精品解析：江苏省无锡市宜兴市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

高二年级试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为，故选C. 【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 2. 一质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数进行求导，将代入导函数中即可求出答案. 【详解】因为，所以， 当时，， 则质点在时的瞬时速度为. 故选：B. 3. “”是“直线与平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用定义法，分充分性和必要性分别判断. 【详解】充分性：当时，直线与即为：与，所以两直线平行.故充分性满足； 必要性：直线与平行，则有：，解得：或. 当时，直线与即为：与，所以两直线平行，不重合； 当时，直线与即为：与，所以两直线平行，不重合； 所以或. 故必要性不满足. 故“”是“直线与平行”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知数列满足：，，若，则n为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件判断数列的类型，再代入求的值. 【详解】因为，，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 由，得，解得. 故选：C 5. 双曲线的焦距长为8，且渐近线方程为，则双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由焦距长和渐近线方程列方程组求解得到的值，即可得到双曲线方程. 【详解】因为焦距长为8，所以，即. 而渐近线方程为，所以， 又因为，即， 所以， 所以双曲线方程为. 故选：A. 6. 正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积运算和夹角余弦公式计算即可. 【详解】由图可得，， 设正四面体的棱长为，则 , 结合题意可得. 因为两条异面直线的夹角的范围是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：D. 7. 在等差数列中，，.记，则数列（） A. 有最大项，无最小项 B. 无最大项，有最小项 C. 有最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出等差数列通项公式，将数列前几项写出来，通过分析判定即可. 【详解】由得公差: 首项，故。 由得， 因此：当时，；当时，， ,，， ，，， 可见在时取到最大正值， 当时，，随着增大单调递增，无最小项. 故选：A 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作与x轴不垂直的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，若是周长为的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理列式得到，再根据离心率公式即可求出. 【详解】 设， 两点位于双曲线C的右支上，根据双曲线的定义得，即， ，即， 又是等腰三角形，，即，， 又的周长为，，，即， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 又和互补，， 即，化简得， ，又，. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 当时，方程表示的曲线形状可能是（ ） A. 两条平行直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆、双曲线的标准方程进行判断即可. 【详解】因为，所以. 当时，方程变为，即和. 和为两条平行的直线，A正确； 当时，方程变为. 因为，所以此方程表示为焦点在轴上的椭圆，C正确； 当时，方程变为. 所以此方程表示为焦点在轴上的双曲线，D正确； 故选：ACD. 10. 已知等比数列的公比，且，前n项和为，前n项积为，那么下列结论正确的有（ ） A. B. 存在，使得 C. 若是递增数列，则是递增数列 D. 若是递增数列，则是递增数列 【答案】AD 【解析】 【分析】分类讨论、可判断A的正误，根据A的判断可得数列的单调性，故可判断B的正误，根据反例可判断C的正误，根据特例可得或，分类讨论后可判断D的正误. 【详解】选项A：已知，，则有两种情况： 当时，，那么， 当时，，那么， 等比数列的通项公式为，则， 当，时，，所以， 当，时，，所以.故A正确. 选项B：由选项A的分析可知，当时，，此时数列是递增数列， 即，所以， 当时，，此时数列也是递增数列， 即，所以， 因此，不存在，使得，故B错误. 选项C：若是递增数列，则，所以，则，， 但不一定是递增数列，例如，当，时，则， 所以不满足，故不满足递增.故C错误. 选项D：若是递增数列，则，即，化为， 故或， 若，则，则，故是递增数列； 若，则，此时，则， 这与是递增数列矛盾，此类情形不存在； 综上，是递增数列.故D正确. 故选：AD. 11. 在棱长为2的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，，则平面 C. 若，则点P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】以为原点建系，根据判断A；求平面的一个法向量，判断即可判断B选项；根据公式计算判断C；应用线面角公式计算判断D. 【详解】如图，以点D为坐标原点，以、、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则有，，，，，，，，， 则，，，， 则，则， A选项，若，则，则， 则，则与不垂直，故A错误； B选项，若，，则，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，则，故． 则，即， 又平面，所以平面，故B正确； C选项，若，则， 则到平面的距离为，故C正确； D选项，，当，时，， 则 ， 当时，， 当时，， 当且仅当时，等号成立， 故，即，故D错误． 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，，则____. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推公式，代入即可求出答案. 【详解】因为，， 所以， ， ， . 故答案为：. 13. 已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理，结合空间向量坐标的运算即可求解. 【详解】显然不共线， 因为向量，，共面， 所以，使得， 因为，，， 所以， 则，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为F，过点的直线与该抛物线交于A，B两点，若，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设直线，，与抛物线联立可得，根据题意结合抛物线的定义运算求解即可. 【详解】由题意可知：，直线的斜率存在且不为0，直线与抛物线必相交， 设直线，， 联立方程，消去可得，则， 因为，，即，， 则，整理可得，解得， 且，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式结合等比中项可得，即可得的通项公式； （2）由（1）可得：，结合裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 因为等差数列的公差为2， 则，， 又因为，，成等比数列， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得：， 所以. 16. 已知圆C与直线相切于点，且圆心C在直线上. （1）求圆C的方程； （2）若直线过点且被圆C所截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出经过切点的圆的半径所在直线方程，再与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径即可. （2）由（1）中信息，求出圆心到直线的距离，再按斜率存在与否分类求出直线方程. 【小问1详解】 圆C与直线相切于点，则直线的斜率为， 直线的方程为，即， 解方程组，得，则圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由直线被圆C所截得的弦长为8，得圆心到直线的距离， 而圆心到直线的距离为3，则直线的方程可以为，此时直线的斜率不存在,； 当直线斜率存在时，设，由，解得， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 17. 在四棱锥中，平面，，，点M在棱PD上. （1）证明：； （2）若，，，和平面所成角的正切值是，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)利用线面垂直先证明平面，再结合即可求证； （2）利用几何知识可得，从而可建立以为原点的空间直角坐标系，再利用空间向量法即可求出面面夹角. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，平面， 所以平面. 又平面，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为平面，所以是和平面所成角， 在中，， 在中，， 于是在中，， 又因为，所以. 由平面和第（1）问，可知、、两两垂直， 故以为原点建立如下图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 于是，，，， 设平面的一个法向量为， 由，可得，取， 设平面的一个法向量为， 由，可得，取， 于是， 所以平面和平面夹角的余弦值为. 18. 已知数列的首项为1，前n项和为，且. （1）写出，的值，并证明：； （2）求数列的前n项和； （3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），，证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用数列的递推公式结合题目条件证明; （2）利用错位相减法结合等比数列的求和公式计算; （3）利用已求得的奇数项与偶数项通项及原递推关系导出，将所给不等式转化为对任意正整数恒成立。进而分析数列的单调性，通过比较相邻项的差值符号确定其最大项，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 由可得，，① 所以，② 两式相减得，， 因为数列的各项均不为， 所以. 【小问2详解】 由可知，是首项为，公差为的等差数列， 所以， 于是， ， ， 所以 ， 因此，. 【小问3详解】 由（1）（2）可知，，， 因为，所以， 由，可得，， 令，则， 当时，，即， 当时，，即， 所以数列的最大项为， 因此，的取值范围是. 19. 已知椭圆过点，离心率为，是坐标原点，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）若点是的重心，求直线的方程； （3）设线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点使为定值?若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，4 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过的点，离心率及列方程组，解出即可求出答案； （2）设直线，，，联立椭圆方程与直线方程，利用韦达定理得到，进而求得，根据重心的性质列方程组，求解即可求出答案. （3）利用三角形面积公式求得，利用基本不等式求出三角形面积的最大值，及满足的条件，求出点，可得点在椭圆上，根据椭圆的定义即可求出两定点及定值. 【小问1详解】 因为椭圆过点，且离心率为， 则，解得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 由题意可知直线斜率存在，设直线，，， 联立直线与椭圆的方程：， 消去，得， ，即， 则，， 则， 因为点是的重心， 所以，解得， 因此，直线的方程为. 【小问3详解】 由（2），，， 点到直线的距离， 所以 ， 其中， 因为， 当且仅当即时等号成立， 因此，面积的最大值为2，且. 由（2）可知，线段的中点， 所以， 于是， 即， 所以点在椭圆上， 由椭圆定义可知，存在两定点为， 使为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是 A. B. C. D. 2. 一质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线与平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知数列满足：，，若，则n为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 双曲线的焦距长为8，且渐近线方程为，则双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在等差数列中，，.记，则数列（） A. 有最大项，无最小项 B. 无最大项，有最小项 C. 有最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作与x轴不垂直的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，若是周长为的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 当时，方程表示的曲线形状可能是（ ） A. 两条平行直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 10. 已知等比数列的公比，且，前n项和为，前n项积为，那么下列结论正确的有（ ） A. B. 存在，使得 C. 若是递增数列，则是递增数列 D. 若是递增数列，则是递增数列 11. 在棱长为2的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，，则平面 C. 若，则点P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，，则____. 13. 已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数的值为_____. 14. 已知抛物线的焦点为F，过点的直线与该抛物线交于A，B两点，若，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知圆C与直线相切于点，且圆心C在直线上. （1）求圆C的方程； （2）若直线过点且被圆C所截得的弦长为8，求直线的方程. 17. 在四棱锥中，平面，，，点M在棱PD上. （1）证明：； （2）若，，，和平面所成角的正切值是，求平面和平面夹角的余弦值. 18. 已知数列的首项为1，前n项和为，且. （1）写出，的值，并证明：； （2）求数列的前n项和； （3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆过点，离心率为，是坐标原点，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）若点是的重心，求直线的方程； （3）设线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点使为定值?若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $