾四位数是0， ∴的末尾四位数是， 即有理数的末尾四位数是， 故选：A． 3．（24-25七年级下·山东青岛·月考）已知，则m，n的值分别是 ． 【答案】， 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用多项式乘多项式法则计算即可求得答案． 【详解】解： ， 则，， 那么，， 故答案为：，． 4．（25-26七年级下·广东汕头·月考）阅读材料：人教版七年级下册教材118页为大家介绍了杨辉三角． 我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例． 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数；等等． 利用上面的规律，完成以下问题： (1)的展开式为_____． (2)的展开式中共有_____项，从右往左第二项的系数是_____． (3)计算：． (4)代数推理：已知为整数，求证：能被50整除． 【答案】(1) (2)， (3)64 (4)见解析 【分析】本题考查整式乘法的应用以及杨辉三角，能够通过杨辉三角得到规律是解题关键； （1）根据规律写出第6行的6个数对应展开式中各项的系数； （2）根据规律得到的展开式共有项，所有项的系数成对称关系，进而可解题； （3）先通过规律写出的展开式，然后令代入即可； （4）令和令代入（1）中展开式，求出的展开式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：根据杨辉三角第6行的6个数分别为，，，，， ∴， 故答案为：． （2）解：根据规律可知的展开式共有项， ∴的展开式中共有10项， 又根据题意可总结出所有项的系数成对称关系， ∴从右往左第二项的系数与从左往右第二项的系数相等， 根据题干规律可发现每个展开式的系数从左往右第二项的系数都为， ∴的展开式从左往右第二项的系数为， ∴的展开式从右往左第二项的系数为； 故答案为：，． （3）解：通过规律可知， 令得到， ∴． （4）解：当时，， 当时，， 得：， ∴， ∵为整数， ∴能被整除， 故能被50整除． 1．（25-26七年级下·广东惠州·月考）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式， 根据幂运算和乘法运算规则，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A: ，故A错误； B: ，故B错误； C: ，故C错误； D: ，符合积的乘方规则，故D正确． 故选：D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，单项式乘以多项式等于单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的结果相加；根据此法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂乘除法计算，单项式乘以多项式，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 4．（25-26七年级下·湖北荆门·月考）若多项式，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查多项式的乘法运算：展开左边多项式，比较系数得出a和b的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴比较系数，得． 故选：B． 5．（24-25七年级下·河南商丘·月考）有正方形和长方形卡片若干张（数据如图），拼成一个长为，宽为的长方形，则需要类卡片（   ） A．2张 B．3张 C．5张 D．6张 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据题意，长方形的面积等于所需卡片面积之和，由此即可求解． 【详解】解：拼成一个长为，宽为的长方形， ∴长方形的面积为 ， ∴需要类卡片5张， 故选：C ． 6．（2026七年级下·全国·专题练习）下列多项式相乘的结果是的为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握整式乘法的运算法则是关键． 根据整式乘法的运算法则计算各选项结果，与题干中的多项式对比即可． 【详解】解：多项式乘多项式法则为， 计算各选项： 对于选项A：，不符合题意； 对于选项B：，符合题意； 对于选项C：，不符合题意； 对于选项D：，不符合题意． 故选：B． 7．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 9．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）关于的整式与，令，，下列说法正确的有（    ）个． ①若是关于的二次整式，则的值共有3种不同的可能； ②若，，为整式，则中除常数项外其余各项系数和为； ③若，，，，，，则的最小值为； ④若，，，，令，，且，，则共有项． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式的项与系数等知识．熟练掌握多项式乘以多项式，多项式的项与系数是解题的关键． （1）由是关于的二次整式，可知至少有一个为2，然后分情况求解；进而可判定①的正误；由，可得，则，可求，即，由，可判断②的正误；由，，，，，，可得，，则，由，可得，进而可判断③的正误；由，，，，可得，，然后根据题意，推导规律并作答即可． 【详解】解：∵是关于的二次整式， ∴至少有一个为2， 当时，；此时的值为； 当时，；此时的值为； 综上，的值共有3种不同的可能；①正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴中除常数项外其余各项系数和为，②正确，故符合要求； ∵，，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，③正确，故符合要求； ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴，共3项； ∴，， ∴，共项； ∴，， ∴，共项； …… ∴可推导，，共项； ，共项； ，共项； ，共项； ∴，共项．④正确，故符合要求； 故选：D． 10．（25-26七年级下·江西南昌·月考）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… 请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（　　） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天 【答案】B 【分析】本题主要考查整式乘法的规律探究，依题意得，求得的余数．结合一个星期天，利用所给规律求得天的余数，即可获得答案． 【详解】解：∵，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… ∴展开后系数分别为1，3，… ∴展开后系数分别为1，4，… ∴展开后系数分别为1，10，… ∵， 依题意，， ∵， ∴的余数为2，即的余数为2， ∴今天是星期三，则经过天后是星期五． 故选：B． 11．（25-26七年级下·福建厦门·月考）计算：（1） ； ． （2）若，则的值为 ． （3）已知，则a，b，c三者之间的数量关系是 ． 【答案】 27 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，同底数除法的逆运算，同底数幂乘法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方和单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （2）根据题意可得，则，再根据可得答案； （3）可求出，则，据此可得答案． 【详解】解：（1），， 故答案为：；； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26七年级下·山东济宁·月考）小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：，“□”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式的运算，熟练掌握单项式乘多项式“用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”的法则是解题的关键． 先根据单项式乘多项式的法则计算左边式子，再通过对比等式两边确定被污染的部分． 【详解】解： ， ∵， ∴对比得，即． 故答案为：． 13．（25-26七年级下·全国·单元测试）把多项式因式分解得，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式相等的条件，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 先把展开成多项式，再根据多项式相等可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ∵多项式因式分解得， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 14．（25-26七年级下·天津南开·月考）若的展开式不含x的二次项，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式的乘法． 将多项式展开后，根据不含项的条件，令项的系数为零，求解a的值即可． 【详解】解：， ∵的展开式不含x的二次项， ∴， 解得． 故答案为：2． 15．（24-25七年级下·浙江·期中）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是8的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是64， ∴的最大值为． 故答案为：． 16．（25-26七年级下·新疆克孜勒苏·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方以及零指数幂进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法，幂的乘方以及单项式乘以单项式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（25-26七年级下·福建厦门·月考）为美化校园，某校计划在现有的一块边长为的正方形草坪中挖出一块长方形空地设计喷泉造景，点，在上，且满足，，． (1)求长方形空地的面积；（用含，的式子表示） (2)若，请判断造景后保留的草坪面积能否超过原来草坪面积的，请说明理由． 【答案】(1) (2)保留的草坪面积能超过原来草坪面积的，理由见解析 【分析】本题考查整式的应用，正确进行列代数式和代入求值是解答本题的关键． （1）分别求出、，根据长方形面积计算公式求解即可； （2）代入，求出长方形面积，再求出保留的面积，然后与进行比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴； （2）解：保留的草坪面积能超过原来草坪面积的，理由如下： 当时， ， 原正方形面积为， 保留的草坪面积为， ∵， ∴， 因此，保留的草坪面积能超过原来草坪面积的． 18．（25-26七年级下·山西长治·月考）综合与实践 数学活动--探究日历中的数学规律 如图①是2025年8月份的日历，亮亮在其中任意画的方框，方框内的数字分别用表示（如图②），他准备计算“”的值，并探索其运算结果的规律． 【特例探究】（1）计算图①中方框内的结果：___________， ___________； 【推理演绎】（2）亮亮通过特例分析，猜想所有日历中，方框内“”的结果都不变，请你将他的证明过程补充完整； 证明：设，则． ．．．．．． 【类比应用】（3）乐乐学习亮亮的方法，借助2025年8月份的日历，继续进行如下探究：在日历中用“十字框”框住五个数（字母表示如图③所示），再探究“”的值的规律．请你帮他写出结论，并说明理由． 、 【答案】（1）7；7；（2）见详解；（3）的值保持不变，始终为，理由见详解 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键； （1）根据题意直接进行求解即可； （2）由题意可知，然后进行求解即可； （3）设，则有，然后计算的值即可． 【详解】解：，； 故答案为7；7； （2）证明：设，则， ∴ ； ∴方框内“”的结果都不变； （3）设，则有， ∴ ； ∴的值保持不变，始终为． 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知中不含项，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的无关型运算． 先计算原整式，求出的系数，进而根据“不含项”计算即可． 【详解】解：原式 ． 因为不含项， 所以．解得． 20．（25-26七年级下·四川宜宾·月考）阅读材料：在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式．并且最高次项为：，常数项为：．那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数，通过观察，我们发现：一次项系数就是，即一次项为．参考材料中用到的方法，解决下列问题： 问题解答 (1)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为____． (2)如果计算所得多项式不含一次项，求的值； (3)如果，则直接写出，，，的值． 【答案】(1)，26 (2)； (3)，，，． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据给定的方法计算即可； （2）根据给定的方法可得出一次项系数，进一步求解即可； （3）根据给定的方法找出的系数即可． 【详解】（1）解：根据题意，一次项系数为， 二次项系数为， 故答案为：，26； （2）解：根据题意，一次项系数， 即， 解得； （3）解：， ∴，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 整式的乘法重难点题型专训 （1个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 计算单项式乘单项式 题型二 计算单项式乘多项式及求值 题型三 单项式乘多项式的应用 题型四 计算多项式乘多项式 题型五 多项式乘多项式与图形面积 题型六 (x+p)(x+q) 型多项式乘法 题型七 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型八 利用单项式乘多项式求字母的值题 题型九 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型十 多项式乘法中的规律性问题 拓展训练一 单项式乘法与多项式乘法的混合运算及求值 拓展训练二 用多项式乘法解决图形相关问题 拓展训练三 (x+p)(x+q) 型乘法与多项式规律探究、求值综合 知识点一：整式的乘法 单项式与单项式相乘 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．其实质是运用了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质 示例 单项式与多项式相乘 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 示例 多项式与多项式相乘 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是把多项式相乘转化为单项式乘多项式 示例 【即时训练】 1．（25-26七年级下·湖北咸宁·月考）长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖南株洲·月考）计算： . 【经典例题一 计算单项式乘单项式】 【例1】（2026·湖北·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·山东滨州·月考）计算： ． 1．（25-26七年级下·陕西榆林·月考）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖北咸宁·月考）长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·四川乐山·月考）计算： ． 4．（25-26七年级下·江苏盐城·月考）计算： (1)； (2)． 【经典例题二 计算单项式乘多项式及求值】 【例1】（25-26七年级下·河南驻马店·月考）在“单项式与多项式相乘”的课堂上，有这样一道题：，则“”内应填的运算符号是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·重庆合川·月考）计算： ． 1．（25-26七年级下·福建福州·月考）对任意两个有理数定义一种运算“”，具体运算方式为，下列结论正确的是（    ） A． B．对任意有理数m，n，有 C．当时， D．当时， 2．（25-26七年级下·广东广州·月考）下列运算正确的是（） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东汕头·月考） ． 4．（25-26七年级下·山西晋中·月考）先化简，再求值：，其中，． 【经典例题三 单项式乘多项式的应用】 【例1】（25-26七年级下·天津北辰·月考）一个长方形的长，宽分别是和，这个长方形的面积是（） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·全国·单元测试）下图是变压器中的L型硅钢片，其面积为 ． 1．（25-26七年级下·河南周口·月考）如图，小明用四个边长为的正方形．两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山西长治·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果一个长方形的长是，宽是，则这个长方形的面积为 ． 4．（25-26七年级下·广东惠州·月考）计算 (1) (2) 【经典例题四 计算多项式乘多项式】 【例1】（25-26七年级下·广东广州·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·山西太原·月考）计算的结果是 ． 1．（25-26七年级下·福建泉州·月考）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记；．已知，则的值是（    ） A．4 B．3 C． D． 2．（25-26七年级下·四川宜宾·月考）已知多项式除以的商为，则、的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）在某月的月历中任意框出如图摆放的4个数，，，（四个数均存在），下列四个选项中的值是2的倍数的有 （填写序号即可）． 4．（25-26七年级下·湖北荆州·月考）计算： (1) (2) 【经典例题五 多项式乘多项式与图形面积】 【例1】（24-25七年级下·山西晋中·期中）观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式应该为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·吉林长春·月考）长春市某中学操场为长方形，长为米，宽为米，则该操场的面积为 平方米． 1．（25-26七年级下·重庆綦江·月考）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 2．（25-26七年级下·山西·月考）如图，把一块原长为，宽为的长方形草坪，加长了，加宽了，则扩大后的草坪面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为 ． 4．（25-26七年级下·山西长治·期中）如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园．请用含的代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）． 【经典例题六 (x+p)(x+q) 型多项式乘法】 【例1】（25-26七年级下·山西临汾·月考）若，则的值为(    ) A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·河北邢台·月考）若，则□内应填写 ． 1．（25-26七年级下·四川宜宾·月考）若，则常数n的值为（    ） A． B．2 C． D．6 2．（25-26七年级下·云南昭通·月考）已知，则m的值为（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 3．（25-26七年级下·福建泉州·月考）若，为正整数，则的最大值与最小值的差为 ． 4．（25-26七年级下·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为和______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若关于x的多项式是“系多项式”，则______． 【经典例题七 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例1】（24-25七年级下·河南南阳·月考）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，则 ． 1．（24-25七年级下·陕西西安·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 3．（24-25七年级下·广东河源·月考）若，则 ． 4．（2023七年级下·江苏·专题练习）若，则求的值． 【经典例题八 利用单项式乘多项式求字母的值题】 【例1】（24-25七年级下·全国·月考）若的展开式中不含项，则（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为 ． 1．（24-25七年级下·河南周口·期中）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含项，求的值． 【经典例题九 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例1】（23-24七年级下·福建泉州·期中）若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A． B．0 C．3 D．6 【例2】（24-25七年级下·广东佛山·期中）若与的乘积中不含x的一次项，则m的值是 ． 1．（25-26七年级下·河南南阳·月考）如果的乘积中不含项，则m为（    ） A． B．0 C． D． 2．（25-26七年级下·山东德州·月考）如果与的乘积中不含的一次项，那么的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）若中不含m的一次项，则 ． 4．（25-26七年级下·陕西榆林·月考）若的结果中不含x的一次项，求a的值． 【经典例题十 多项式乘法中的规律性问题】 【例1】（25-26七年级下·山西大同·月考）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，项的系数是（    ） A．15 B．10 C．5 D．4 【例2】（25-26七年级下·山东济宁·月考）观察下列各式： …… 根据上面各式的规律，写出的计算结果中含的项的系数为 ． 1．（25-26七年级下·湖北襄阳·月考）（为非负整数）当时的展开情况如下所示： 观察左边这些式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是（   ） A．128 B．256 C．512 D．1024 2．（25-26七年级下·山东临沂·月考）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 11     121     1331     14641     请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 3．（25-26七年级下·广东珠海·月考）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，给出了二项式的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律．如图所示： 观察这些规律，请写出展开式中项的系数为 ． 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第3项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 【拓展训练一 单项式乘法与多项式乘法的混合运算及求值】 【例1】（25-26七年级下·湖北黄石·月考）乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转／秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（    ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 【例2】（25-26七年级下·上海·月考）若，则的值是 ． 1．（25-26七年级下·湖南湘西·月考）如果m增加它的得到n（，），而n减少它的得到m，那么p与q的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖北·周测）若能被整除，则的值是（    ） A． B． C．6 D．4 3．（25-26七年级下·江苏扬州·月考）在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【拓展训练二 用多项式乘法解决图形相关问题】 【例1】（25-26七年级下·河南南阳·月考）现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各6张，小明要用若干张这些纸片拼一个长、宽分别为、的长方形（不重叠、无缝隙）．下列判断正确的是（    ） A．甲种纸片剩4张 B．丙种纸片缺4张 C．乙种纸片缺1张 D．甲种和乙种纸片都不够 【例2】（25-26七年级下·陕西安康·月考）如图1，一个小长方形的长为，宽为a，把5个大小相同的小长方形放入图2的大长方形内，则下列说法：①大长方形的长为；②大长方形的面积为；③阴影部分的面积为；④若，大长方形的面积为，大长方形内阴影部分的面积为，则．正确的有 ．（填序号） 1．（25-26七年级下·天津南开·月考）如图，边长为a的正方形，边长为b的正方形，边长为b，c的长方形，边长为b，的长方形，组成了边长为a，的长方形．其中边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8，则边长为b的小正方形的面积为（    ） A．7 B．10 C．11 D．14 2．（25-26七年级下·山东德州·月考）公园里有一块长为米，宽为的长方形草坪，经统一规划后，长减少了1米，宽增加1米，改造后得到一块新的长方形草坪，该草坪面积与原来的相比，面积（   ） A．不变 B．减少 C．增加 D．无法判断 3．（25-26七年级下·广东汕尾·月考）某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于 张． 4．（25-26七年级下·福建福州·期中）对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的方向来思考这个问题. (1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足________关系时，长方形的面积最大．请你利用所学的数学知识帮助小华解释上面发现的结论． (2)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下： 已知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x，则相邻一边的长是． ①当时，将原长方形沿直线l剪成长方形A和长方形B（如图1、图2），再将长方形B割补到长方形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为， 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式，25，满足的等量关系为________． ②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6)，由图，可得出的等量关系为________． ③当时，该长方形即为正方形，其面积为25． 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是________． (3) 当时，仿照（2）中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式的最小值． 【拓展训练三 (x+p)(x+q) 型乘法与多项式规律探究、求值综合】 【例1】（25-26七年级下·内蒙古兴安盟·期中）若（a、b是整数），则m的值可能是（　　）． A．5或13 B． C． D．或 【例2】（24-25七年级下·湖北襄阳·自主招生）已知，n为正整数，则 ． 1．（24-25七年级下·广西来宾·月考）规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25七年级下·福建漳州·月考）若，则有理数的末尾四位数是（    ） A．1131 B．2431 C．3131 D．4131 3．（24-25七年级下·山东青岛·月考）已知，则m，n的值分别是 ． 4．（25-26七年级下·广东汕头·月考）阅读材料：人教版七年级下册教材118页为大家介绍了杨辉三角． 我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例． 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数；等等． 利用上面的规律，完成以下问题： (1)的展开式为_____． (2)的展开式中共有_____项，从右往左第二项的系数是_____． (3)计算：． (4)代数推理：已知为整数，求证：能被50整除． 1．（25-26七年级下·广东惠州·月考）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·湖北荆门·月考）若多项式，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25七年级下·河南商丘·月考）有正方形和长方形卡片若干张（数据如图），拼成一个长为，宽为的长方形，则需要类卡片（   ） A．2张 B．3张 C．5张 D．6张 6．（2026七年级下·全国·专题练习）下列多项式相乘的结果是的为（    ）． A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 9．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）关于的整式与，令，，下列说法正确的有（    ）个． ①若是关于的二次整式，则的值共有3种不同的可能； ②若，，为整式，则中除常数项外其余各项系数和为； ③若，，，，，，则的最小值为； ④若，，，，令，，且，，则共有项． A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26七年级下·江西南昌·月考）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… 请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（　　） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天 11．（25-26七年级下·福建厦门·月考）计算：（1） ； ． （2）若，则的值为 ． （3）已知，则a，b，c三者之间的数量关系是 ． 12．（25-26七年级下·山东济宁·月考）小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：，“□”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是 ． 13．（25-26七年级下·全国·单元测试）把多项式因式分解得，则 ， ． 14．（25-26七年级下·天津南开·月考）若的展开式不含x的二次项，则a的值为 ． 15．（24-25七年级下·浙江·期中）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为 ． ∴， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是8的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是64， 16．（25-26七年级下·新疆克孜勒苏·月考）计算： (1)； (2)． 17．（25-26七年级下·福建厦门·月考）为美化校园，某校计划在现有的一块边长为的正方形草坪中挖出一块长方形空地设计喷泉造景，点，在上，且满足，，． (1)求长方形空地的面积；（用含，的式子表示） (2)若，请判断造景后保留的草坪面积能否超过原来草坪面积的，请说明理由． 18．（25-26七年级下·山西长治·月考）综合与实践 数学活动--探究日历中的数学规律 如图①是2025年8月份的日历，亮亮在其中任意画的方框，方框内的数字分别用表示（如图②），他准备计算“”的值，并探索其运算结果的规律． 【特例探究】（1）计算图①中方框内的结果：___________， ___________； 【推理演绎】（2）亮亮通过特例分析，猜想所有日历中，方框内“”的结果都不变，请你将他的证明过程补充完整； 证明：设，则． ．．．．．． 【类比应用】（3）乐乐学习亮亮的方法，借助2025年8月份的日历，继续进行如下探究：在日历中用“十字框”框住五个数（字母表示如图③所示），再探究“”的值的规律．请你帮他写出结论，并说明理由． 、 19． （24-25七年级下·全国·单元测试）已知中不含项，求a的值． 20．（25-26七年级下·四川宜宾·月考）阅读材料：在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式．并且最高次项为：，常数项为：．那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数，通过观察，我们发现：一次项系数就是，即一次项为．参考材料中用到的方法，解决下列问题： 问题解答 (1)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为____． (2)如果计算所得多项式不含一次项，求的值； (3)如果，则直接写出，，，的值． 学科网（北京）股份有限公司 $