空间距离的向量求法、动点存在性问题专项训练-2025-2026学年高二数学苏教版选择性必修第二册

空间距离的向量求法、动点存在性问题专项训练 空间距离的向量求法、动点存在性问题专项训练 考点目录 空间距离的向量求法 动点存在性问题 考点一 空间距离的向量求法 例1．（25-26高二上·广东湛江·期末）如图，在正三棱柱中，为的中点，为的中点.    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为且所以平面 因为平面所以 因为为中点 所以，且 所以平面. （2）如图，以为轴建立 因为 因为 设平面的法向量为 因为 所以 令，则，即 设点到平面的距离为 即 所以点到平面的距离为    例2．（2026·湖北宜昌·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．    (1)求证：平面； (2)若，，四棱锥的体积为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为底面为正方形，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 连接，易知， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，又平面，则， 又因为，平面，所以平面． （2）由题意，则正方形的面积为， 又，得到， 由（1）知平面，又平面，则， 以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，由，所以， 则， 所以，，． 设平面的法向量为，则，即， 令，得，所以， 则点到平面的距离为．    例3．（25-26高二上·安徽六安·期末）如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，，且平面平面，，，为的中点. (1)求证：平面. (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接，. 因为是的中点，所以，， 又因为，，所以，， 可知四边形是平行四边形，则， 又平面，平面，故平面 （2）在平面内过点作垂直于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以，， 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为， 则，取，则. 又平面的一个法向量为， 所以平面与平面所成角的余弦值为， 解得，则平面的法向量为， 所以点到平面的距离为. 例4．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面是边长为2的等边三角形，． (1)证明：； (2)若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在中，， 由余弦定理可得：， 则，所以有，则 由平面平面，平面平面， 且，平面，则平面， 又平面，则. （2）取中点分别为，连接 由为正三角形知，， 结合（1）中平面，由，可知平面，则两两垂直， 如图所示，以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 可得 设，则，且， 可得 由，解得或（舍去）， 则，且 故点到直线的距离 变式1．（25-26高三上·天津·期末）如图，空间几何体中，平面平面，四边形为矩形，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， 又平面平面，平面平面， 平面平面. 以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 则， 法一：， ， ， 又平面平面， 平面. 法二：设是平面的一个法向量， 令则， 是平面的一个法向量． ，平面. （2）设是平面的一个法向量， 令，则 是平面的一个法向量. 设平面与平面夹角为， ， ， 平面与平面夹角的正弦值为. （3）法一：， ，，， ， 点到直线的距离. 法二：， ，，， 点到直线的距离. 法三：过点作直线的垂线，交的延长线于点， 平面平面 平面． 四边形为矩形， 平面， 平面， ， ， 为的中点， ， 点到直线的距离. 变式2．（25-26高三上·天津·期末）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）取的中点为，连接，，因为，分别为，中点，    所以且， 因为，，所以且， 即四边形是平行四边形．所以， 又平面，平面，所以平面． （2）取的中点为，连接．因为，， 所以四边形是平行四边形．则， 因为，所以平行四边形是正方形． 则．因为平面，，平面， 所以，．则，，两两垂直． 如图建立空间直角坐标系，    则，，，， 因此，，，． 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，得，令，则，所以， 设二面角的平面角为，依题意，， 所以， 所以二面角的余弦值为． （3）依题意，不妨设（），则，． 又由（2）得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 解得（负值舍去）， 所以点到平面的距离为． 变式3．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段PB、的中点． (1)求直线EF与平面夹角的正弦值； (2)求点F到面PAC的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又底面是正方形，则， 可以建立如图所示以A为原点，所在直线对应轴的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的一个法向量为，则有， 令，即，设直线EF与平面夹角为， 所以； （2），， 因为，， 所以是平面的一个法向量， 则点F到面PAC的距离为． 变式4．（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，在四边形中，，，，，点在线段上，且，.将三角形沿翻折至四边形，使得平面与平面所成的二面角的大小为. (1)证明：； (2)动点在线段上运动，当到平面的距离为时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意得，， 所以是二面角的平面角，所以， 因为，，平面，所以平面， 由题意得，，由余弦定理可得， 因为，所以， 取中点，连接， 因为，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以平面， 以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 所以， 所以 （2）设， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以点到平面的距离， 解得，此时， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 考点二 动点存在性问题 例1．（25-26高三上·安徽宣城·期末）如图，在三棱锥中，平面为的中点，为上靠近点的三等分点，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，点是线段上靠近点的三等分点 【详解】（1）证明：因为平面平面，所以， 又，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为为的中点，， 所以. 又因为，平面， 所以平面. （2）由题意，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ，所以 故. 设平面的法向量为， 则， 取.设与平面 设直线与平面所成角为， 则 所以与平面所成角的正弦值为. （3）假设在线段上存在点， 使得平面.设， 则. 由（2）知，所以， 因为平面，平面的法向量为， 故，解得. 所以当点是线段上靠近点的三等分点时，平面. 例2．（25-26高二上·江西南昌·期末）某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接、就得到了一个“刍甍”（如图2）. (1)若是四边形对角线的交点，求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)不存在，理由见详解 【详解】（1）取中点，连接， 由题意可知且， 又因为是矩形对角线的交点． 所以且， 所以且， 则四边形为平行四边形， 所以且， 又因为平面平面， 所以平面； （2）因为在图1中，且，在图2中上述关系依然成立， 所以即为二面角的平面角，则， 以为坐标原点，分别为轴，轴正向，垂直平面向上方向为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 所以， 又因为平面，所以， 所以， 设平面的一个法向量， 则，则有，取 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）假设存在满足条件的点， 设，所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 所以，取, 由（2）知平面的一个法向量， 则， 要使平面与平面所成的二面角的正切值为， 则只需，即， 解得，因为，故不满足题意， 所以不存在点使得平面与平面所成的二面角的正切值为 例3．（2026·江苏南通·一模）如图，在四面体中，平面，．是的中点，是的中点，点在线段上． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面平面，所以． 因为平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）（方法一）如图，连接并延长，与的延长线交于点，连接． 因为平面平面， 平面平面，所以． 因为是的中点，所以是的中点，所以． 过点作，交于点，因为是的中点，所以， 因为是的中点，所以，所以． 因为，所以， 因为是的中点，，所以 所以， 则在直角中，可得，所以． （方法二）以为坐标原点，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． 因为， 是的中点，是的中点，所以． 设， 所以． 因为平面的法向量平面，所以， 所以，即，所以，所以． 例4．（25-26高二上·广东广州·月考）如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.平面平面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【详解】（1）由矩形，得，而平面平面， 平面平面， 平面，则平面，又平面，于是， 因为，所以，又，平面， 因此平面，又平面，所以. （2）取的中点，作，连接，由（1）知，平面， 而平面，则，又，，则，即两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 假设在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，设， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 于是， 整理得，解得或， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，此时或. 变式1．（24-25高二上·贵州遵义·期中）如图，三棱锥中，且，，为正三角形，为的中点，. (1)求证：面面 (2)求直线与面夹角的正弦值. (3)在上是否存在一点，使得与垂直，若存在，求出的长，若不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在；. 【详解】（1）取的中点，连接和， 由且，得，且，， 由为正三角形，得， 在中，，满足，得， 又面，故面， 而面，由面面垂直判定定理得面面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，各点坐标： ，为中点，故， 故，因此，， ，设面的法向量为， 则， 令，得，故， 设直线与面的夹角为， 则； （3）设在上，令（），则的坐标为，则， 由，得，即：， 化简得：，解得， 因此，的坐标为，的长度为：. 变式2．（25-26高三上·河北衡水·月考）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，．已知E，F分别为，的中点，平面与棱交于点G． (1)求证：平面； (2)求； (3)判断线段上是否存在一点H，使得点H到平面的距离为？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【详解】（1）因为平面，平面，则， 在正方形中，，因，平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 又因为，平面，故平面. （2）由（1）平面，因平面，则， 因平面，平面，则， 又，，平面，所以平面， 因平面，则， 又因为是的中点，，则， 因，平面，则平面， 因平面，则， 因，平面，则平面， 因为平面，则，即， 即由（1）平面，因平面，则，即， 又，则，则， 因为，，， 则，即，即. （3）以点为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以 ， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， ，则， 假设线段上存在一点，使得点到平面的距离为， 则，则， 所以，则，即，则， 则点H到平面的距离，解得或， 则或， 即在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为. 变式3．（25-26高二上·贵州遵义·期中）如图1，在平面四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. (1)求平面与平面所成角的余弦值； (2)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，，或. 【详解】（1）因为，，所以，所以，； 平面四边形中，因为，所以. 因为，所以. 折叠后的三棱锥中， 因为为的中点，所以，且. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 所以如图，以点为坐标原点，以所在直线为轴，以垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系. 则. 所以. 设平面的一个法向量为， 则，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 则，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 所以. 所以平面与平面所成角的余弦值为. （2）线段上存在点，使得三棱锥的体积为. 设， 因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，即. 所以三棱锥的体积， 解得. 当时，，； 当时，，. 故线段上存在点，使得三棱锥的体积为，，或. 变式4．（25-26高二上·北京通州·期中）如图，在三棱柱中，平面，，，点，分别为，的中点.    (1)求，两点间的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在上是否存在一点，使得点在平面内.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在； 【详解】（1）因为，为BC中点，所以，且， 过作平面，以为原点，分别为轴的正方向，则， ，所以两点的距离为. （2）， 显然平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，设平面与平面的夹角为， 则. （3）设，则，， 由在平面内可知，即，解得， 所以存在点，当时，点在平面内.    2 学科网（北京）股份有限公司 $空间距离的向量求法、动点存在性问题专项训练 空间距离的向量求法、动点存在性问题专项训练 考点目录 空间距离的向量求法 动点存在性问题 考点一 空间距离的向量求法 例1．（25-26高二上·广东湛江·期末）如图，在正三棱柱中，为的中点，为的中点.    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 例2．（2026·湖北宜昌·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．    (1)求证：平面； (2)若，，四棱锥的体积为，求点到平面的距离． 例3．（25-26高二上·安徽六安·期末）如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，，且平面平面，，，为的中点. (1)求证：平面. (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离. 例4．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面是边长为2的等边三角形，． (1)证明：； (2)若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离． 变式1．（25-26高三上·天津·期末）如图，空间几何体中，平面平面，四边形为矩形，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 变式2．（25-26高三上·天津·期末）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 变式3．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段PB、的中点． (1)求直线EF与平面夹角的正弦值； (2)求点F到面PAC的距离． 变式4．（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，在四边形中，，，，，点在线段上，且，.将三角形沿翻折至四边形，使得平面与平面所成的二面角的大小为. (1)证明：； (2)动点在线段上运动，当到平面的距离为时，求平面与平面的夹角的余弦值. 考点二 动点存在性问题 例1．（25-26高三上·安徽宣城·期末）如图，在三棱锥中，平面为的中点，为上靠近点的三等分点，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 例2．（25-26高二上·江西南昌·期末）某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接、就得到了一个“刍甍”（如图2）. (1)若是四边形对角线的交点，求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 例3．（2026·江苏南通·一模）如图，在四面体中，平面，．是的中点，是的中点，点在线段上． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求． 例4．（25-26高二上·广东广州·月考）如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.平面平面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 变式1．（24-25高二上·贵州遵义·期中）如图，三棱锥中，且，，为正三角形，为的中点，. (1)求证：面面 (2)求直线与面夹角的正弦值. (3)在上是否存在一点，使得与垂直，若存在，求出的长，若不存在请说明理由. 变式2．（25-26高三上·河北衡水·月考）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，．已知E，F分别为，的中点，平面与棱交于点G． (1)求证：平面； (2)求； (3)判断线段上是否存在一点H，使得点H到平面的距离为？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26高二上·贵州遵义·期中）如图1，在平面四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. (1)求平面与平面所成角的余弦值； (2)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式4．（25-26高二上·北京通州·期中）如图，在三棱柱中，平面，，，点，分别为，的中点.    (1)求，两点间的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在上是否存在一点，使得点在平面内.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $