精品解析：贵州铜仁市2025-2026学年上学期1月质量监测试题高二数学

2026年1月质量监测试题 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上． 2．答题时，第I卷必须用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，字体工整、笔迹清楚．在试题卷上作答无效． 3．本试题卷共4页，满分150分．考试时间120分钟． 4．考试结束后，试题卷和答题卡一并交回． 第I卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 若成等比数列，且公比为，则的公比为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 4. 已知，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将椭圆的长轴分成5等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于四点，是椭圆的一个焦点．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是递增的等比数列，其前项和为．若，则（ ） A. B. C. 数列的前项和为 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和为．若，则（ ） A. B. C. 的最大值为5 D. 10. 在正方体中，是棱上的动点，则（ ） A. B. 的面积为定值 C. 向量在平面上的投影向量为 D. 若为的中点，则 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线与和圆交于四个点，且自上而下分别是为坐标原点，直线与的准线交于点，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是 第II卷三、填空题：本大题共3小题，每小题6分．共15分． 12. 已知，，，则与所成角的大小为______． 13. 圆与圆的公切线的条数是______条． 14. 已知圆柱的底面半径为，高为，现有一个小球与圆柱的内切球外切，与圆柱的底面和侧面都相切，则： （1）小球的半径______（用表示）： （2）在圆柱内部和其内切球外部所围成的封闭空间中，最多可同时容纳这样的小球______个． （，） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列，公差，． （1）求的值； （2）记的前项和为，求． 16. 已知直线与的交点为． （1）求过点且与直线平行的直线方程； （2）若过点且斜率为的直线与双曲线交于不同两点，求实数的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，，，底面，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 18. 已知点，点在圆上运动，点为线段的中点 （1）求点的轨迹方程； （2）若曲线与直线和分别交于四点，且该四点恰好将曲线四等分，求的值． 19. 已知椭圆的右焦点为，且． （1）求的标准方程； （2）过点的直线与交于两点． （i）若直线不与轴重合，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）若直线与直线相交于点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月质量监测试题 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上． 2．答题时，第I卷必须用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，字体工整、笔迹清楚．在试题卷上作答无效． 3．本试题卷共4页，满分150分．考试时间120分钟． 4．考试结束后，试题卷和答题卡一并交回． 第I卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系即可得解. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为, 则， 又，所以， 即直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 已知，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量共线定理，代入公式，即可求解. 【详解】由，可知，即， 得，解得：，. 故选：D 3. 若成等比数列，且公比为，则的公比为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的定义求解即可. 【详解】因为成等比数列，且公比为，所以， 所以，所以的公比为， 故选：A 4. 已知，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算进行求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：B 5. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线焦点坐标公式，结合双曲线的渐近线方程、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 双曲线的渐近线方程为， 所以焦点到直线的距离为. 故选：A 6. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线方程垂直的条件求出目标直线斜率，进而得到直线方程即可. 【详解】对于直线方程，其斜率为， 而目标直线与垂直，则目标直线斜率为， 则目标直线方程为，化简得，故C正确. 故选：C 7. 如图，将椭圆的长轴分成5等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于四点，是椭圆的一个焦点．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及图形的对称性可得. 【详解】如图，取椭圆的另一个焦点为.由椭圆的对称性可知，与关于轴对称， 所以，则； 同理可得. 则，即，. 所以椭圆的离心率为. 故选：C. 8. 已知是递增的等比数列，其前项和为．若，则（ ） A. B. C. 数列的前项和为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据数列是递增的等比数列，且，求得其通项公式，再逐项判断. 【详解】对于A，因为数列是递增的等比数列，且， 所以，即， 联立得 ，解得或（舍去）， 则，，故A错误； 对于B，则，故错误； 对于C，易知，则， ， 两式相减得， ，则，故正确； 对于D，易知，则， 所以是以1为首项，以为公比的等比数列， 所以， 易知是单调递增，且当时，，故错误； 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和为．若，则（ ） A. B. C. 的最大值为5 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由求得，判断A；根据，求得，判断B；根据二次函数的最值求法，求得的最大值，判断C；代入检验法判断D. 【详解】由题可知，，所以A正确. 由，得. 所以. 不满足，所以，所以B错误. ，所以当时，取得最大值，最大值为5，所以C正确. 当时，，所以D错误. 故选：AC. 10. 在正方体中，是棱上的动点，则（ ） A. B. 的面积为定值 C. 向量在平面上的投影向量为 D. 若为的中点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由平面即可判断；对于B，作，，证明是的高，由判断；对于C，由点A，P在平面上的投影分别为点，判断；对于D，由空间向量的线性运算判断. 【详解】 如图所示，在正方体中，平面，平面，则， 又，，平面，则平面， 又平面，所以，故A正确； 作于点，则平面，又平面，则， 作于点，又平面，则平面， 又平面，则，所以是的高，因 ， 因为点是棱上的动点，则垂足也在动，则点到的距离也在变，即长度变， 虽然的长不变，但在变，而，则的面积不是定值，故B错误； 因为点A，P在平面上的投影分别为点，，所以向量在平面上的投影向量为，故C正确； 因为为的中点，且，所以，故D正确. 故选：ACD 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线与和圆交于四个点，且自上而下分别是为坐标原点，直线与的准线交于点，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得，化简后进行判断，对于B，根据抛物线的定义分析判断，对于C，设直线为，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系计算判断，对于D，根据抛物线的定义结合基本不等式分析判断. 【详解】由题意得抛物线C：的焦点为，，准线方程为， 圆圆心坐标为，半径为. 对于A：所以本选项说法错误； 对于B：因为， 所以，所以本选项说法正确； 对于C：设直线为，， 由，得， 因为，所以， 直线的方程为， 所以点的坐标为，因为， 所以点的坐标为，而点的坐标为， 所以点的纵坐标和点的纵坐标相同， 所以，因此本选项说法正确； 对于D：设， 由选项C可知，且， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是，所以D正确， 故选：BCD 第II卷三、填空题：本大题共3小题，每小题6分．共15分． 12. 已知，，，则与所成角的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量夹角的公式即可得解. 【详解】由题意知，，， 设与所成角为， 则， 因为，所以， 所以与所成角的大小为. 故答案为：. 13. 圆与圆的公切线的条数是______条． 【答案】3 【解析】 【分析】确定两圆的位置关系，进而求出公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以两圆的公切线条数是3. 故答案为：3 14. 已知圆柱的底面半径为，高为，现有一个小球与圆柱的内切球外切，与圆柱的底面和侧面都相切，则： （1）小球的半径______（用表示）： （2）在圆柱内部和其内切球外部所围成的封闭空间中，最多可同时容纳这样的小球______个． （，） 【答案】 ①. ②. 30 【解析】 【分析】分别对垂直底面截面和平行底面截面进行分析，结合内切球的性质得出，再求出每个小球占整个空间的圆心角，进而得解． 【详解】垂直于底面的轴截面如图1所示， 设小球的半径为，，，． 在中，，． 因为，所以，解得． 过小球的球心且平行于底面的截面如图2所示，记为截面上圆与圆的切点， 由题可知，， 设，所以， 即，所以下方空余位置可以放（个）． 因为为整数，所以．所以整个空余空间最多可以放（个）， 故答案为：；． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列，公差，． （1）求的值； （2）记的前项和为，求． 【答案】（1） （2）100 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质，即可求解； （2）首先求首项，再代入等差数列的前项和公式，即可求解. 【小问1详解】 由等差数列的性质可知； 【小问2详解】 设等差数列的首项为，所以， 得， 所以. 16. 已知直线与的交点为． （1）求过点且与直线平行的直线方程； （2）若过点且斜率为的直线与双曲线交于不同两点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立两直线方程求出点M，将所求方程设为，代入点M的坐标求出c，即可得解； （2）联立直线方程与双曲线方程可得关于x的一元二次方程，由题意知此方程有两个解，即可列不等式求解k的取值范围. 【小问1详解】 联立，即可得， 设与直线平行的直线方程为直线， 因为该直线过点，所以，解得， 所以过点且与直线平行的直线方程为. 【小问2详解】 过点且斜率为的直线方程为， 与双曲线联立可得，， 化简得， 因为直线与双曲线交于不同两点， 所以， 解得且. 17. 如图，在四棱锥中，，，底面，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接，. 为的中点，且， 又，，，，且， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点通过题中条件证得四边形为平行四边形，从而得到，利用线面平行判定定理得到平面. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设与平面所成的角为，利用向量的数量积求出， 利用公式求出，即为直线与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，， ，，，，，， ，， ，， 设平面的法向量为， 则有，取，则，， 则平面的法向量为， 则，. 设与平面所成的角为， 则有， ， ， 直线与平面所成角的余弦值为. 18. 已知点，点在圆上运动，点为线段的中点 （1）求点的轨迹方程； （2）若曲线与直线和分别交于四点，且该四点恰好将曲线四等分，求的值． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先通过设点的坐标，根据中点坐标公式得到点的坐标，再将点的坐标代入已知圆的方程，从而得到点的轨迹方程； （2）先根据曲线与直线和的交点情况，分析出直线与圆的位置关系，再利用圆的性质和点到直线的距离公式求解的值. 【小问1详解】 设点，点， 因为点为线段的中点，点，所以 解方程组得 因为点 在圆 上，所以将 代入圆的方程可得 ， 化简得 ，所以， 故点的轨迹方程为 . 【小问2详解】 因为曲线是圆心为，半径的圆， 且曲线 与直线 和 的交点 ，，， 四点恰好将曲线 四等分， 所以四个点是圆内接正方形的四个顶点，则直线和互相平行，斜率均为， 所以圆心到两弦的距离相等，且满足， 圆心到直线（即）的距离为： 同理，到直线的距离为： 由，代入： 整理得，即， 同理可得， 则若，则， 若，则， ， 故的值. 19. 已知椭圆的右焦点为，且． （1）求的标准方程； （2）过点的直线与交于两点． （i）若直线不与轴重合，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）若直线与直线相交于点，求的值． 【答案】（1）. （2）（i）证明见解析，；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由右焦点为，得到的值，由及通过解方程组得到的值，从而得到椭圆的标准方程. （2）（i）设直线的方程，将其与椭圆方程联立写出韦达定理，求出直线的方程，令，通过化简计算推得，即得结论；（ii）设，计算出，求出，将上述结论代入 即可求解. 【小问1详解】 由题意，， ，联立解得， 椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 （i）由（1），过点的直线与交于两点， 则此直线一定存在斜率，设其方程为， 直线不与轴重合，， 将代入，整理得， 由解得， 设， 则， 点关于轴的对称点为，，则 直线的方程为 令，则得，化简得， 将代入上式， 可得 ， 故直线过定点. （ii） ， （*）， 依题意，可设，，， 四点均在一条直线上，则， ，， ， ， . 则， 将（*）代入可得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $