02指数（或指数型）函数的解析式问题寒假作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教A版必修一寒假作业——指数与指数函数专项突破版 02测试范围：有关指数（或指数型）函数的解析式问题 一、题型梳理 1、待定求式：即待定系数法求解析式； 2、由图求式：即根据图象求解析式； 3、由式定图：即根据解析式确定函数图象； 4、奇偶求式：即根据函数的奇偶性求解析式； 5、开放求式：即开放性题目，求满足条件的一个解析式； 二、典例讲解 1、待定求式：即待定系数法求解析式； 设指数函数标准形式，代入已知点坐标列方程求；求函数值时，直接代入自变量，或结合幂的运算化简后计算。 例1．若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 例2．人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 例3．已知函数为指数函数，且在定义域内单调递增．则函数的解析式为 ； 2、由图求式：即根据图象求解析式； 例4．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式（    ） A． B． C． D． 例5．函数图象的一部分如图所示，则函数的解析式有可能是（   ） A． B． C． D． 例6．已知，，若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 3、由式定图：即根据解析式确定函数图象； 例7、函数 的图象大致是 （        ） A． B． C． D． 例8．函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   例9．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的解析式来推断函数图像的特征，则函数的大致图像是（   ） A．   B．   C．   D．   例10．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4、奇偶求式：即根据函数的奇偶性求解析式； 例11．（多选）设为定义在上的偶函数，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 例12．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（   ） A． B． C． D． 例13．已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.则的解析式为 . 例14．已知函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. 请判断函数的奇偶性： ，并写出解析式： . 例15．已知函数是定义域为的偶函数，且时，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 5、开放求式：即开放性题目，求满足条件的一个解析式； 例16．（多选）若函数的图象上存在不同的两点到直线的距离均为，则的解析式可以是（     ） A． B． C． D． 例17．已知定义在上的函数对任意实数，，恒有，并且函数在上单调递减，请写出一个符合条件的函数解析式 ．（需注明定义域） 例18．写出一个同时满足下列性质①②③的函数解析式： ． ①定义域为；②值域为；③是奇函数． 例19．设函数满足下列条件： （1）定义域为；（2）在上的最大值为；（3）在上不是增函数． 则的解析式可以是 ． 02 有关指数（或指数型）函数的解析式问题的寒假作业 一、选择题 1、已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 2、若函数的图象经过，则（    ） A． B． C．3 D．9 3．如图是下列选项中某个函数的部分图象，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，且，，，，，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 5．下列函数中，满足的是（　　） A． B． C． D． 6．已知奇函数在上的解析式为，则（    ） A． B． C． D． 7．设函数（且），且，则下列结论正确的是（    ） A． B．在定义域上的增区间为 C．函数图象经过点 D．函数解析式为 8．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）设为定义在R上的偶函数，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 10．【多选】已知函数是奇函数或偶函数，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．已知，则的解析式为 . 13．已知函数，且，，，，，，则函数的解析式为 . 14．，函数同时满足：①，②，写出函数的一个解析式 . 三、解答题 15．已知函数是定义域为R上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)写出的解析式； (3)画出函数的大致图象并写出函数的值域. 16．已知定义域为的函数为奇函数，当时，（均为实数，且），且的图象过点，，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 17．已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且． (1)求函数和的解析式，并判断的单调性（单调性直接写结论即可）； (2)若时，不等式有解，求实数t的取值范围； 18．已知指数函数满足：，定义域为的函数是奇函数. (1)求的解析式； (2)求的值，并判断函数的单调性（不需要证明）； 19．已知是二次函数，且，若函数是奇函数，是偶函数，定义域均为，且. (1)求的解析式； (2)求，的解析式； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一寒假作业——指数与指数函数专项突破版 02测试范围：有关指数（或指数型）函数的解析式问题 一、题型梳理 1、待定求式：即待定系数法求解析式； 2、由图求式：即根据图象求解析式； 3、由式定图：即根据解析式确定函数图象； 4、奇偶求式：即根据函数的奇偶性求解析式； 5、开放求式：即开放性题目，求满足条件的一个解析式； 二、典例讲解 1、待定求式：即待定系数法求解析式； 设指数函数标准形式，代入已知点坐标列方程求；求函数值时，直接代入自变量，或结合幂的运算化简后计算。 例1．若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（且），代入点运算求解即可. 【详解】设，（且），因为函数的图象过点，则，解得， 所以.故选：B. 例2．人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数衰减模型可得，根据半衰期为8天列方程求解. 【详解】设碘-131的衰减率为，则，由半衰期为天，可得，解得， 所以，.故选：A. 例3．已知函数为指数函数，且在定义域内单调递增．则函数的解析式为 ； 【答案】 【分析】由是指数函数可得其系数为1，结合单调递增即可求的值； 【详解】由函数为指数函数得，解得或，因为在定义域内单调递增，有，故，故的解析式为. 2、由图求式：即根据图象求解析式； 例4．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象结合各选项具体解析式逐个分析，注意奇偶性和定义域的应用. 【详解】对A，因为，当且仅当时等号成立，与图象不符，故A不可能； 对B，因为，，则，故为奇函数，图象关于原点成中心对称，与所给图象不符，故B不可能； 对C，因为，，则，所以函数为偶函数，关于轴对称，由A选项知，所以，故C可能； 对D，因为的定义域为，当时函数无意义，故D不可能. 故选：C 例5．函数图象的一部分如图所示，则函数的解析式有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性排除C、D，再由函数过点，即可判断B. 【详解】因为函数在定义域上单调递增，因为，在定义域上单调递减，故排除C、D；又当时，显然不过点，故B错误；在定义域上单调递增，且，所以，符合题意.故选：A 例6．已知，，若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性及函数图像逐一分析判断选项. 【详解】从函数图像可以看出是奇函数，对于A选项，，且，显然与图像不符，故A错误；对于B选项，，在时，，不符合题意；对于C选项，，且，与函数图像不符，不符合题意； 故选：D 3、由式定图：即根据解析式确定函数图象； 例7、函数 的图象大致是 （        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的奇偶性及的值，即可得出合适的选项. 【详解】因为函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数，排除BD选项，又因为，排除A选项. 故选：C. 例8．函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断当时，的取值情况，从而可得答案. 【详解】的定义域为，因为，所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，所以排除AC，因为当时，，所以排除D，故选：B. 例9．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的解析式来推断函数图像的特征，则函数的大致图像是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先研究函数的奇偶性，排除选项CD，再通过计算确定答案. 【详解】设，所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项CD.当时，，所以排除B，选择A.故选：A. 例10．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，排除BC选项， 又因为，故函数为偶函数，排除A选项， 故选：D. 4、奇偶求式：即根据函数的奇偶性求解析式； 例11．（多选）设为定义在上的偶函数，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用函数的奇偶性定义一一判定选项即可． 【详解】对于A、C选项，显然与均满足，且定义域均为， 所以均正确；对于B选项，，不满足，故B错误； 对于D选项，易知的定义域不是，所以D错误．故选：AC 例12．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数的性质求解即可. 【详解】由时，，且是定义在上的奇函数，则时，，所以，即.故选：C 例13．已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.则的解析式为 . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可求解. 【详解】因为定义域为R的函数是奇函数，所以，当时，，所以， 又因为函数是奇函数，所以，所以， 综上，函数的解析式为.，故答案为：. 例14．已知函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. 请判断函数的奇偶性： ，并写出解析式： . 【答案】 偶函数 【分析】利用函数偶函数定义判断，再由题设，，结合过原点求得得出函数解析式. 【详解】定义域为,,所以是偶函数；由无限接近直线但又不与该直线相交，所以，，令，则，即，则满足题设. 例15．已知函数是定义域为的偶函数，且时，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出当时的解析式，进而求解； （2）根据指数函数的单调性判断在的单调性，结合函数奇偶性与单调性解不等式即可. 【详解】（1）由题意知，当时，，所以，又， 所以，得的解析式为. （2）当时，，又函数在上单调递减， 所以在上单调递减，由，得， 则，解得，即不等式的解集为. 5、开放求式：即开放性题目，求满足条件的一个解析式； 例16．（多选）若函数的图象上存在不同的两点到直线的距离均为，则的解析式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】在同一坐标系中，作出，，，，的图象，逐项分析判断. 【详解】如图所示： 函数的图象上的点到直线的距离都大于，故A错误； 当时，函数的图象上的点到直线的距离都小于， 当时，函数的图象上存在一个点到直线的距离等于，故B错误； 当时，函数的图象上存在一个点到直线的距离等于， 当时，函数的图象上存在一个点到直线的距离等于，故C正确； 点到直线的距离，则点两边各存在一点到直线的距离等于e，故D正确； 故选：CD 例17．已知定义在上的函数对任意实数，，恒有，并且函数在上单调递减，请写出一个符合条件的函数解析式 ．（需注明定义域） 【答案】（不唯一） 【分析】根据题意找出一个满足题意的函数解析式即可 【详解】由题意例如且在上单调递减。 例18．写出一个同时满足下列性质①②③的函数解析式： ． ①定义域为；②值域为；③是奇函数． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数的三个性质，写出符合条件的函数即可. 【详解】如，定义域为，又，因为，所以，，又，故是奇函数． 故答案为：（答案不唯一） 例19．设函数满足下列条件： （1）定义域为；（2）在上的最大值为；（3）在上不是增函数． 则的解析式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意写出满足的，再检验即可． 【详解】解：由已知写出满足的函数为，由，解得，满足（1）； 由复合函数同增异减可知，在上递减，在上递增，，满足（2）； 由上面的分析知在上不是增函数，满足（3）． 02 有关指数（或指数型）函数的解析式问题的寒假作业 一、选择题 1、已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的特征，结合经过的点即可求解. 【详解】由指数函数的图象经过点可得，解得，所以， 故选：A 2、若函数的图象经过，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【分析】根据题意，由求得函数解析式求解. 【详解】解：因为函数的图象经过，所以，解得 ， 所以，则， 故选：B 3．如图是下列选项中某个函数的部分图象，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由时，，可排除B，D；再由可排除C. 【详解】由图可知当时，，故排除B，D；设，则，故排除C． 故选：A． 4．已知函数，且，，，，，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据满足的条件，逐个代入排除判断即可. 【详解】因为，故排除CD，又，排除A，故，逐个条件代入满足. 故选：B 5．下列函数中，满足的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数运算法则，结合函数解析式直接判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D. 6．已知奇函数在上的解析式为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性求出，再求出即可. 【详解】因为奇函数在0处有定义，所以， 所以在上的解析式为，则， 又因为函数为奇函数，所以. 故选：C 7．设函数（且），且，则下列结论正确的是（    ） A． B．在定义域上的增区间为 C．函数图象经过点 D．函数解析式为 【答案】A 【分析】由题可得，进而可得，然后根据指数函数的性质逐项分析即得. 【详解】由，可得，所以，故D错误；所以函数在定义域R上单调递减， 所以，故A正确，故B错误；又，故C错误. 故选：A. 8．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的奇偶性与特殊函数值的符号判断可得结果. 【详解】∵的定义域为R，，∴为偶函数，所以排除选项D；又∵，所以排除选项A；又∵，∴在x轴的下方有图象，所以排除选项B；故选：C. 9．（多选）设为定义在R上的偶函数，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数的奇偶性的性质逐一判断即可. 【详解】A：显然该函数的定义域为全体实数，因为， 所以该函数是奇函数，不符合题意； B：显然该函数的定义域为全体实数，因为，所以该函数是偶函数，符合题意； C：显然该函数的定义域为全体实数，因为，所以该函数是偶函数，符合题意； D：由该函数的解析式可知，显然该函数的定义域不为全体实数，不符合题意， 故选：BC 10．【多选】已知函数是奇函数或偶函数，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用奇偶性求对应参数a的值，再由指数型函数性质判断时的函数值符号，即可得答案. 【详解】由已知得， 若为偶函数，则恒成立， 所以恒成立，故，则， 所以时有，显然C对，D错； 若为奇函数，则恒成立， 所以恒成立，故，则， 所以时有，显然B对，A错； 故选：BC 11．（多选）若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先从图象看出为偶函数，定义域为R，A选项，不满足定义域为R；BC选项，满足奇偶性和单调性，且满足增长速度；D选项，不满足奇偶性和单调性，D错误. 【详解】由图看出，为偶函数，定义域为R， A选项，，定义域为，不合题意， B选项，，定义域为R，且满足， 故为偶函数，且在上单调递增，增长速度越来越慢，B正确； C选项，的定义域为R，且， 故为偶函数，且在上单调递增，增长速度越来越慢，C正确； D选项，，不是偶函数，且在R上单调递减，D错误. 故选：BC 二、填空题 12．已知，则的解析式为 . 【答案】 【分析】采用换元法求解出的解析式. 【详解】令，则，所以，所以. 13．已知函数，且，，，，，，则函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据题目累乘可得的表达式，再令可得的解析式. 【详解】将各式累乘可得 又因为，所以，令，则有. 14．，函数同时满足：①，②，写出函数的一个解析式 . 【答案】（答案不唯一）. 【分析】根据题意，结合初等函数的图象与性质，即可求解. 【详解】因为，函数同时满足： ①由，此时函数可以是指数函数型或常值函数； ②由，可得函数的图象为“凸”型函数或常值函数， 所以函数的一个解析式可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 三、解答题 15．已知函数是定义域为R上的奇函数，当时，.    (1)求的值； (2)写出的解析式； (3)画出函数的大致图象并写出函数的值域. 【答案】(1) (2) (3)作图见解析，值域为R 【分析】（1）直接将代入函数解析式即可求解. （2）结合是奇函数，时，利用即可求解解析式； （3）结合指数函数图象与性质作出函数图象，然后利用图象求得函数的值域. 【详解】（1）因为当时，，所以； （2）当时，，则，则； （3）作出图象如下图所示：    由图象可知，函数的值域为R. 16．已知定义域为的函数为奇函数，当时，（均为实数，且），且的图象过点，，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据已知点求出的值，根据奇函数的定义和性质即可求出的解析式； （2）先根据的分段情况，分别求解每一段不等式的解集，再取并集即可. 【详解】（1）当时，因为的图象过点，，， 所以，解得，当时，， 由定义域为的函数为奇函数得， 当时，，则，所以， 综上，； （2）当时，由，解得，所以； 当时，由，不满足题意； 当时，由，解得， 综上，不等式的解集为． 17．已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且． (1)求函数和的解析式，并判断的单调性（单调性直接写结论即可）； (2)若时，不等式有解，求实数t的取值范围； 【答案】(1)，在上为单调递增；(2) 【分析】（1）构造函数方程，利用奇偶性可解得结果； （2）可化为，即可解得结果； 【详解】（1）因为是奇函数，是偶函数，所以，， 则,所以，因为在上为增函数， 所以在上为单调递增． （2）因为是奇函数， 在上单调递增可得，又因为，所以有解， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减，则，所以， 所以实数t的取值范围为． 18．已知指数函数满足：，定义域为的函数是奇函数. (1)求的解析式； (2)求的值，并判断函数的单调性（不需要证明）； 【答案】(1)；(2)，，在R上为减函数. 【分析】（1）根据指数函数利用待定系数法求； （2）利用奇函数用特值法求，可得到解析式，再结合复合函数单调性去判断函数单调性； 【详解】（1）设，则，∴，∴ （2）结合（1）得，∵是上的奇函数，∴，即 ∴又，∴，∴，定义域为，检验满足奇函数，所以， ∴， ∵函数在上单调递减，在上单调递增， ∴由复合函数单调性可知在上单调递减，∴在R上为减函数 19．已知是二次函数，且，若函数是奇函数，是偶函数，定义域均为，且. (1)求的解析式；(2)求，的解析式； 【答案】(1)；(2)， 【分析】（1）设，根据条件求出，，，然后得出的解析式； （2）根据函数是奇函数，是偶函数，利用奇偶性定义结合指数函数运算，然后将得出的等式与原式联立求解即可； 【详解】（1）设， 则， 整理得，比较上述等式两边对应项的系数， 可得解得故. （2）因为是奇函数，所以，因为是偶函数，所以， 因为， 所以，得， 进而列方程组两式相加可得，即， 两式相减可得，即； 综上，，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $