精品解析：浙江宁波市惠贞书院贯通班2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

2025学年第一学期1月贯通班期末考试数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用交集运算求解即可. 【详解】集合，， 所以. 故选：B. 2. 设命题：，，则的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】解：命题：，的否定是，. 故选：C 3. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性可得答案. 【详解】因为是 开口向下、对称轴为的抛物线，且是增函数， 由复合函数的单调性判断可知，，解得， 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同时除以可得. 【详解】. 故选：A. 5. 命题“，恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为，恒成立， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得， 所以， 所以“，恒成立”的一个充分不必要条件应为集合的真子集， 而是的真子集， 所以命题“，恒成立”的一个充分不必要条件是. 故选：D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】，，， 所以. 故选：C 7. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的代换求解的最小值，然后利用恒成立法则转化为，解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为，，，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以由恒成立，得，所以. 故选：D. 8. 若对任意的，恒成立，则的最大值为（ ） A. 32 B. 8 C. 35 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式化为，得到函数与，若对任意的，恒成立，则直线夹在函数与之间，可在平面直角坐标系中作出两函数图象，由图象可知若最大，则恒过点且与曲线相切；联立与，利用求出切线斜率，即为的值，从而求出的最大值. 【详解】∵，恒成立， ∴，直线夹在函数与之间， 直线刚好过点，即， 且直线与曲线相切， 有，. 由此得，，， 故选：A. 【点睛】本题考查恒成立问题的求解，关键是能够将不等式转化为三个函数之间的位置关系，通过数形结合的方式找到最大值取得的情况，利用切线的求解方法求得切线斜率，从而得到所求最值. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 图象关于点中心对称 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合正弦函数的周期、对称轴、对称中心、单调区间依次分析选项即可. 【详解】对于的最小正周期，故A正确； 对于B，当时，，所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，当时，，所以的图象不关于点中心对称，故C错误； 对于D，当时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. 的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据的解集为或，得到然后逐项判断. 【详解】对A，∵的解集为或， ∴解得故选项A成立； 对B，可化为，即， 故的解集为，故选项B不成立； 对C，，故选项C不成立； 对D，可化为，即， 其解集为，故选项D成立. 故选：AD. 11. 已知函数，且正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为3 C. 的最小值为6 D. 的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】由对数的运算性质可得A；结合基本不等式可得BCD. 【详解】由可知，所以，故A正确； 由A可知，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立，故B正确； ， 当且仅当时，等号成立，故C错误； 由，可知， 当且仅当即时，等号成立， 因为，所以，故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________ 【答案】## 【解析】 【分析】由诱导公式化简即可求解. 【详解】， 故答案为：. 13. 幂函数，若在单调递增，则______. 【答案】2 【解析】 分析】利用幂函数定义求出，进而利用单调性求解即可. 【详解】∵为幂函数，∴，因此， 又因在单调递增，所以. 故答案为：2 14. 函数，若，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 分析】依题意可得，即可得到，再由基本不等式计算可得. 【详解】函数的定义域为， 又， 则，因为， 所以， 所以，当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知命题：关于的方程有实数根，命题：. （1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据命题为真即方程有解，利用判别式法列不等式求解即可. （2）根据必要不充分条件的定义列不等式求解即可. 【小问1详解】 命题为真命题，：关于的方程有实数根， 则，解得， 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 ：，：. 是的必要不充分条件，则，解得. 故的取值范围为. 16. 已知函数的最小正周期为，且当时，取得最小值-1. （1）求函数的解析式和单调递增区间； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦函数的周期公式，最小值和单调递增区间可得； （2）整体代入利用正弦函数的单调性可得. 【小问1详解】 由得， 由，解得， 因为，所以， 所以， 由， 解得， 所以单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，， ， 所以的值域为. 17. 临近新年，车厘子、榴梿等高档水果受到人们青睐.老张水果店瞄准商机，准备新进一大批车厘子来满足市场需求，同时为提高销售量，老张水果店特准备举办一场车厘子促销活动.据市场调查发现，当每斤车厘子的售价定为元时，销售量为斤.现批发商为配合老张水果店的活动，将供货价格分为固定价格与浮动价格两部分，即：供货价格＝固定价格＋浮动价格，其中固定价格为50元/斤，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：斤）成反比，比例系数为20. （1）试将总利润表示成关于的函数； （2）当每斤车厘子售价定为多少时，总利润最大，为多少？ 【答案】（1）（）. （2）100元，1980元. 【解析】 【分析】（1）由每斤车厘子的售价定为元时，销售量为斤和供货价格＝固定价格＋浮动价格求解； （2）由（1）的结论，利用二次函数的性质求解. 【小问1详解】 解：设每斤车厘子的售价定为元时，总利润为， 由得， （）. 【小问2详解】 总利润， ， 所以当售价元时，总利润达到最大； 总利润元， 即每斤车厘子售价定为100元时，车厘子总利润最大，为1980元. 18. 已知对任意实数，，函数恒有，且当时，，. （1）求的值，判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数在上的单调性，同时求出在区间上的最大值； （3）若对所有的及，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），奇函数，证明见解析 （2）在上是减函数，证明见解析，最大值为2 （3） 【解析】 【分析】（1）令，得到，再令，利用奇偶性的定义求解； （2）利用函数单调性的定义证明单调性，再求最值； （3）将问题转化为对所有的恒成立，由求解. 【小问1详解】 解：令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴，∴是奇函数. 【小问2详解】 在上是减函数，证明如下： ，，，则， ∴， 即， ∴在上是减函数. ∴在上的最大值为， ∴在上的最大值为2. 【小问3详解】 在上的最大值为2， ∴对所有的恒成立， ∴，∴或， ∴实数的取值范围是. 19. 已知函数（）是定义在上的奇函数. （1）求的值，并判断函数的单调性（不证明）； （2）若，且在上有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】（1），在上为增函数. （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据函数是上的奇函数得出即可求参，再代入检验符合题意，再根据指数函数的单调性判断单调性； （2）先计算求值得出，再换元令得出再把两个不同的零点转化为不等关系计算求解. 【小问1详解】 ∵是定义在上的奇函数， ∴，得， 经检验是定义在上的奇函数符合题意. 因为，且，所以在上为增函数. 【小问2详解】 ∵，∴，解得 . 令，为增函数， ∵，∴， 令，因为函数要在上有两个不同的零点， 即函数要在上有两个不同的零点. ∴，. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解题第二问的关键是换元令把要在上有两个不同的零点转化为函数要在上有两个不同的零点列式求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期1月贯通班期末考试数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题：，，则的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4 已知，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5. 命题“，恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若对任意的，恒成立，则的最大值为（ ） A. 32 B. 8 C. 35 D. 7 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上单调递增 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 解集为 C. D. 的解集为 11. 已知函数，且正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为3 C. 的最小值为6 D. 的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________ 13. 幂函数，若在单调递增，则______. 14. 函数，若，则的最小值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知命题：关于的方程有实数根，命题：. （1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数的最小正周期为，且当时，取得最小值-1. （1）求函数的解析式和单调递增区间； （2）当时，求函数的值域. 17. 临近新年，车厘子、榴梿等高档水果受到人们青睐.老张水果店瞄准商机，准备新进一大批车厘子来满足市场需求，同时为提高销售量，老张水果店特准备举办一场车厘子促销活动.据市场调查发现，当每斤车厘子的售价定为元时，销售量为斤.现批发商为配合老张水果店的活动，将供货价格分为固定价格与浮动价格两部分，即：供货价格＝固定价格＋浮动价格，其中固定价格为50元/斤，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：斤）成反比，比例系数为20. （1）试将总利润表示成关于的函数； （2）当每斤车厘子售价定多少时，总利润最大，为多少？ 18. 已知对任意实数，，函数恒有，且当时，，. （1）求的值，判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数在上的单调性，同时求出在区间上的最大值； （3）若对所有的及，恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数（）是定义在上的奇函数. （1）求的值，并判断函数的单调性（不证明）； （2）若，且在上有两个不同的零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $