精品解析：河南郑州市第一中学2025-2026学年上学期期末考试高一数学试题

2025～2026学年上学期期末考试 28届高一（数学）试题 说明：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分. 2.考试时间：120分钟. 3.将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. ：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 是最小正周期为的奇函数 B. 是最小正周期为的偶函数 C. 是最小正周期为的奇函数 D. 是最小正周期为的偶函数 6. 已知函数，若，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 7. （ ） A. B. C. D. 1 8. 已知函数若函数恰有5个零点，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数图象向右平行移动个单位长度得到的图象，则下列结论正确的是（ ） A B. 是偶函数 C 图像关于点对称 D. 当时，取得最小值 10. 已知，，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 函数满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的周期为6 C. D. 的图象关于直线对称 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的半径是1，圆心角为2，则该扇形的面积是________. 13. 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是________. 14. 已知，，且，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. （1）计算：. （2）已知.求的值. 16. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在的单调性，并证明你的结论； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 17. 某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽为米，，地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区.经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为元；方案二：整体报价为，元. （1）求函数的解析式，并求的最小值； （2）若对任意的时，方案二都比方案一的费用低，求的取值范围. 18. 若的最小值为. （1）求实数的值； （2）若，求的值； （3）若关于的方程在区间上有且仅有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 19. 定义：若函数的图象在区间上是连续不断的曲线，对任意，，都有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的凸函数.性质：若是区间上的凸函数，则对任意和任意满足的正实数，都有（当且仅当时等号成立）请利用上述定义和性质完成下列问题： （1）证明：函数在区间上是凸函数； （2）若，，为的三个内角，试求的最大值； （3）已知函数在区间上是凸函数，试结合凸函数性质证明：，都有成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年上学期期末考试 28届高一（数学）试题 说明：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分. 2.考试时间：120分钟. 3.将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】解不等式，得，则，而， 所以. 故选：C 2. 已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合幂函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以当时，成立，反之当时，成立， 所以p是q的充要条件. 故选：C 3. ：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】应用全称命题的否定判断求解. 【详解】：“，”的否定是，. 故选：D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数性质，借助中间值进行大小比较. 【详解】由对数函数性质可知，； 由指数函数性质可知，，因为且，所以； 又，因为且，所以. 综上所述，. 故选：A. 5. 已知函数，则（ ） A. 是最小正周期为的奇函数 B. 是最小正周期为的偶函数 C. 是最小正周期为的奇函数 D. 是最小正周期为的偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式进行化简，再利用函数解析式求解相应的性质. 【详解】由诱导公式得， 因为， 所以是奇函数，其最小正周期为. 故为最小正周期为奇函数. 故选：C. 6. 已知函数，若，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性及单调性，进而可得，再由基本不等式可得最小值. 【详解】由函数，因为， 所以函数定义域为， ， ， 即，所以，所以函数为奇函数. 时，显然单调递增，根据奇函数性质，所以在上单调递增， 由，得，所以. 又因为，，， 当且仅当时等号成立，即，再代入，得. 所以当时，的最小值为9. 故选：D. 7. （ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由正余弦二倍角公式及两角差的正弦公式转化为特殊角进行化简，进而求解. 【详解】 . 故选：B. 8. 已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数解析式可作其函数图象，根据零点概念以及一元二次方程的根，可建立不等式组，可得答案. 【详解】由函数，可作图如下： 令，由函数恰有个零点， 可得方程，存在两个不相等的实数，且，， 令，可得， 即，解得. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数的图象向右平行移动个单位长度得到的图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C 图像关于点对称 D. 当时，取得最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】由函数的图象向右平行移动个单位长度来求出，A选项，利用的表达式求出；B选项，利用偶函数的定义得到是偶函数；CD选项，求出，的值，从而得到结论. 【详解】函数的图象向右平行移动个单位长度得到的图象， ， ，故选项A正确； ，是偶函数，故选项B正确； 当时，，图像关于点对称，故选项C正确； 当时，为最大值，故选项D错误. 故选：ABC. 10. 已知，，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式建立一元二次不等式，可得其正误；对于B，由A的结论，根据对数的运算法则，可得其正误；对于C，由A的结论，根据基本不等式以及指数式的运算，可得其正误了对于D，利用换元以及基本不等式，可得其正误. 【详解】对于A，由，则，当且仅当时，等号成立， 即，整理可得， 分解因式可得，解得，故A错误； 对于B，由A可知，当且仅当时，等号成立， 可得，故B正确； 对于C，由，则，当且仅当时，等号成立， 由A可知，当且仅当时，等号成立，则，即，故C正确； 对于D，令，即， 由，即，则， 由，则，由，则， ，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BCD. 11. 函数满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的周期为6 C. D. 的图象关于直线对称 【答案】BC 【解析】 【分析】赋值可判断A；赋值，利用递推公式可推出周期，可判断B；令，可得的范围，可判断C；举反例可判断D. 【详解】由 得，代入得，A 错误； 令 得， 用换 得， 两式相加得，即， 用换得，即， 用换得，所以  周期为 6，B 正确； 令  得 ，即 ， 由于，所以，因此，故 C 正确； 已知，，对赋值得： 令得， 令得， 令 ，若关于  对称，则 ， 但 ，，不相等，故 D 错误. 故选：BC 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的半径是1，圆心角为2，则该扇形的面积是________. 【答案】1 【解析】 分析】根据扇形面积公式求解. 【详解】由题，圆心角，半径，所以扇形的面积. 故答案为：. 13. 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性判别，由对数函数以及一次函数的单调性，结合对数函数的定义域，建立不等式，可得答案. 【详解】当时，由函数与函数都是减函数，则函数为增函数，故不符合题意； 当时，由函数为增函数且为减函数，则函数为减函数，符合题意. 由题意可得，解得， 综上可得：. 故答案为：. 14. 已知，，且，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用和差公式、二倍角公式和同角三角函数的基本关系化简得到，然后利用基本不等式和三角函数的性质求最值即可. 【详解】由，得， 则， 则. 因为，所以，则， 当且仅当时，等号成立， 从而， 此时， 又因为， 所以当取得最大值时，也取得最大值， 此时，平方得：， 解得：，又因为，所以. 故最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. （1）计算：. （2）已知.求的值. 【答案】（1）；（2）4 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质求解； （2）先用诱导公式化简式子，然后分子、分母同除以代入求值. 【详解】解：（1） . （2）由， 原式 16. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在的单调性，并证明你的结论； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）时单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义建立方程，化简分析即得； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）依题意将问题转化成，分别求对应函数的最值，代入求解即得. 【小问1详解】 是奇函数，函数的定义域为， 则， 化简得， 因，故可得. 【小问2详解】 由（1）得，在上为减函数，证明如下： ，且， 由， ，，，且， ，则， 故在上为减函数. 【小问3详解】 因为对任意的，总存在，使得成立，即， 因为在上单调递增，所以对于，， 由（2）可知在区间上单调递减，所以对于，， 所以，解得. 17. 某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽为米，，地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区.经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为元；方案二：整体报价为，元. （1）求函数的解析式，并求的最小值； （2）若对任意的时，方案二都比方案一的费用低，求的取值范围. 【答案】（1），最小值为28800. （2） 【解析】 【分析】（1）应用已知列解析式，再应用基本不等式计算求解最小值； （2）应用已知列式，再应用参数分离，最后结合函数单调性计算求解参数范围. 【小问1详解】 设地面长为， 所以墙面面积为， 所以， ，当且仅当，时等号成立， 所以，，最小值为28800. 【小问2详解】 对任意的时，方案二都比方案一费用低， 即时，恒成立， 得，， 因， 设，则，在上单调递增， 当，即时，. 又，所以， 即的取值范围为 18. 若的最小值为. （1）求实数的值； （2）若，求的值； （3）若关于的方程在区间上有且仅有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） （3）或 【解析】 分析】（1）先利用辅助角公式化简函数，再根据最小值求出参数； （2）先由已知函数值求出，再通过三角恒等变换和诱导公式计算目标值； （3）通过换元将三角方程转化为二次方程，再根据二次方程根的分布和三角函数的值域，分类讨论的取值范围. 【小问1详解】 ， ， 【小问2详解】 因为，. ， 【小问3详解】 令，则， ，，，， 则原方程可化为，整理得 即，或，因关于的方程有且仅有两根，且， ①当时，， 此时有两个根，无解，满足题意； ②当时，有1个根，则有1个根， 则需，解得， 综上：的取值范围为或 . 19. 定义：若函数的图象在区间上是连续不断的曲线，对任意，，都有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的凸函数.性质：若是区间上的凸函数，则对任意和任意满足的正实数，都有（当且仅当时等号成立）请利用上述定义和性质完成下列问题： （1）证明：函数在区间上是凸函数； （2）若，，为的三个内角，试求的最大值； （3）已知函数在区间上是凸函数，试结合凸函数性质证明：，都有成立. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】第一问根据凸函数定义和差化积公式进行求解； 第二问利用凸函数性质得，即可得到其最大值； 第三问由凸函数性质及对数运算法则得证. 【小问1详解】 对任意，，， 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 函数在区间上是凸函数. 【小问2详解】 由（1）可知，函数在区间上是凸函数， 令，则由凸函数的性质有， 即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值. 【小问3详解】 因为函数在区间上是凸函数，令， 则由凸函数的性质有， ， 即， 所以成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $