精品解析：河北省邯郸市旭日中学2025-2026学年高三上学期2月月考数学试题

2025-2026学年高三上学期二月份数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试㐘和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则满足题意的集合的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由并集定义结合题设可得答案. 【详解】因，，则或． 故选：B. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的四则运算可得，再求其模长. 【详解】由题意得，所以． 故选：C. 3. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可得：，代入数据计算即可求解. 【详解】抛物线 的准线方程为 ， 根据抛物线的定义可得：，所以， 所以，代入，可得． 故选：B. 4. 设*，则“数列为等比数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分必要条件的判断方法可通过特殊值举例，分充分性和必要性，分别判断. 【详解】数列为等比数列，设，则，充分性不成立； 设为常数列，且，满足，但不是等比数列，必要性不成立． 故选：D. 5. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分，两种情况，结合复合函数单调性知识可得答案. 【详解】当时，, 因此时在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，则的单调递减区间为， 单调递增区间为，可得在上单调递增； 当时，, 因此时在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，则的单调递减区间为， 单调递增区间为．若在上单调递增，有． 综上可得． 故选：A. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用中间值法，结合三角函数、对数函数的单调性，可得答案. 【详解】因为，所以. ，， 所以． 故选：C. 7. 已知某圆锥的底面半径为1，若该圆锥的体积与其内切球的体积之比为，则该圆锥的体积为（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由等面积法，结合圆锥、球的体积公式，计算求解即可. 【详解】不妨设圆锥的高为，母线长为，则，根据等面积法，该圆锥内切球的半径为， 所以该圆锥的体积与其内切球体积之比为， 解得或，所以或，所以该圆锥的体积为或． 故选：A. 8. 若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. e 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据条件进行同构变形，从而构造函数，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】因为， 所以，且， 由，得，所以，即， 因为函数单调递增， 所以，所以，即． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 的最大值为7 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量求模公式，计算求解，可判断A的正误；根据向量平行坐标的关系，结合同角三角函数的关系，计算求解，可判断B的正误；根据向量垂直坐标的关系，结合同角三角函数的关系，计算求解，可判断C的正误；根据绝对值不等式的性质，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以，故A正确； 选项B：当时，得，解得，故B错误； 选项C：当时，得， 又，联立解得，故C错误； 选项D：由题意， 所以，故的最大值为7，故D正确. 故选：AD 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，注意到，据此可判断选项正误；对于BC，由赋值法可判断选项正误；对于D，利用导数知识结合赋值法可判断选项正误. 【详解】对于A选项，，所以，A选项正确； 对于B选项，令，可得，B选项正确； 对于C选项，令，可得，与B选项分析中的式子相加，可得，所以，C选项错误； 对于D选项，设， 则， 令，可得，D选项正确． 故选：ABD. 11. 已知曲线，点A、B是曲线与轴的两个交点，点为曲线上的动点，为坐标原点，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据曲线方程求出与轴交点坐标，进而得到线段长度；通过设动点坐标，结合曲线方程求出三角形面积表达式、动点坐标范围以及距离的平方的表达式，再根据表达式的性质依次求解最值和范围即可. 【详解】对于A选项，令，解得，所以，A选项正确； 对于B选项，因为， 所以，解得， 所以面积的最大值，B选项错误； 对于C选项，， 所以，解得，C选项正确； 对于D选项，不妨设，则. 代入曲线方程得：， 即， 因为，所以. 所以，即，D选项正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设事件A，B相互独立，，则_________________． 【答案】 【解析】 【分析】由和事件概率公式，独立事件乘法公式可得答案. 【详解】由于事件A，B相互独立，所以事件相互独立， 所以. 故答案为： 13. 记函数的最小正周期为，且，，则在上的值域为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，由，可得， 据此可得，从而可得答案. 【详解】因为，且，所以． 且，所以直线是曲线的一条对称轴， 所以，解得，且， 所以，因为，解得，此时， 则，且，所以， 因在上单调递增，在上单调递减， 则，， 从而在上的值域为. 故答案为：. 14. 德国数学家克雷尔于1816年发现了三角形的布洛卡点，法国军官布洛卡于1875年将此特殊点重新发现，并以他的名字命名至今．已知任意的内部必存在点，使得（或），则称为的布洛卡点，（或）称为布洛卡角．一般地，对于任意三角形均有两个布洛卡点及两个布洛卡角，当三角形为正三角形时，两个布洛卡点重合．已知点为的一个布洛卡点，且．则__________；当，且时，的面积的最大值为__________． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】根据布洛卡点的定义，将转化为求解即可.②利用正弦定理求出，再用余弦定理得到，用面积公式求得面积最大. 【详解】因为点为的一个布洛卡点，且，， 即，故应填（或）； 同理可知， 不妨记， 在中，由正弦定理得①， 在中，由正弦定理得②， 由①②两式作商，可得， 所以，即， 在中，由余弦定理得， 又，故, 所以 所以，即， 三角形的面积为:， 易知当时取等号， 即的面积最大值为1． 故答案为：，1. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 为探究某药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度与代谢时间的相关数据，如下表所示： 2 3 4 5 6 58 42 30 12 8 （1）若两组变量间的相关系数满足，则称其为高度相关，试判断血液中药物浓度与代谢时间是否高度相关，并说明理由（，结果保留3位小数）； （2）建立关于的经验回归方程，并预测代谢6.2小时后，血液中药物浓度． 参考数据：． 参考公式：相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：． 【答案】（1）血液中药物浓度与代谢时间是高度相关的，理由如下： 依题意，， ， 则， 所以，即血液中药物浓度与代谢时间是高度相关的. （2），． 【解析】 【分析】（1）由给定的数表，利用相关系数公式计算并判断得解. （2）由（1）中信息，利用最小二乘法求出回归直线方程，再预测所给问题. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）得 ，则， 因此血液中药物浓度与代谢时间的回归方程为， 当时，， 所以代谢6.2小时后，血液中药物浓度约为. 16. 记为正项数列的前项和，． （1）证明：是等差数列； （2）定义数列表示满足的整数的个数，求数列的前项． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由题设及与关系可完成证明； （2）由（1）可得，然后由错位相减法，分组求和法可得答案. 【小问1详解】 因为， 所以时，，有， 因为，所以. 因为，所以，又， 所以， 综上可得，则，即是等差数列； 【小问2详解】 由题意知表示中正整数的个数， 因为，则中有 个自然数，所以，从而， 所以， 不妨设， 则， 两式相减可得， 所以， 所以． 17. 如图，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，． （1）求到平面ABC的距离； （2）求平面PBC与平面PAB夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到线面垂直，故，同理可证，求出，求出．即点到平面ABC的距离为． （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用面面角的余弦公式进行求解. 【小问1详解】 如图，设点为点在底面ABC的射影，点为线段BC中点，连接OB，OC， 平面平面ABC， ， 又平面平面POB， 又平面，同理可得， ∵是边长为的等边三角形， ，， ，又． 即点到平面ABC的距离为． 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，分别以所在方向为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面PBC的一个法向量为， 则有，即， 令，则， 设平面PAB的一个法向量为， 则有，即， 令，则， ， ∴平面PBC与平面PAB夹角的余弦值为． 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与直线交于点，且． （1）求双曲线的方程； （2）设点D、E分别为双曲线的左、右顶点，若点在直线上运动，且直线MD，ME与双曲线分别交于P、Q（不与D、E重合）两点． （i）证明：直线PQ恒过定点； （ii）是否存在点，使得与的面积相等． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）不存在 【解析】 【分析】（1）根据等轴双曲线可知，由可得，可求得，根据计算即可求得，进而得出双曲线的方程； （2）（i）设，写出直线 、 的方程，分别联立直线与双曲线方程，求出 、 的坐标，写出直线 的方程，即可求出定点坐标；（ii）假设存在点，使得与的面积相等，则有，将、 的横坐标，代入化简计算即可判断结果. 【小问1详解】 因为双曲线是等轴双曲线，所以，双曲线方程为 ， ，设，依题意，， 点到直线的距离，，， ，解得，， ∴双曲线的方程为． 【小问2详解】 （i）设，，， 则直线MD，ME的方程分别为， 联立方程，消去得，， ，则， 联立方程，消去得，， ，则， 直线 的斜率 ， ∴直线 的方程为 ，即 ， 整理得 ，∴直线PQ恒过定点． （ii）易知， 若存在点使得，则，有， ， 即， 即，即， （舍），或， ，. ，所以不存在点，使得与的面积相等． 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求的极小值； （2）讨论关于的方程的实数解的个数； （3）若某函数在区间[m，n]上的值域恰为，则称为该函数的“级转置区间”．已知函数，当时，判断是否存在“级转置区间”．若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）先根据导数的几何意义求出 的值，再通过求导分析函数单调性，进而求出极小值。 （2）将方程进行变形，构造新函数，通过求导研究新函数的单调性和极值，从而确定方程实数解的个数； （3）先求出 的表达式，再根据新定义列出方程，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和零点情况，进而确定 的取值范围. 【小问1详解】 ，则， ∵曲线在点处的切线方程为， ∴，，解得， ，令，解， 可得在上单调递减，在上单调递增． 所以在处取得极小值． 的极小值为． 【小问2详解】 由得，即， 或， 令，则， 易知当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，即， ∴方程无解． 令，则， 易知当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为， 易知函数的大致图象如图所示， ①当时，方程无解， 此时关于的方程的实数解的个数为0； ②当或时，方程有唯一解， 此时关于的方程的实数解的个数为1； ③当时，方程有两解， 此时关于的方程的实数解的个数为2． 综上所述，当时，关于的方程的实数解的个数为0； 当或时，关于的方程的实数解的个数为1； 当时，关于的方程的实数解的个数为2． 【小问3详解】 当时，，假设存在“级转置区间”， 即存在正实数，使得在区间[m，n]上的值域恰为， 易知在区间[m，n]上单调递增，∴，且， ，即， ，即，同理可得， 设函数，易知m，n为的两个零点， ∴函数至少有两个零点， 对函数求导得， 设，则， 易知当时，单调递减，当时，单调递增，， ①当时，则， 在上单调递增，不可能有三个零点，不合题意； ②当时，恰有两个零点， 其中， 在单调递增，在单调递减，在单调递增， ， 同理， 设，则在上单调递减， 恒成立，即， 恒成立，即， 且当时，，当时，， ∴由零点存在性定理可知在上各有一个零点， 即有三个零点，符合题意， ∴当时，存在“级转置区间”，且的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三上学期二月份数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试㐘和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则满足题意的集合的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 设*，则“数列为等比数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知某圆锥的底面半径为1，若该圆锥的体积与其内切球的体积之比为，则该圆锥的体积为（ ） A. 或 B. C. D. 或 8. 若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 的最大值为7 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知曲线，点A、B是曲线与轴的两个交点，点为曲线上的动点，为坐标原点，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设事件A，B相互独立，，则_________________． 13. 记函数的最小正周期为，且，，则在上的值域为_____________． 14. 德国数学家克雷尔于1816年发现了三角形的布洛卡点，法国军官布洛卡于1875年将此特殊点重新发现，并以他的名字命名至今．已知任意的内部必存在点，使得（或），则称为的布洛卡点，（或）称为布洛卡角．一般地，对于任意三角形均有两个布洛卡点及两个布洛卡角，当三角形为正三角形时，两个布洛卡点重合．已知点为的一个布洛卡点，且．则__________；当，且时，的面积的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 为探究某药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度与代谢时间的相关数据，如下表所示： 2 3 4 5 6 58 42 30 12 8 （1）若两组变量间的相关系数满足，则称其为高度相关，试判断血液中药物浓度与代谢时间是否高度相关，并说明理由（，结果保留3位小数）； （2）建立关于的经验回归方程，并预测代谢6.2小时后，血液中药物浓度． 参考数据：． 参考公式：相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：． 16. 记为正项数列的前项和，． （1）证明：是等差数列； （2）定义数列表示满足的整数的个数，求数列的前项． 17. 如图，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，． （1）求到平面ABC的距离； （2）求平面PBC与平面PAB夹角的余弦值． 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与直线交于点，且． （1）求双曲线的方程； （2）设点D、E分别为双曲线的左、右顶点，若点在直线上运动，且直线MD，ME与双曲线分别交于P、Q（不与D、E重合）两点． （i）证明：直线PQ恒过定点； （ii）是否存在点，使得与的面积相等． 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求的极小值； （2）讨论关于的方程的实数解的个数； （3）若某函数在区间[m，n]上的值域恰为，则称为该函数的“级转置区间”．已知函数，当时，判断是否存在“级转置区间”．若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $