第一章 整式的乘除重难点检测卷 -2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升讲练（北师大版）

第一章 整式的乘除重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：整式的乘除全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·河北沧州·月考）下列运算正确的是（    ） ①②③④⑤ A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查指数运算规则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、负整数指数幂、同底数幂相除和零指数等性质． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴①正确； ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴②错误； ∵负指数定义，（）， ∴③正确； ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴④错误； ∵零指数定义，任何非零数的零次幂等于1， ∴⑤正确． 综上，①③⑤正确， 故选：B． 2．（25-26七年级下·天津滨海新·月考）下面是一名同学所做4道练习题：①，②，③，④，他对的题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据零指数幂、合并同类项、整式除法和积的乘方等基本运算规则．逐项判断即可． 【详解】解：①（任何非零数的零次幂为1），正确； ②，错误； ③，错误； ④，正确． ∴正确的个数是2， 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，幂的乘方运算，积的乘方运算，同底数幂的除法运算，零指数幂，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 3．（25-26七年级下·辽宁朝阳·月考）随着科学技术的迅猛发展，我国国产光刻机分辨率进步显著，浸没式光刻机套刻精度达到的水平，相当于米，数字用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 4．（25-26七年级下·黑龙江七台河·月考）已知，，，现给出，，之间的五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中正确的关系式是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法和除法法则、幂的乘方法则是解题的关键．根据幂的运算验证每个关系式，利用同底数幂的乘法、除法、幂的乘方的运算法则及逆运算法则计算指数表达式是否相等即可． 【详解】解：∵， ∴，即，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④错误； ∵，， ∴，故⑤正确； ∴正确的关系式为①②③⑤． 故选：C． 5．（2023七年级·山东·竞赛）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，积的乘方，幂的乘方法则进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选B． 6．（25-26七年级下·湖北襄阳·月考）已知等式（，为正整数），则的值不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键；将等式左边展开，比较左右两边系数可得  和 ，其中 、为正整数. 列举所有可能的计算值即可得到结论． 【详解】解：∵ ， ∴ ，， ∵ 为正整数， ∴ 或或或， ∴ 值为：， ∴ 不可能为 . 故选：C． 7．（25-26七年级下·贵州黔东南·月考）计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键． 先利用平方差公式把原式改写为，再计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 8．（2025七年级下·湖北武汉·专题练习）杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第行的每一项，如图所示．根据材料，则展开后含x项的系数为（   ） 杨辉三角 1 1    1 1    2    1 1    3    3    1 1    4    6    4    1 … …… A．720 B． C．360 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化类，整式乘法的规律探索，找到变化规律是解题的关键． 根据题中规律得出杨辉三角的第6行的每一项分别为：，则可得，再得出展开后含x的项为第4项，进而计算即可． 【详解】解：由题意可得杨辉三角的第6行的每一项分别为：， ∴， 在不考虑系数的情况下， ∴展开后含x的项为第4项， 此时系数为． 故选：B． 9．（22-23七年级下·江苏·月考）已知实数a，b满足，则代数式的最大值为（    ） A．－4 B．－5 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先整体代入，将原式转化为只含有a的代数式，直接求最大值即可． 【详解】，即 时，的最大值为 故选：A 【点睛】此题考查整体代入求值，以及利用公式变形求最值，解题关键是找到a的取值范围． 10．（24-25七年级下·重庆·月考）定义，以下说法正确的有（   ）个． ①若不含x的二次项，则． ②若为正整数，、、为自然数，，则满足条件的整式共计有9种． ③若（i为自然数），，，则． ④若，，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、列代数式、解二元一次方程组，完全平方公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先表示出，再运用整式的四则混合运算，最后根据无关项的知识即可判断①；，再分、、三种情形分析即可判断②；由题意可得，易得；同理可得，再根据幂的乘方、积的乘方法则的逆用即可判定③；设，则、根据完全平方公式可得；接着可算得，得到，然后联立，解得和，再说明，然后代入即可判断④． 【详解】解：由题意可得：， ∴ ， ∵不含x的二次项， ∴，即，即①错误； 由题意可得：， ∵为正整数，、、为自然数， ∴当时，，则有，共6种情况； 当时，，则有，共3种情况； 当时，，则有共1种情况； ∴则满足条件的整式共计有10种．即②错误； ∵若（i为自然数）， ∴ ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故③错误； 设，则，， ∵， ∴，解得：， ， ， 或， 或， ∵， ∴， ∴， 那么当时，； 当时，；故④错误； 综上，正确的个数为0个． 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·福建福州·月考）若，是正整数，且满足，则正整数与的等量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键；将等式两边化简后对照即可得出结论． 【详解】解：， 整理得：， ∴， 即：． 故答案为：． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方和同底数幂的运算，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键． 利用指数法则和有理数运算规则，先将负数的偶次幂化为正，再合并底数相同的指数项进行计算． 【详解】解：原式为． 由于指数2026是偶数，因此． 原式化为． 根据指数运算法则，，得． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩 ．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，根据题意，钢轨的伸缩量与温度变化和钢轨长度成正比，因此总伸缩量等于每度每米伸缩量、温度变化和钢轨长度的乘积，即可求解． 【详解】解：总伸缩量， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·广东广州·期中）如果规定表示单项式，，表示多项式，则计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可． 先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母、、代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故答案为：． 5．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）对于一个两位数，记，称为两位数的“生成数”．如，即5为两位数12的“生成数”．若两位数和满足（如），则的最小值为 ． 【答案】26 【分析】本题考查了新定义下的整式的混合运算．需要求的最小值，通过代数变换，将问题转化为求的最小值，求得，分别求得当、和时，的最小值，据此分析求解即可． 【详解】解：根据题意，设两位数为和，满足， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， 设， 要求的最小值，即需求的最小值， ∵，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 当时，，，取时，的最小值为12； 当时，，，为定值； 当时，，，取时，的最小值为12； ∴的最小值为12， ∴的最小值为， 故答案为：26． 6．（2023七年级·全国·竞赛）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、同底数幂相乘等知识点，将等式左边化成以10为底数的幂成为解题的关键． 运用完全平方公式、乘法运算律、同底数幂相乘将，将等式左边化成以10为底数的幂，然后再观察即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（25-26七年级下·山东德州·月考）已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算： ．（为正整数）． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，解题的关键是根据题目找出规律表示出一般形式．先观察给定的等式规律，猜想出一般形式，再令，求得的值，再将所求式子变形为，进而得解． 【详解】解：由给定的等式可知，对于任意正整数 ，有 ． 令，则有 ，即， ， ． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）若一个四位自然数，满足A，B，C，D互不相同且，若，规定． （1）当，且为整数时， ； （2）若，且是一个立方数(即某一个整数的立方)，则满足条件的M的最小值为 ． 【答案】 10 【分析】（1）先化简出，再根据为整数可知，从而得到； （2）先求出的上限，并推导它是偶数，再根据是一个立方数得出，即，再分类讨论得解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∵，且A、B、C、D都是0到9的整数，A不为0， ∴， 要使得为整数时，则为5的倍数， ∴， ∴， （2）由（1）得： ， ∵D可以作千位， ∴， ∵，， ∴ ∵最大的互不相应的数字是6，7，8，9， ∴当，或，时 ∴， 又∵是一个立方数， ∴或8或27， 又∵， ∴是偶数， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴或2或3或4，或1或2或3或4，(且C、D不相等) ①当时， 令，则，解得：， (不合题意，舍去)； 令，则，解得：， ∴， ∴； 令，则，解得：(不合题意，舍去)； 令，则，解得：(不合题意，舍去)； ②当时， 令，则，解得：， (不合题意，舍去)； 令，则，解得：， ∴， ∴； 令，则，解得：(不合题意，舍去)； 令，则，解得：(不合题意，舍去)； ③当时， 令，则，解得：(不合题意，舍去)； 令，则，解得：(不合题意，舍去)； 令，则，解得：(不合题意，舍去)； 令，则，解得：(不合题意，舍去)； ③当时， 令，则，解得： ∴， ∴； 令，则，解得：(不合题意，舍去)； 令，则，解得：(不合题意，舍去)； 令，则，解得：(不合题意，舍去)； 综上所述：或或， ∴的最小值为：； 故答案为：10；． 【点睛】本题考查整数的混合运算，整除相关知识，运用分类讨论解题是解题的关键． 三、解答题（10小题，共66分） 1．（25-26七年级下·河南南阳·月考）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、及相应的逆运算，解题的关键是将底化相同； （1）将等式左边化成以为底，得出，求解即可； （2）将方程左边提取公因式，得出，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴． 解得． （2）解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 解得． 2．（25-26七年级下·全国·周测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)9 【分析】本题考查了幂的运算法则，包括同底数幂的乘法、积的乘方以及负整数指数幂和零指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握这些法则，并能够灵活运用． （1）先进行乘方运算确定符号，再进行同底数幂的乘法，最后合并同类项． （2）分别计算各项(负指数、零指数、乘方)，再进行加减运算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 3．（25-26七年级下·全国·周测）张伯伯去年租了一块长为、宽为的长方形土地，今年续租时，土地承包商对张伯伯说：“我把这块地的长增加10m，宽减少10m，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”请你通过所学知识帮助张伯伯算一算他是否吃亏． 【答案】张伯伯吃亏了 【分析】先分别表示出原来和现在的土地面积，再通过作差比较面积大小，判断张伯伯是否吃亏． 【详解】解：原来长方形土地的面积为：． 今年土地的长为 ，宽为 ，面积为： ． ∵ ， ∴． ∴． ∴ ，即张伯伯租到的土地面积变小了． ∴张伯伯吃亏了． 【点睛】本题考查了整式的乘法运算及作差法比较大小，解题关键是通过代数运算表示面积变化，并结合已知条件判断差值的正负，从而确定面积的增减情况． 4．（25-26七年级下·北京·月考）数学活动课上，学习小组发现：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．为了探究这一结论所蕴含的数学规律，计算了下列三组乘法算式的结果（每组算式中两个因数的和为定值）． 第一组 第二组 第三组 ； ； ； ； ； ； ； ； ； ． (1)发现如下规律：两正数和一定时，这两正数差的绝对值越小则这两正数的积___________（填“越大”或“越小”或“不变”）； (2)若两个正数的和为，设这两正数分别为和．请你利用整式乘法的知识解释上述规律； (3)请用上述规律解决问题：的最大值是___________． 【答案】(1) 越大 (2) 见解析 (3) 【分析】本题考查数字类规律探索，多项式乘法中的规律性问题． （1）比较每组中两个数的和、差、积，即可求解； （2），，当越小时，越小，越大，即可求解； （3），，由（1）可得当时，取得最大值，把代入计算即可． 【详解】（1）解：第一组：， ，，，， ， ， 第二组：， ，，，， ， ， 第三组：， ，，，， ， ， ∴两正数和一定时，这两正数差的绝对值越小则这两正数的积越大． 故答案为：越大． （2）解：∵两正数分别为和， ∴这两正数差的绝对值为， ∵为定值，，， ∴ 当越小时，越小，越大， ∴当越小时，和的积越大， 当时，和的积最大为． ∴两正数和一定时，这两正数差的绝对值越小则这两正数的积越大． （3）解：，， 由（1）可得，越小，越大， ∵， ∴当时，取得最大值，此时取得最大值， 由可得， 解得， 当时，． ∴的最大值是． 故答案为：． 5．（25-26七年级下·河南信阳·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，再合并同类项即可； （2）先计算乘法公式，再去括号，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算和代数式求值，涉及整体代入思想，掌握多项式乘法展开后合并同类项的化简技巧，以及通过整体代入简化计算是解题的关键． （1）先展开多项式乘法，合并同类项后，发现化简结果与已知条件表达式完全一致，直接整体代入求值； （2）先展开两个多项式乘法，合并同类项化简表达式，再代入的具体值计算． 【详解】（1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）解： ． 当，时， 原式． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查单项式的乘除运算，负整数指数幂， （1）根据积的乘方和幂的乘方将原式化简，再计算单项式的除法； （2）根据积的乘方和幂的乘方将原式化简，再计算单项式的乘除运算； 掌握相应的运算法则、公式及运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 8．（25-26七年级下·甘肃天水·月考）【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 【理解应用】 （1）仿照上面的竖式运算方法计算：； （2）若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； （3）如图，一个长为，宽为的长方形，将它的长增加8，宽增加得到一个新长方形，且长方形的周长是长方形的周长的3倍． （ⅰ）求（用含的代数式表示）： （ⅱ）长方形的面积和另一个一边长为的长方形的面积相等，求长方形已知边长的邻边长． 【答案】（1）；（2）；（3）（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据展示的乘法计算方法解答即可； （2）根据展示的乘法计算方法解答即可； （3）（ⅰ）根据题意，长方形B的长为，宽为，根据周长关系列出等式，解答即可； （ⅱ）把a代入，得到长方形的宽，根据面积公式，除法运算解答即可。 本题考查了多项式的四则运算，列代数式，长方形的周长和面积，熟练掌握四则运算是解题的关键。 【详解】（1）解：根据题意，得 ，； （2）解：根据题意，得 ； （3）解：（ⅰ）根据题意，得长方形B的长为，宽为， 由长方形的周长是长方形周长的3倍， ， 解得：， （ⅱ）长方形的面积为：， 长方形已知边长的邻边长为。 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知多项式，． 【基础设问】（1）化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程，在标出①②③的几项中，出现错误的是________________（填序号），请写出正确的解答过程． 小明的作业 解： ． （2）小亮说：“只要给出的合理的值，即可求出多项式A的值．”小明给出的值为4，请你求出此时A的值． 【提升设问】（3）若x，y满足，求的值． 【答案】（1）①和③；正确的解答过程见解析（2）（3）8 【分析】（1）根据平方差公式，单项式乘多项式，完全平方公式和合并同类项法则找出错误的步骤，然后写出正确的解答过程即可； （2）直接利用整式的混合运算法则化简，进而利用整体代入计算得出答案； （3）先根据多项式除以单项式，完全平方公式进行计算求出，然后根据得到关于，的代数式；接着通过幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行化简，整体代入即可求解． 【详解】解：（1）①和③ 正确的解答过程如下： ． （2）∵， ∴， ∴． （3） ． ∵， ∴ 即， ∴ ． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键． 10．（25-26七年级下·全国·单元测试）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)用两种方法表示图②中的阴影部分的面积； (2)请运用你得到的关系式计算：若，，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)或者 (2)25 (3) 【分析】（1）方法一：阴影部分是边长为的正方形，可直接用正方形面积公式表示； 方法二：大正方形面积减去四个小长方形面积，大正方形边长为，小长方形面积为． （2）利用（1）中得到的完全平方公式变形，代入已知条件计算； （3）设，，利用完全平方公式变形求解． 【详解】（1）解：方法一： 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为：． 方法二： 大正方形边长为，面积为， 四个小长方形总面积为， 因此阴影部分面积为：． 综上，阴影部分面积可表示为或者． （2）解：由（1），得． 代入，， 原式 ． （3）解：设，，则 已知，由完全平方公式：代入， ． ∴ ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景与代数变形，解题关键是通过几何图形面积的不同表示方法推导出完全平方公式的变形形式，并能灵活运用整体代入思想进行计算． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 整式的乘除重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：整式的乘除全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·河北沧州·月考）下列运算正确的是（    ） ①②③④⑤ A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤ 2．（25-26七年级下·天津滨海新·月考）下面是一名同学所做4道练习题：①，②，③，④，他对的题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26七年级下·辽宁朝阳·月考）随着科学技术的迅猛发展，我国国产光刻机分辨率进步显著，浸没式光刻机套刻精度达到的水平，相当于米，数字用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·黑龙江七台河·月考）已知，，，现给出，，之间的五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中正确的关系式是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 5．（2023七年级·山东·竞赛）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·湖北襄阳·月考）已知等式（，为正整数），则的值不可能是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·贵州黔东南·月考）计算的值是（   ） A． B． C． D． 8．（2025七年级下·湖北武汉·专题练习）杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第行的每一项，如图所示．根据材料，则展开后含x项的系数为（   ） 杨辉三角 1 1    1 1    2    1 1    3    3    1 1    4    6    4    1 … …… A．720 B． C．360 D． 9．（22-23七年级下·江苏·月考）已知实数a，b满足，则代数式的最大值为（    ） A．－4 B．－5 C．4 D．5 10．（24-25七年级下·重庆·月考）定义，以下说法正确的有（   ）个． ①若不含x的二次项，则． ②若为正整数，、、为自然数，，则满足条件的整式共计有9种． ③若（i为自然数），，，则． ④若，，则． A．0 B．1 C．2 D．3 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·福建福州·月考）若，是正整数，且满足，则正整数与的等量关系为 ． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）计算： ． 3．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩 ．（用科学记数法表示） 4．（25-26七年级下·广东广州·期中）如果规定表示单项式，，表示多项式，则计算的结果是 ． 5．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）对于一个两位数，记，称为两位数的“生成数”．如，即5为两位数12的“生成数”．若两位数和满足（如），则的最小值为 ． 6．（2023七年级·全国·竞赛）若，则 ． 7．（25-26七年级下·山东德州·月考）已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算： ．（为正整数）． 8．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）若一个四位自然数，满足A，B，C，D互不相同且，若，规定． （1）当，且为整数时， ； （2）若，且是一个立方数(即某一个整数的立方)，则满足条件的M的最小值为 ． 三、解答题（10小题，共66分） 1．（25-26七年级下·河南南阳·月考）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 2．（25-26七年级下·全国·周测）计算： (1)； (2)． 3． （25-26七年级下·全国·周测）张伯伯去年租了一块长为、宽为的长方形土地，今年续租时，土地承包商对张伯伯说：“我把这块地的长增加10m，宽减少10m，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”请你通过所学知识帮助张伯伯算一算他是否吃亏． 4．（25-26七年级下·北京·月考）数学活动课上，学习小组发现：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．为了探究这一结论所蕴含的数学规律，计算了下列三组乘法算式的结果（每组算式中两个因数的和为定值）． 第一组 第二组 第三组 ； ； ； ； ； ； ； ； ； ． (1)发现如下规律：两正数和一定时，这两正数差的绝对值越小则这两正数的积___________（填“越大”或“越小”或“不变”）； (2)若两个正数的和为，设这两正数分别为和．请你利用整式乘法的知识解释上述规律； (3)请用上述规律解决问题：的最大值是___________． 5．（25-26七年级下·河南信阳·月考）计算： (1)； (2)． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，其中，． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 8．（25-26七年级下·甘肃天水·月考）【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 【理解应用】 （1）仿照上面的竖式运算方法计算：； （2）若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； （3）如图，一个长为，宽为的长方形，将它的长增加8，宽增加得到一个新长方形，且长方形的周长是长方形的周长的3倍． （ⅰ）求（用含的代数式表示）： （ⅱ）长方形的面积和另一个一边长为的长方形的面积相等，求长方形已知边长的邻边长． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知多项式，． 【基础设问】（1）化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程，在标出①②③的几项中，出现错误的是________________（填序号），请写出正确的解答过程． 小明的作业 解： ． （2）小亮说：“只要给出的合理的值，即可求出多项式A的值．”小明给出的值为4，请你求出此时A的值． 【提升设问】（3）若x，y满足，求的值． 10．（25-26七年级下·全国·单元测试）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)用两种方法表示图②中的阴影部分的面积； (2)请运用你得到的关系式计算：若，，求的值； (3)若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $