空间向量与立体几何：空间位置关系的命题关系、空间向量法证明空间位置关系专项训练-2026届高三数学二轮复习

空间向量与立体几何：空间位置关系的命题关系、空间向量法证明空间位置关系专项训练 空间向量与立体几何：空间位置关系的命题关系、空间向量法证明空间位置关系 专项训练 考点目录 空间位置关系的命题关系 空间向量法证明空间位置关系 考点一 空间位置关系的命题关系 例1．（2026·湖南常德·一模）若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 例2．（2026·新疆·一模·多选）设为两个平面，为两条直线，且，则下列说法正确的是（   ） A．若或，则 B．若，则或 C．若或，则 D．若，则或 例3．（2026·河北·模拟预测·多选）如图，在正方体中，点 P，Q 分别为线段， 上异于端点的动点，则下列结论中，可能成立的有（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 例4．（25-26高三上·河南·月考·多选）在正方体中，P为的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 变式1．（25-26高三上·河北保定·月考）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 变式2．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中错误的为（   ） ①若，，，则    ②若，，则 ③若，，则    ④若，，，则 A．① B．② C．③ D．④ 变式3．（2026·山东威海·一模·多选）在正方体中，P，Q，R分别是的中点，则（   ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面 变式4．（25-26高三上·浙江温州·期末·多选）已知，，为三个不同的平面，，，为三条不同的直线，，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式5．（25-26高二上·河北邢台·期末·多选）如图，在三棱锥中，平面分别是的中点，则（   ）    A．平面 B．与平面可能平行 C．与可能垂直 D．与平面可能垂直 考点二 空间向量法证明空间位置关系 例1．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 例2．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-13 例3．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 ． 例4．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 ． 例5．（2026·河北邢台·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，. (1)证明：平面平面. (2)求平面与平面 所成锐二面角的余弦值. (3)在棱上(不含端点)是否存在点，使得平面?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 例6．（2026·广东茂名·一模）如图，在四棱锥中，平面分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 变式1．（25-26高二上·江西·月考）已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（   ） A． B． C． D．1 变式2．（25-26高二上·山西·月考）若平面的法向量分别为，且平面，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 变式3．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则 . 变式4．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则实数 ． 变式5．（25-26高三上·天津河北·期末）如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点. (1)求证：平面BDE； (2)求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值； (3)在棱PB上是否存在点F，使得平面DEF？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 变式6．（25-26高三上·河北邢台·月考）如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点，是的中点，，，. (1)求证：； (2)点在线段上，且平面，求平面与平面夹角的余弦值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：空间位置关系的命题关系、空间向量法证明空间位置关系专项训练 空间向量与立体几何：空间位置关系的命题关系、空间向量法证明空间位置关系 专项训练 考点目录 空间位置关系的命题关系 空间向量法证明空间位置关系 考点一 空间位置关系的命题关系 例1．（2026·湖南常德·一模）若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】A 【详解】选项A，若，，，， 根据面面垂直的性质定理可得：，故A选项正确； 选项B，若，， 则直线与直线可能平行，可能异面，故B选项不正确； 选项C，若，， 则直线与直线可能平行，可能相交，也可能异面，故C选项不正确； 选项D，若，，， 则直线与直线可能平行，可能相交（包括垂直），也可能异面，故D选项不正确； 故选：A. 例2．（2026·新疆·一模·多选）设为两个平面，为两条直线，且，则下列说法正确的是（   ） A．若或，则 B．若，则或 C．若或，则 D．若，则或 【答案】BC 【详解】选项A：设是相邻墙面，交线为墙角线，是底面上平行于的直线，此时与可以垂直，不能推出，故A错误； 选项B：， 当时，；当时，，当时，，故B正确； 选项C：若，则内所有直线，而，则； 若，则内所有直线，而，则，故C正确； 选项D：设与成锐角，且，此时不垂直于，且不垂直于，故D错误 故选：BC． 例3．（2026·河北·模拟预测·多选）如图，在正方体中，点 P，Q 分别为线段， 上异于端点的动点，则下列结论中，可能成立的有（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】ABC 【详解】选项A和C，如图所示， 令点分别为线段和中点，在中，根据中位线性质知， 因为，不在平面，所以平面，故A正确， 因为平面，，所以平面，故C正确；    选项B，如图所示， 取线段靠近点的四等分点，点为线段中点，线段交线段于， 易知,则在中由中位线性质知，且不在平面， 所以平面，故正确；    选项D，如图所示，平面平面， 点在平面，所以过点且垂直平面的直线在平面， 因为点不在平面，所以不存在平面，故错误，    故选：ABC. 例4．（25-26高三上·河南·月考·多选）在正方体中，P为的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【详解】对于A：因为P为的中点，所以P是正方体体对角线的交点，故A，P，三点共线． 连接，易知，，且平面，故平面 因为平面，所以，即，故A正确； 对于B：由上可知平面即为平面，因为，平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C：易知平面即为平面， 因为P为的中点，所以P也为的中点，所以平面即为平面， 且是平面的一个法向量，是平面的一个法向量， 而不与垂直，所以平面不与平面垂直， 即平面不与平面垂直，故C错误； 对于D：易知平面即为平面，平面即为平面， 且是平面的一个法向量，是平面的一个法向量， 而，所以平面平面 ，故D正确． 故选：ABD.    变式1．（25-26高三上·河北保定·月考）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【详解】选项A，若，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故A选项不正确； 选项B，若，，， 则平面与平面可能平行，可能相交；故B选项不正确； 选项C，若，，，则，故C选项正确； 选项D，，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故D选项不正确； 故选：C. 变式2．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中错误的为（   ） ①若，，，则    ②若，，则 ③若，，则    ④若，，，则 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】对①：若，，则，因为，所以，所以①正确； 对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确； 对③：由，可得可能平行，可能异面，③错误； 对④，若，，则，又，所以，④正确． 故选：C． 变式3．（2026·山东威海·一模·多选）在正方体中，P，Q，R分别是的中点，则（   ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面 【答案】AC 【详解】对于A，因为分别是的中点，所以. 因为在正方体中，，所以. 因为，所以，A正确； 对于B，因为分别是的中点，所以. 而平面，所以与平面相交，不平行，B错误； 对于C，因为，所以. 因为平面，不在平面内，所以平面. 因为，所以， 因为平面，不在平面内，所以平面. 又平面，所以平面平面，C正确； 如果平面，而平面，所以， 则根据勾股定理有. 设正方体的棱长为1，则在直角三角形中，， 所以，而，. 很显然不成立，所以不成立，所以D错误. 故选：AC. 变式4．（25-26高三上·浙江温州·期末·多选）已知，，为三个不同的平面，，，为三条不同的直线，，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】如下图， 因为，，，所以， 又，，所以，故，故A、C正确； 如下图， 若，不一定垂直，故B错误； 若，不一定垂直，故D错误. 故选：AC. 变式5．（25-26高二上·河北邢台·期末·多选）如图，在三棱锥中，平面分别是的中点，则（   ）    A．平面 B．与平面可能平行 C．与可能垂直 D．与平面可能垂直 【答案】AC 【详解】方法一：记的中点为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设， 则． 设， 则． 对于A，因为平面平面，所以． 因为，所以平面，故A正确． 对于B，设平面的法向量为， 因为， 所以 令，得． 若与平面平行，则．因为，所以B错误． 对于，若与垂直，则． 因为可能有解，所以C正确． 对于D，平面的一个法向量为， 若与平面垂直，则． 因为，所以D错误． 故选：AC. 方法二：如图，将三棱锥放入长方体中，    由长方体的性质易知，平面，所以A正确． 取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以，所以平面. 若平面，则平面平面，但明显与不平行， 所以与平面不可能平行，故B不正确． 作，垂足为，则平面， 所以与平面不可能垂直，故不正确． 连接，若，则平面， 此时，而是有可能成立的，所以C正确． 故选：AC. 考点二 空间向量法证明空间位置关系 例1．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【详解】因为，， 所以，所以，所以， 故选：A 例2．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-13 【答案】C 【详解】已知，直线 的方向向量 ， 平面 的法向量 ，平面 的法向量 ， 因为：所以， 即，所以， 又因为，所以， 即，所以， 所以. 故选：C. 例3．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 故答案为： 例4．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 ． 【答案】2 【详解】，是平面的一个法向量，是直线的一个方向向量， ， ，解得． 故答案为：2． 例5．（2026·河北邢台·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，. (1)证明：平面平面. (2)求平面与平面 所成锐二面角的余弦值. (3)在棱上(不含端点)是否存在点，使得平面?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，平面，所以平面平面； （2）因为平面，，所以两两互相垂直， 以为坐标原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，设， ，， 因为，所以，解得，所以， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由题意可得可以为平面的一个法向量， 设平面与平面 所成锐二面角为， 则， 所以平面与平面 所成锐二面角为； （3）设，因为点在棱上(不含端点)，所以， 设，则，， 因为，所以， 则，所以， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 若平面，则， 即，解得， 所以存在点，且. 例6．（2026·广东茂名·一模）如图，在四棱锥中，平面分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)详见解析； (2)存在， 【详解】（1）如图：取PD的中点H，连接FH，AH， 因为，又， 所以， 所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面 （2）建立如图所示空间直角坐标系：    则， 所以，， 设平面PBC的一个法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 设，则， 若平面，则， 所以，解得， 所以， 则， 所以在线段上是否存在点，使得平面，的长为. 变式1．（25-26高二上·江西·月考）已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量必然垂直， 即方向向量 与法向量 满足 ， 所以，解得. 故选：D. 变式2．（25-26高二上·山西·月考）若平面的法向量分别为，且平面，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为平面，所以，则，解得. 故选：B. 变式3．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则 . 【答案】1 【详解】因为直线平面，所以，又， 所以存在实数使得， 即，所以， 解得，所以． 故答案为：. 变式4．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则实数 ． 【答案】 【详解】由题意可得：， 即， 解得：， 故答案为： 变式5．（25-26高三上·天津河北·期末）如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点. (1)求证：平面BDE； (2)求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值； (3)在棱PB上是否存在点F，使得平面DEF？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)在棱上存在点，使得平面，此时 【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则， 所以， 设平面BDE的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面BDE的一个法向量为， 所以，所以。 又平面，所以平面BDE； （2）因为侧棱底面ABCD，底面ABCD，所以， 又因为底面ABCD是正方形，所以， 又，平面，所以平面， 所以是平面的一个法向量. 由（1）知是平面的一个法向量. 设平面BDE与平面DEC的夹角为， 所以， 所以平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值为. （3）因为， 所以，所以， 假设棱上存在点，使平面， 设， 则，， 由， 所以，解得， 即在棱上存在点，使得平面，此时. 变式6．（25-26高三上·河北邢台·月考）如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点，是的中点，，，. (1)求证：； (2)点在线段上，且平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）因为是的中点，，所以， 又，所以，所以， 在直三棱柱中，，，平面， 所以平面，即平面， 又平面，所以. （2）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， 由题意设， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取得. 因为平面，所以，即. 所以，得， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取得， 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $