精品解析：江西九江市都昌县2025-2026学年上学期第二次阶段性学情评估（期末）九年级数学试卷

2025-2026学年度上学期第二次阶段性学情评估 九年级数学 一、单选题（本题6小题，每题3分，共18分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. x2﹣x（x＋3）＝0 B. ax2＋bx＋c＝0 C. x2﹣2x＋3＝0 D. x2﹣2y﹣1＝0 2. 如图，在菱形ABCD中，，则（ ） A. 120° B. 125° C. 130° D. 150° 3. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 4. 反比例函数中，比例系数是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则的长为（ ） A. 7 B. 7 C. D. 7 6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为直线．若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（本题6小题，每题3分，共18分） 7. 若，则___________． 8. 已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，3），则k的值是 _____． 9. 若，为一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 10. 如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB，则AC＝_____． 11. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线与x轴交点的坐标是__________ 12. 如图，在矩形ABCD中，，点P在BC上，且，以AP为腰作等腰三角形APM，使得点M落在矩形ABCD边上，则_______． 三、解答题（本题5小题，每题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）如图，在中，分别是边上的中点．求证：四边形是正方形． 14. 如图，，是的两条高．求证：． 15. 小白和小天准备从《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》三部古代数学著作中选择一本进行阅读．现制作背面完全相同的三张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》的名字． （1）将这三张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，小白先从中抽出一张，抽到《周髀算经》的概率是______________． （2）将（1）中小白抽出的卡片与剩余两张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，小天再从中抽出一张，请利用列表法或画树状图法，求两人抽到同一张卡片的概率． 16. 若y与x3成反比例，且x=2时． （1）求y与x的函数表达式； （2）求y=—16时x的值． 17. 在菱形中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（作图痕迹用虚线表示，结果用实线表示）． （1）如图1，作的平分线． （2）如图2，点为线段上一点，过点作对角线的平行线． 四、解答题（本题3小题，每题8分，共24分） 18. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 19. 已知：如图，在中，点D是边上的一点，的平分线交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A（1, 2），B（m ，n）（m＞1），过点B作y轴的垂线,垂足为C. （1）求该反比例函数解析式； （2）当△ABC面积为2时，求点B的坐标 五、解答题（本题2小题，每题9分，共18分） 21. 人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技小组的成员小星在一次就餐中，对餐厅使用的“送菜机器人”很感兴趣，于是他与小组成员一起研制了一个简易的智能机器人，如图（1），机器人底座AB固定在桌面（桌面足够大）上，且，，，和可以分别绕点B，C自由转动，且始终在同一平面内． （1）机器人工作时，某时刻的示意图如图（2）所示，，，请你求出此时点D到桌面的距离． （2）当点D在桌面上时，请你求出点A，D之间的最大距离． （结果精确到．参考数据：，，，，） 22. 如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 六、解答题（本题12分） 23. 如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请回答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MBC的面积是4？若存在请求出点M的坐标；若不存在请说明不存在的理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期第二次阶段性学情评估 九年级数学 一、单选题（本题6小题，每题3分，共18分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. x2﹣x（x＋3）＝0 B. ax2＋bx＋c＝0 C. x2﹣2x＋3＝0 D. x2﹣2y﹣1＝0 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、x2﹣x（x+3）＝0，化简后为﹣3x＝0，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意； B、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意； C、x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意； D、x2﹣2y﹣1＝0含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2. 如图，在菱形ABCD中，，则（ ） A. 120° B. 125° C. 130° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，菱形的邻角互补求解即可． 【详解】解：∵在菱形ABCD中，， ∴∠DAB＝， ∴∠B＝180°－∠DAB＝180°－30°＝150°， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角，菱形的邻角互补是解题的关键． 3. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：“卯”的主视图为： 故选C． 【点睛】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键． 4. 反比例函数中，比例系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的一般形式，掌握相关知识是解决问题的关键．反比例函数的一般形式为 ，其中 为比例系数．将给定函数与之比较，即可得出比例系数． 【详解】∵ 反比例函数的一般形式为 ， 函数 ， ∴ 比例系数 ． 故选：D． 5. 在中，，则的长为（ ） A. 7 B. 7 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形中锐角余弦的定义，根据余弦定义推导的表达式即可得出答案． 【详解】∵在中，， ∴根据余弦的定义，， 又∵， ∴． 故选：A． 6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为直线．若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一交点为，根据图象可得出答案． 【详解】解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点为， 由图象可知，时，x的取值范围是或． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，准确识图是解题的关键． 二、填空题（本题6小题，每题3分，共18分） 7. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质． 根据比例关系，设，（），代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴可设，（）， 则． 故答案为：． 8. 已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，3），则k的值是 _____． 【答案】-5 【解析】 【分析】直接把点（-2，3）代入反比例函数y＝，求出即可求得k的值． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（-2，3）， ∴3＝，解得k=-5． 故答案为：-5． 【点睛】本题考查的反比例函数图象上点的坐标特点，熟知图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 9. 若，为一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】将利用多项式的乘法计算得含有m+n和mn的式子，再根据一元二次方程根与系数的关系求得m+n及mn的值，将其代入化简后的式子即可求解． 【详解】解：∵，为一元二次方程的两个实数根， ∴m+n=2，mn=-2， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，求代数式的值以及一元二次方程的根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解本题的关键． 10. 如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB，则AC＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，则，即可求得． 【详解】解： RtABC中， 故答案为： 【点睛】本题考查了同角的余角互余，余弦的定义，求得是解题的关键． 11. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线与x轴交点的坐标是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的平移，函数与坐标轴交点情况，解题的关键是掌握函数图象的平移规律．根据函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后的解析式，令，进而即可得平移后抛物线与x轴交点的坐标． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得： 平移后的解析式为：， 令，则， 解得：， 平移后抛物线与x轴交点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，在矩形ABCD中，，点P在BC上，且，以AP为腰作等腰三角形APM，使得点M落在矩形ABCD边上，则_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意，分，，两种情况讨论，利用勾股定理和矩形的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=10， ∴AD=BC=10，CD=AB=4， ①当时，当M在BC上时，在Rt△ABP中，AB=4，PB=3， PM=AP=5， 而BC=10， ∴CM=10-3-5=2； 当M在AD上时，连接CM，如图，过点P作PN⊥AD，则四边形ABPN是矩形， AN=BP=NM=3， ,， 中，； ②当时，点M在AD上,连接CM，则AM=AP=5， ∴DM=AD-AM=BC-MD=10-5=5， ∵CD=AB=4， 在Rt△CMD中，， 故答案为：或或. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，同时利用了等腰三角形的性质和勾股定理，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本题5小题，每题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）如图，在中，分别是边上的中点．求证：四边形是正方形． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，正方形的判定，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握解一元二次方程的公式法和正方形的判定定理是解题的关键． （1）方程运用公式法求解即可； （2）根据三角形的中位线的性质得到，，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：（1）， ∵， 则 即． （2）分别是边上的中点， ， ， ∵， 四边形是正方形． 14. 如图，，是的两条高．求证：． 【答案】 证明：∵，是的两条高， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 先由，是的两条高可知，， ，故可得出，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【详解】略 15. 小白和小天准备从《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》三部古代数学著作中选择一本进行阅读．现制作背面完全相同的三张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》的名字． （1）将这三张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，小白先从中抽出一张，抽到《周髀算经》的概率是______________． （2）将（1）中小白抽出的卡片与剩余两张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，小天再从中抽出一张，请利用列表法或画树状图法，求两人抽到同一张卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率计算，用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键． （1）用概率公式计算即可； （2）设《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》分别为，画树状图，得到共有种等可能的结果，其中两人抽到同一张卡片的结果有种，用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得共有种等可能的结果，其中抽到《周髀算经》的结果有种， 小白先从中抽出一张，抽到《周髀算经》的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》分别为，画树状图如下， 共有种等可能的结果，其中两人抽到同一张卡片的结果有种， 两人抽到同一张卡片的概率为． 16. 若y与x3成反比例，且x=2时． （1）求y与x的函数表达式； （2）求y=—16时x的值． 【答案】（1）y= （2）x= 【解析】 【详解】试题分析:(1)根据y与x3成反比例,可设,把x=2,,代入可得k=2, 即可求出函数表达式,(2)把y=－16代入(1)中函数关系式即可求解. 试题解析:(1)因为y与x3成反比例, 则可设, 因为x=2,, 所以, 所以 (2)当 y=－16时,代入可得:,解得: x=. 17. 在菱形中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（作图痕迹用虚线表示，结果用实线表示）． （1）如图1，作的平分线． （2）如图2，点为线段上一点，过点作对角线的平行线． 【答案】（1） 线段即为所求； （2） 线段即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了基本的作图，菱形的性质， （1）根据菱形的性质，菱形的对角线平分对角，连接即可； （2）连接，根据菱形的性质得与互相垂直平分，连接交于点，连接并延长，交于点，连接即可． 说明：根据菱形的性质得出，根据线段垂直平分线的性质得出，所以得出，再根据对顶角相等得出，由以上条件证明出，得出， 根据菱形的性质得出，所以垂直平分线段，再根据垂直的定义和平行线的判定定理即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（本题3小题，每题8分，共24分） 18. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为20% （2）在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． 【小问2详解】 解：设增加x条生产线． ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． 19. 已知：如图，在中，点D是边上的一点，的平分线交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义可逐步证明，再根据相似三角形的判定证明即可； （2）根据相似三角形的性质列方程求出的长，即得答案． 【小问1详解】 解：， ， 平分， ， ，， ， 又， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A（1, 2），B（m ，n）（m＞1），过点B作y轴的垂线,垂足为C. （1）求该反比例函数解析式； （2）当△ABC面积为2时，求点B的坐标 【答案】（1）,（2）（3，） 【解析】 【详解】解：（1）∵k＝1×2＝2 ∴反比例函数解析式为：； （2）∵S△ABC＝，mn＝2， ∴， ∴B的坐标为（3，）． 五、解答题（本题2小题，每题9分，共18分） 21. 人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技小组的成员小星在一次就餐中，对餐厅使用的“送菜机器人”很感兴趣，于是他与小组成员一起研制了一个简易的智能机器人，如图（1），机器人底座AB固定在桌面（桌面足够大）上，且，，，和可以分别绕点B，C自由转动，且始终在同一平面内． （1）机器人工作时，某时刻的示意图如图（2）所示，，，请你求出此时点D到桌面的距离． （2）当点D在桌面上时，请你求出点A，D之间的最大距离． （结果精确到．参考数据：，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作的平行线，交的延长线于点F，过点D作的垂线，垂足为点E，交直线于点G．先求出，在中，求得，在中，求得，最后可得结果； （2）当点在桌面上时，易知当点B，C，D共线时，点D距点A最远，利用勾股定理求得的长即可． 【小问1详解】 如图（1），过点作的平行线，交的延长线于点F，过点D作的垂线，垂足为点E，交直线于点G． 易得四边形是矩形，∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，． 在中， ∴． 故此时点到桌面的距离约为． 【小问2详解】 当点在桌面上时，易知当点B，C，D共线时，点D距点A最远，如图（2）． 在中，， 由勾股定理得，， ∴点A，D之间的最大距离为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义、正确作出辅助线是解题的关键． 22. 如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 【答案】（1）见解析； （2）四边形是菱形，理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，利用平行四边形对边相等得． （2）先证四边形是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线性质得，从而判定为菱形． （3）结合正方形的判定求解即可 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵是中点，， ∴， 由（）知，且，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当时，四边形是正方形，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵是中点， ∴，即， 由（）知四边形是菱形， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理与直角三角形的性质是解题的关键． 六、解答题（本题12分） 23. 如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请回答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MBC的面积是4？若存在请求出点M的坐标；若不存在请说明不存在的理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）；（3）存在，（1，2）或（1，﹣2）． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），可以求得抛物线的解析式； （2）将第（1）问求得的抛物线的解析式化为顶点式可以求得顶点D的坐标，对称轴与x轴交于点E的坐标，由B（﹣1，0），从而可以求得BE、DE的长，进而可以求得BD的长； （3）设出点M的坐标，根据第（1）问求得的函数解析式可以求得点C的坐标，从而可以得到BC的长度，设出点M的坐标，根据△MBC的面积是4，可以求得点M的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0）， ∴， 解得，a=﹣1，c=3， 即抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3； （2）∵抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E， y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，B（﹣1，0）， ∴点D的坐标是（1，4），点E的坐标是（1，0）， ∴DE=4，BE=2， ∴， 即BD的长是； （3）在抛物线的对称轴上存在点M，使得△MBC的面积是4． 设点M的坐标为（1，m）， 由﹣x2+2x+3=0得x=﹣1或x=3， 即点B的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（3，0）， ∴BC=3﹣（﹣1）=4， ∵△MBC的面积是4， ∴， 解得，m=±2， 即点M的坐标为（1，2）或（1，﹣2）． 【点睛】本题考查二次函数综合题、求函数的解析式、勾股定理、三角形的面积，解题的关键是明确题意，会求函数的解析式，能利用勾股定理可以求得直角三角形中某一边的长度，会求二次函数与x轴的交点，会利用三角形的面积探究抛物线上点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $