03指数（或指数型）函数的图象问题寒假作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教A版必修一寒假作业——指数与指数函数专项突破版 03测试范围：指数（或指数型）函数的图象问题 一、题型梳理 1、图象过定点问题 2、图象关系之间辨析问题 3、图象的分部，即图象所过的象限； 4、图象的交点个数问题 5、图象的对称问题 二、典例讲解 1、图象过定点问题 例1、已知函数的图象恒过定点，则（    ） A．2 B．0 C． D． 例2．函数，且的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 例3．幂函数在上单调递增，则且的图象过定点 . 2、图象关系之间辨析问题 例4．函数与的图象可能是（   ） A．  B．   C．  D．   例5．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A． B． C． D． 例6．已知且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的部分图象可能为（   ） A． B． C． D． 3、图象的分部问题，即图象所过的象限个数问题； 例7．，，则图象不经过第（  ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 例8．（多选）若函数（且）的图象不经过第二象限，则（   ） A． B． C． D． 例9．若函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为 ． 4、图象的交点个数问题 例10、函数的图象与x轴的交点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例11．若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例12、若曲线与直线有两个公共点，则的取值范围是 ． 5、图象的对称问题 例13．函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 例14．已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 例15．已知函数的图象关于直线对称，则a＝（    ） A．1 B．2 C．0 D．-2 例16．已知函数的图象过点 (1)求的值，判断函数的单调性，并根据定义证明； (2)证明：的图象关于点对称； 03 指数（或指数型）函数的图象问题的寒假作业 一、选择题 1、已知函数且的图像经过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 2、函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 3、已知为定义在上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，则（    ） A．2 B． C． D．4 4．幂函数在上单调递增，则函数（）图象过定点（   ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 6、已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数（，且）的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（   ） A． B． C． D． 8．定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）已知函数且恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（多选）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 12．函数的图象与函数的图象关于 对称，它们的交点坐标是 . 13．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点坐标是 . 14．若函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为 ． 三、解答题 15．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求实数的值；并求函数在上的解析式； (2)证明：函数的图象与轴恰有一个交点； 16．已知函数的图象过原点，且当趋向于正无穷大时，函数图象无限接近直线，但又不与该直线相交． (1)求该函数的解析式； (2)已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．若的图象关于点对称，求出点的坐标； 17．已知定义在上函数的图象关于坐标原点对称. (1)求实数m的值； (2)判定的单调性并证明； (3)若实数满足，求的取值范围. 18．已知函数的图象过点，且与函数的图象相交于. (1)求的表达式； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值 19．已知二次函数的图象经过原点，且的图象关于直线对称，函数的图象与直线有且只有一个交点. (1)求的解析式； (2)若，，不等式成立，求实数的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一寒假作业——指数与指数函数专项突破版 03测试范围：指数（或指数型）函数的图象问题 一、题型梳理 1、图象过定点问题 2、图象关系之间辨析问题 3、图象的分部，即图象所过的象限； 4、图象的交点个数问题 5、图象的对称问题 二、典例讲解 1、图象过定点问题 例1、已知函数的图象恒过定点，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的性质求解. 【详解】∵，∴恒过定点，∴，，∴， 故选：A. 例2．函数，且的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数性质求解. 【详解】由函数，且，令，解得，此时，所以函数的图象恒过定点. 故选：B. 例3．幂函数在上单调递增，则且的图象过定点 . 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义及单调性求出的值，再代入的表达式，利用指数函数的性质求其图象过的定点. 【详解】因为幂函数在上单调递增，所以， 解得，所以且，令，得，所以， 所以且的图象过定点. 2、图象关系之间辨析问题 例4．函数与的图象可能是（   ） A．  B．   C．  D．   【答案】A 【分析】根据指数函数和幂函数的图象和性质直接判断即可. 【详解】函数为单调递减的指数函数，且过点，其值域为，排除B，D. 函数为幂函数，定义域和值域都是，且单调递增，过点. 故选：A. 例5．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用指数函数与幂函数的性质，分类讨论，结合排除法，即可求解. 【详解】由函数和，当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越快，函数在定义域为单调递增函数，可排除A和B项；当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越慢，函数在定义域为单调递减函数，可排除C项.故选：D. 例6．已知且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的部分图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数性质并且结合图象求解即可. 【详解】对于A，B，由图象结合指数函数性质得，且对于，当时，， 则，故A正确，B错误，对于C，由指数函数性质结合图象得，则，与图象不符，故C错误，对于D，由指数函数性质结合图象得，对于，当时，，则，与图象不符，故D错误.故选：A 3、图象的分部问题，即图象所过的象限个数问题； 例7．，，则图象不经过第（  ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】根据指数函数图象的性质，结合图像的平移判断选项. 【详解】已知指数函数，，函数为减函数，函数图象恒过，且，，因此函数经过第一，第二象限，则函数图象向下平移个单位，又，则函数经过第二，第三，第四象限.故选：A 例8．（多选）若函数（且）的图象不经过第二象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据条件，利用指数函数的性质得，即可求解. 【详解】因为函数恒过点，又函数（且）的图象不经过第二象限，则，即且，故选：AC. 例9．若函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分和两种情况，结合指数函数的单调性，根据函数图象不经过第四象限的要求列不等式，求解后确定实数的取值范围. 【详解】由题意可知，当时，恒成立.当时，函数在上单调递减，且当时，，，即，解得或，又，则； 当时，函数在上单调递增，则需当时，，，即，解得或，又，所以.综上，． 4、图象的交点个数问题 例10、函数的图象与x轴的交点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用函数零点的意义，将问题转化为两个函数图象交点个数求解. 【详解】函数的图象与x轴的交点的横坐标，即方程的解，亦即函数的图象交点横坐标，在同一坐标系内作出函数的图象，如图： 观察图象知，函数的图象有2个交点， 所以函数的图象与x轴的交点个数为2. 故选：B 例11．若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和，两种情况讨论，画出函数的图象，结合图象，得出关于不等式，即可求解. 【详解】由题意知，直线与函数的图象有两个公共点，当时，的图象如图（1）所示，可得，解得；当时，的图象如图（2）所示，可得，解得，因为，此时不存在实数，综上可得，实数a的取值范围为．故选：C.      例12、若曲线与直线有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出曲线与直线的图象，由条件结合图象求的范围. 【详解】画出曲线与直线的图象如图所示， 由图象可得，如果曲线与直线有两个公共点，则的取值范围是． 5、图象的对称问题 例13．函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】根据函数的变换规则判断即可. 【详解】因为，即，所以函数与的图象关于原点对称. 故选：C． 例14．已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得. 【详解】由对称中心性质可知函数满足，即， 整理可得，即，解得. 故选：C 例15．已知函数的图象关于直线对称，则a＝（    ） A．1 B．2 C．0 D．-2 【答案】B 【分析】根据的对称性，结合函数图象平移得到关于直线对称的函数式，即可确定参数a的值. 【详解】函数的图象关于y轴对称，将函数的图象向右平移2个单位长度可得函数的图象，所以函数的图象关于直线对称，故．故选：B 例16．已知函数的图象过点 (1)求的值，判断函数的单调性，并根据定义证明； (2)证明：的图象关于点对称； 【答案】(1)；在定义域内单调递增，证明见详解；(2)证明见详解 【分析】（1）根据题意直接代入求得，并根据单调性的定义分析证明的单调性； （2）根据题意可证，即可得对称中心； 【详解】（1）因为函数的图象过点，则，解得， 所以.可知在定义域内单调递增，证明如下： 任取，令，则， 因为，则，可得，即， 所以在定义域内单调递增. （2）因为的定义域为， 且， 所以的图象关于点对称. 03 指数（或指数型）函数的图象问题的寒假作业 一、选择题 1、已知函数且的图像经过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数，令解出，进而得的定点. 【详解】令，，所以过定点. 故选：B. 2、函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性结合函数的图象不经过第四象限，判断a， b的范围. 【详解】因为函数 (且)单调递增，所以，图象不经过第四象限，则当时，，所以，， 故选：B. 3、已知为定义在上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】结合函数的奇偶性和对称性求得. 【详解】∵是定义在上的奇函数，∴，∵关于对称，∴，∴.∴. 故选：C 4．幂函数在上单调递增，则函数（）图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数定义求得，然后由指数函数的性质求得定点坐标. 【详解】由题意可知，∴，∴，令，即，，∴函数图象过定点. 故选：C. 5．已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得. 【详解】由对称中心性质可知函数满足，即， 整理可得，即，解得. 故选：C 6、已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】易得两个函数的图象都经过定点，即可排除B；再分和两种情况讨论即可得解. 【解答过程】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误； 因为且，所以为增函数， 当时，为增函数，此时的零点，故A错误； 当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误. 故选：C. 7．已知函数（，且）的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得，结合其渐近线及指数函数的性质确定参数范围或参数值. 【详解】因为的图象过原点，所以，因为的图象无限接近直线，但又不与该直线相交，所以，，.故选：C 8．定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的图象关于直线对称可得，再根据当时，单调递减可得答案. 【详解】定义在上的函数的图象关于直线对称，所以，所以， 因为当时，为单调递增函数，定义在上的函数的图象关于直线对称， 所以当时，单调递减，因为，所以，即. 故选：B. 9．（多选）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由指数函数图象可确定大小关系，进而利用的单调性得到，即可得解. 【详解】由指数函数图象可知：， A错误， D正确； 因为在定义域上单调递增，且，所以，B错误，C正确. 故选：CD. 10．（多选）已知函数且恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【分析】首先根据指数函数的性质求定点，即得函数的解析式，再判断函数的图象经过的象限. 【详解】由指数函数的性质可知，当时，，所以恒过定点， ，则函数恒过定点，且是单调递增函数，其图象不经过第二象限.故选：ACD. 11．（多选）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线，根据选项由一次函数图象性质及指数型函数图象性质依次判断即可. 【详解】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线，而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，，当时，单调递增，故A符合题意；对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，，当时，单调递减，故B符合题意；对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，，当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意；对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，，而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意. 故选：ABC 二、填空题 12．函数的图象与函数的图象关于 对称，它们的交点坐标是 . 【答案】 轴 【分析】根据题意画出函数图象，结合图象得出结果. 【详解】函数的图象与函数的图象如下： 由指数函数的性质可知，函数的图象与函数的图象关于轴对称，它们的交点坐标是. 故答案为：轴；. 13．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点坐标是 . 【答案】 【分析】由幂函数的性质求出，再由指数函数的性质可得. 【详解】因为幂函数在区间上单调递增，则，解得， 所以，，则，即函数的图象过定点. 14．若函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分和两种情况，结合指数函数的单调性，根据函数图象不经过第四象限的要求列不等式，求解后确定实数的取值范围. 【详解】由题意可知，当时，恒成立.当时，函数在上单调递减，且当时，，，即，解得或，又，则； 当时，函数在上单调递增，则需当时，，，即，解得或，又，所以. 综上，． 三、解答题 15．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求实数的值；并求函数在上的解析式； (2)证明：函数的图象与轴恰有一个交点； 【答案】(1)；；(2)证明见解析 【分析】（1）利用求，利用奇函数的定义求解析式； （2）解方程即可； 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，则，解得， 则时，，当时，则，， 又是奇函数，则，则； （2）当时，由得（舍）；当时，得， 则函数的图象与轴恰有一个交点。 16．已知函数的图象过原点，且当趋向于正无穷大时，函数图象无限接近直线，但又不与该直线相交． (1)求该函数的解析式； (2)已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．若的图象关于点对称，求出点的坐标； 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题意得到，和即可求解；（2）由中心对称的充要条件代入计算即可； 【详解】（1）由题意，可得，即，又的图象无限接近直线但又不与该直线相交，可得，所以函数的解析式； （2）令，解得，可知的定义域为， 又因为，所以函数的图象关于点对称． 17．已知定义在上函数的图象关于坐标原点对称. (1)求实数m的值； (2)判定的单调性并证明； (3)若实数满足，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)在上单调递减，证明见解析；(3). 【分析】（1）根据奇函数性质求参数，注意验证即可； （2）利用函数单调性定义及指数函数性质证明函数单调性； （3）法1：根据函数的单调性有，由指数函数单调性求参数范围；法2：应用换元法及函数单调性求参数范围. 【详解】（1）因为在上的图象关于原点对称，所以为奇函数， 所以，即，检验如下，此时，所以，故是奇函数，满足要求.所以. （2）在上单调递减，证明如下： 任取且，则， 因为，所以，又，， 所以，所以在上单调递减. （3）法1：因为，所以可化为 因为在上单调递减，所以，即，所以，解得. 法2：在中，令，则， 即，即，所以，即，所以，解得. 18．已知函数的图象过点，且与函数的图象相交于. (1)求的表达式； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用待定系数法可得答案； （2）令，把问题转化成二次函数最值问题，讨论对称轴与定义域的关系，可得答案. 【详解】（1）由题意可知函数的图象过点，， 函数的图象过点和点，， 解得：或（舍去），. （2）代入，得：， ，令，当时，单调递增，且，即，则可转化为关于的函数，对称轴为. 当时，则时，，解得； 当时，则时，，解得，舍去； 综上，可知. 19．已知二次函数的图象经过原点，且的图象关于直线对称，函数的图象与直线有且只有一个交点. (1)求的解析式； (2)若，，不等式成立，求实数的最小值. 【答案】(1)；(2)2. 【分析】（1）根据已知二次函数的性质得、且方程有两个相等的实数根，结合判别式求参数值，即可得解析式； （2）应用基本不等式求已知不等式左侧的最小值，问题化为在时有解，再由求出该不等式右侧的最小值，即可得. 【详解】（1）设，因为二次函数的图象经过原点，所以， 因为的图象关于直线对称，所以是偶函数，所以的图象关于直线对称，则，即，因为函数的图象与直线有且只有一个交点， 所以方程有两个相等的实数根，所以，解得（舍去），所以； （2），且，则，所以，当且仅当时，即时取等号，所以在时有解，即在时有解，因为，当且仅当时，即时取等号，所以，即实数的最小值为2. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $