精品解析：江苏常州市第二中学2025-2026学年高一第一学期期末考试数学试题

江苏常州市第二中学2025-2026学年高一第一学期期末考试数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的最大值是（ ） A. B. 1 C. 5 D. 4. 设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间上的图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 若，满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 要得到函数图象，可将函数的图象（ ） A. 以轴为对称轴进行翻转 B. 以轴为对称轴进行翻转 C. 绕坐标原点旋转 D. 绕点旋转 11. 已知函数，下面几个结论，其中正确的结论是（ ）． A 等式对恒成立 B. 存，使得 C. 函数的值域为 D. 若对任意实数，都有，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算______. 13. 已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则的值为____________． 14. 已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知“，方程有实根”是真命题. （1）求实数m的取值集合A； （2）设，关于x的不等式的解集为B，若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 16. 已知函数部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若时，方程有解，求实数的取值范围． 17. 如图，摩天轮上一点P在时刻t（单位:分钟)距离地面的高度y(单位:米)满足，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处. （1）根据条件写出y关于t的函数解析式； （2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面的高度超过85米? 18. 已知二次函数满足（），且. （1）求的解析式； （2）若关于的方程在区间上有唯一实数根，求实数的取值范围（注：相等的实数根算一个）. （3）函数，试问是否存在实数，使得对任意，都有成立，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由. 19. 如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数． ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则． 回答以下问题： （1）判断______（直接填“是”或“不是”）U型函数．若一次函数是型函数，求函数的解析式． （2）求证：是型函数； （3）若型函数的定义域为，解不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏常州市第二中学2025-2026学年高一第一学期期末考试数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的概念，可得答案. 【详解】由，则. 故选：A. 2. 若，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别利用正弦函数，指数函数和对数函数的性质，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由，所以， 又由，因为，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：A. 3. 函数的最大值是（ ） A. B. 1 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数等价变换为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】解：，， 则（当且仅当，即时，取等号）， 即当时，取得最大值. 故选：D. 4. 设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正切函数的对称中心得到，，再对各选项逐一检验分析即可. 【详解】根据题意得，，则， 又，则，， 对于A，若是的最小正周期，则，得，与矛盾，故A错误； 对于B，由得，满足条件，故B正确； 对于C，由得，与矛盾，故C错误； 对于D，由得，与矛盾，故D错误. 故选：B. 5. 函数在区间上的图像大致为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式，判其奇偶性，利用取特殊点，可得答案. 【详解】解：由，可知其定义域为， 且，则函数是偶函数，排除选项C． 又，，排除选项B，D． 故选：A． 6. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先设，根据偶函数性质，即可求解函数的解析式. 【详解】设，，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以. 故选：B 7. 已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由和得到，整理得到，构造函数，从而得到，即在上是单调递增函数，由是定义在上的偶函数，得到是偶函数，再结合已知可将原不等式转化为，然后利用函数的单调性和奇偶性求解即可. 【详解】，， ，， ， 设，， ，在上是单调递增函数， 是定义在上的偶函数，， 是偶函数， ，， ，， ， ， 是偶函数，， 转化为， 在上是单调递增函数， 转化为，，， 满足的实数的取值范围为. 故选：A. 8. 已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】D 【解析】 【分析】通过最大值点得到，通过最小值点得到，再结合函数的周期和区间长度，逐项判断即可. 【详解】由题意可知函数的周期，最大值点满足，解得， 最小值点满足，解得， 因为函数在区间上既有最大值又有最小值，区间的长度为9， 对A，若，当时，最大值点为2026，最小值点为2032，此时位于区间内，故A正确； 对B，若，当时，最大值点为2026，最小值点为2032，此时位于区间内，故B正确； 对C，若，当时，最大值点2026，最小值点为2032，此时位于区间内，故C正确； 对D，若，当时，最大值点为2026，当时，最大值点为2038，此时不位于区间内，故D错误． 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 若，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假，其中D选项，利用三角换元及三角恒等变换进行求解. 【详解】因为（R），由可变形为， ，解得，当且仅当时，， 当且仅当时，，故A错误，B正确； 由可变形为，解得， 当且仅当时取等号，故C正确； 因为变形可得， 设，所以， 因此 ，所以当时，即时， 此时，取到最大值2，故D正确. 故选：BCD. 10. 要得到函数的图象，可将函数的图象（ ） A. 以轴为对称轴进行翻转 B. 以轴为对称轴进行翻转 C. 绕坐标原点旋转 D. 绕点旋转 【答案】ABD 【解析】 【分析】先化简.对于A，以轴为对称轴进行翻转，则在的表达式中，不变，相反，由此判断A；对于B，以轴为对称轴进行翻转，则在的表达式中，不变，相反，由此判断B；对于C，绕坐标原点旋转，则在的表达式中，相反，也相反，由此判断C；对于D，假设假设关于点的对称函数为，则上任意一点关于点的对称点在上，通过化简即可判断D. 【详解】， 对于A，将的函数图象以轴为对称轴进行翻转，得到函数的图象，故A正确； 对于B，将的函数图象以轴为对称轴进行翻转，得到函数的图象，故B正确； 对于C，将的函数图象绕坐标原点旋转，得到函数，故C错误； 对于D，假设关于点的对称函数为， 则上任意一点关于点的对称点在上， 则，化简得，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知函数，下面几个结论，其中正确的结论是（ ）． A. 等式对恒成立 B. 存在，使得 C. 函数的值域为 D. 若对任意实数，都有，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用解析式得到的解析式判断A；由的解析式及奇偶性判断其区间单调性、值域判断B、C；由题设易得即可判断D. 【详解】A：且，故对恒成立，正确； B：由A知：为奇函数且，易知：上单调增且值域为，上单调增且值域为，故不存在，使，错误； C：由B的分析知：的值域为，正确； D：由C知：要使在上恒成立，即，则，错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据对数与指数的运算性质计算即可得解. 【详解】解： . 故答案为：7. 13. 已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则的值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据周期性和奇函数的性质可得，从而可以求值. 【详解】根据题意，是定义在R上周期为2的奇函数， 所以. 故答案为： 14. 已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围． 【详解】对任意的实数，都有，即成立， 可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数； 可得：， 解得， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知“，方程有实根”是真命题. （1）求实数m的取值集合A； （2）设，关于x的不等式的解集为B，若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)一元二次方程有实根的充要条件是； (2)先判断二次函数与x轴交点的大小，再求集合B，通过集合A和B的关系，可以求参数a. 【小问1详解】 若“，方程有实根”是真命题， 则， 所以，因此. 【小问2详解】 因为，所以， 所以不等式的解集， 若“”是“”的充分条件，则B是A的子集， 所以， 解得，所以a的取值范围是. 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若时，方程有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由图象确定最值得到，再由周期求得，再结合时，取得最小值，即可求解； （2）通过平移和伸缩规则得到，再由得到，求得的范围即可求解. 【小问1详解】 由题意得的最小值为，可得， 的周期满足，可得， 当时，取得最小值，所以， 结合，取，可得，所以； 【小问2详解】 将的图象向右平移个单位长度， 可得的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象， 所以， ，则， ， 有解，即 . 17. 如图，摩天轮上一点P在时刻t（单位:分钟)距离地面的高度y(单位:米)满足，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处. （1）根据条件写出y关于t的函数解析式； （2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面的高度超过85米? 【答案】（1）；（2）分钟 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，当时，，解得答案. （2）解不等式得到答案. 【详解】（1）根据题意：，故，，，故. 当时，，即，，故. . （2），故，. 解得，解得， 故有分钟长的时间点P距离地面的高度超过85米. 【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 18. 已知二次函数满足（），且. （1）求的解析式； （2）若关于的方程在区间上有唯一实数根，求实数的取值范围（注：相等的实数根算一个）. （3）函数，试问是否存在实数，使得对任意，都有成立，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）设（），代入条件化简并根据恒等式成立条件得，，，（2）研究二次方程根的情况，往往结合二次函数图像，即转化为研究直线与二次函数交点个数，作出图像，根据图像得实数的取值范围（3）先将不等式恒成立问题转化为对应函数最值：，再根据二次函数对称轴与定义区间位置关系，分类讨论函数最值，解对应不等式，可得实数的取值范围 试题解析：（1）设（） 代入得对于恒成立，故 又由得，解得，，， 所以 （2）由方程得，令，， 即要求函数在上有唯一的零点， ①，则，代入原方程得或，不合题意； ②若，则，代入原方程得或，满足题意，故成立； ③若，则，代入原方程得，满足题意，故成立. ④若且且时，由得. 综上，实数的取值范围是. 解法2：由方程得，即直线与函数，的图象有且只有一个交点（参照给分） （3）由题意知 假设存在实数满足条件，对任意，都有成立，即，故有， 由， ①当时，在上为增函数，，所以 ②当时， ，即 解得，所以. ③当时， 即解得，所以 ③当时， 即，所以 综上所述， 所以当时，使得对任意，都有成立 点睛：对于不等式任意或存在性问题，一般转化为对应函数最值大小关系，即；， 19. 如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数． ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则． 回答以下问题： （1）判断______（直接填“是”或“不是”）U型函数．若一次函数是型函数，求函数的解析式． （2）求证：型函数； （3）若型函数的定义域为，解不等式． 【答案】（1）不是，； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据型函数的定义直接判断即可；代入计算即可得到，再根据关于的不等式组即可得到解析式. （2）根据指数函数性质和型函数的定义即可证明； （3）首先证明在上为增函数，从而得到不等式组，解出即可； 【小问1详解】 根据一次函数在上单调递减， 则，且当时，，满足条件①， 对于任意的，若，则；则其不是型函数； 若一次函数是型函数， 若要满足条件①，则，， 若要满足条件②，则， 则，又因为，则，因为，则， 则. 【小问2详解】 记； 对任意的，有； 对于任意的， 若， 则， 即. 故函数是型函数. 【小问3详解】 设，且，则 因此 ， 若，则在上为常数函数，又因为，则， 则对于的条件②来说，，而，显然不满足条件②， 故，即故， 则在上为增函数. 若，则，解得， 则不等式解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $