精品解析：广东汕尾市陆河外国语学校2025-2026学年第一学期高三年级2月考试数学试卷

陆河外国语学校2025—2026学年第一学期高三年级2月考试 数学试卷 考试范围：高考范围 注意事项： 1．答题前填涂好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求出集合，再根据交集的运算即可求解. 【详解】由，得，又因为， 所以. 故选：C 2. 已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由得， 则在复平面内所对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由同角的三角函数关系式，将原式化简为关于的式子，然后将已知代入求解即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：D. 4. 的展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中项的系数为. 故选：C. 5. 如图，在正方形网格中，向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为轴，为轴建立坐标系，求出各点坐标即可判断选项． 【详解】以为轴，为轴建立坐标系，则，． ，，，． ． 令． 得到，，，． 解得，． 所以． 故选:C 6. 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．将某公司新产品自上市起的月份与该月的对应销量（单位：万件）整理成如下表格：建立与的线性回归方程为，则为（ ） 月份 1 2 3 4 5 销量 0.5 1 1.4 A. 0.79 B. 2 C. 2.1 D. 1.21 【答案】C 【解析】 【分析】求出，将点代入回归方程中即可. 【详解】由题意可得， 将点代入中得，， 故， 故选：C 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且满足，若线段的中垂线过原点，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由中垂线定义得，从而是直角三角形，然后由已知及勾股定理、椭圆的定义可求得离心率． 【详解】椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且满足，如图， ，由定义可知， 将代入到中，可得， 即，解得，那么． 线段的中垂线过原点，，又因为， ，那么是以为直角顶点的直角三角形． 在中，根据勾股定理可得，其中， 将代入，可得，即， 化简可得，即． 椭圆的离心率，且，． 故选：A． 8. 在给某小区的花园绿化时，绿化工人需要将6棵高矮不同的小树在花园中栽成前后两排，每排3棵，则后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：先求出事件A包含的基本事件个数，再根据古典概型的公式计算即可． 【详解】方法一：设六棵树从矮到高的顺序为1，2，3，4，5，6，后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高为事件A． 则6必在后排，1在前排， 因此，分为1-6相对和1-6不对两种情况（相对的意思是前后相邻）， （1）1-6相对：5必在后排，2必在前排， 因此，又可分为2-5相对和2-5不对两种情况， ①2-5相对时，3-4相对且4在后排，所以有种情况； ②2-5不对，有种情况． （2）1-6不对：可分为5在前排和5在后排两种情况， （ⅰ）5在前排，则5-6相对且4在后排，又可分为1-4相对和1-4不对两种情况， 1-4相对：有种； 1-4不对：有种． （ⅱ）5在后排，又可分为1-5相对和1-5不对两种情况， ①1-5相对：2必在前排，又分为2-6相对和2-6不对两种， 2-6相对：有种； 2-6不对：有种． ②1-5不对，有种． 所以. 故选：C． 方法二：将设六棵树从矮到高的顺序为1，2，3，4，5，6，后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高为事件A，所以， . 故选：C． 【点睛】本题的解题关键是合理分类，首先根据题意知6必在后排，1必在前排，所以根据1，6的位置关系分为两种情况，接下来就是根据每种情况，把能定下来的位置先定下来，不能定的就继续分类讨论，直至求出所有适合的基本事件个数．两个计数原理在解题时发挥了关键作用． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列满足，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，令即可求得；B、C选项，根据即可求得；D选项，先求出时的通项公式，再代入已知条件即可验证. 【详解】由，当时，，解得，故A正确； 当时，可得，所以， 所以，即，而， 故C正确，B不正确； 因为且，所以对有， 代入得，故D正确． 故选：ACD. 10. 若函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在区间上有2个极值点 D. 在区间上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据图象关于直线对称可求得，从而得到解析式，赋值法可判断A、B，根据三角函数中极值点的含义可判断C，整体代入法可判断D. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 可得，解得，又， 且，所以，即． A中，，所以A正确； B中，因为，所以的图象关于点对称，所以B正确； C中，因为，所以，令，解得， 令，解得，所以极值点为，所以C正确； D中，因为，所以，则函数不单调，所以D不正确． 故选：ABC 11. 如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（ ） A. 存在，使得 B. 当时，存在，使得平面 C. 当时，直线与所成角的余弦值为 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】建系并标点，求，.对于ABD：根据空间向量结合线、面关系运算求解，即可判断正误；对于C：求，利用空间向量求线线夹角. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，过垂直于平面的直线为轴， 则，，，， 可得，， 则，. 对于选项A：因为，， 可得， 因为， 所以不存在，使得，故A错误； 对于选项B：因为，，， 若，则，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 令，解得， 且平面，所以存在，使得平面，故B正确； 对于选项C：若，则，， 可得， 所以直线与所成角的余弦值为，故C正确； 对于选项D：，， 若，则，解得，故D正确； 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】##． 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 13. 已知四棱柱的底面为平行四边形，，，且，则异面直线与的夹角余弦值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】应用空间向量的数量积公式及运算律计算，再运用夹角公式计算求解. 【详解】根据图形可知 ， 所以, 则异面直线与的夹角余弦值为. 故答案为：. 14. 若函数的最小值为，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，求出函数的极小值（亦即最小值），根据极小值点满足，可得出，可求出的值，进而可得出实数的值. 【详解】易知的定义域为，， 因为函数、在上均为增函数， 所以函数在区间上单调递增， 又当时，；当时，， 所以存在唯一，使得，，即. 当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为. 因为函数在上为增函数，由得， 所以，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知点是曲线上的一点，且点的横坐标是1，求曲线在点处的切线方程． （2）将一个边长为12的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个容积为的无盖方盒，求无盖方盒的容积的最大值及此时小正方形边长的值． 【答案】（1）；（2）最大值为128， 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，可得切线方程； （2）得出容积的表达式，再利用导数求出其单调性可得容积的最大值. 【详解】（1）； 当时，； 即可得点处的切线方程为， 即． （2）依题意，无盖方盒的底面正方形边长为，高为，显然， 所以方盒的容积 求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此当时，， 所以无盖方盒的容积的最大值为128，此时 16. 在三角形中，角所对的边分别为，设 （1）求___________并利用该等式证明余弦定理：． （2）先写出正弦定理完整公式，再解决问题：，求的最大值． 【答案】（1），证明如下： . 等式两边平方：， 展开得：， 即：， 故得余弦定理：. （2） 【解析】 【分析】（1）平方，化简，可得答案； （2）利用正弦定理，把转化成关于角的函数，利用三角函数求最值即可. 【小问1详解】 ，证明略； 【小问2详解】 正弦定理为：，（R为的外接圆的半径） 由题知，，可得， 因为，由正弦定理可得， 则， 所以 ，其中， 因为，可得， 所以，当时，， 此时取得最大值，最大值为. 17. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是，各棱的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的余弦值． （3）求直线到平面的距离d． 【答案】（1）证明： 以为原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 则， 所以， 又为平面的两条相交直线，所以平面； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）以为原点建系，利用坐标求证，再利用线面垂直的判定定理求证； （2）利用向量夹角求线面角即可； （3）先利用求证线面平行，再利用点到面的距离公式计算． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知平面的法向量为， 又，则， 则， 故与平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 因为，所以， 所以，即， 又平面，所以平面， 又，所以直线到平面的距离为. 18. 已知数列满足，（），记． （1）求证：是等比数列； （2）设，数列的前n项和为. (ⅰ)求． (ⅱ)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） ， ，又， 所以， 又， ， 数列中任意一项不为0，， 数列是首项为2， 公比为2的等比数列，则. （2）（i） (ⅱ) 【解析】 【分析】（1）根据题意，由等比数列的定义运算证明； （2）利用错位相减法求出，代入可得，对分类讨论，利用数列的单调性即可得出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 (ⅰ) 由第（1）问知， ，则，设数列的前项和为， 所以①，②， 所以①-②可得： ， 所以. . (ⅱ)由，得，化简得. 当为奇数时，有，即， 而，所以； 当为偶数时，有， 而，所以. 综上，的取值范围为. 19. 蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：℃）有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，②分别进行拟合． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 179 422688 62.65 70308 表中； （1）根据散点图，比较模型①、②的拟合效果，模型___________比较合适？（无需说明理由） 根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程． （2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 【答案】（1）模型②， （2）①；②，． 【解析】 【分析】（1）利用散点图的特征确定所选模型，再利用给定数据求出回归方程. （2）①求出，再利用导数求出最大值对应；②由①的结论求出每年需要人工防治的概率，再利用二项分布的期望、方差公式计算即可. 【小问1详解】 由散点图知，卵数随温度的变化是按指数形式变化，而非线性变化，因此模型②更合适， 令，则，由所给参考数据得，， ，因此关于的线性回归方程为， 所以产卵数关于温度的回归方程为. 【小问2详解】 ①依题意，， 求导得 ， 令，得，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以取得最大值时对应的概率； ②由①知，当时，取最大值，当时，， 每年需要人工防治的概率，且服从二项分布， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陆河外国语学校2025—2026学年第一学期高三年级2月考试 数学试卷 考试范围：高考范围 注意事项： 1．答题前填涂好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形网格中，向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．将某公司新产品自上市起的月份与该月的对应销量（单位：万件）整理成如下表格：建立与的线性回归方程为，则为（ ） 月份 1 2 3 4 5 销量 0.5 1 1.4 A. 0.79 B. 2 C. 2.1 D. 1.21 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且满足，若线段的中垂线过原点，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在给某小区的花园绿化时，绿化工人需要将6棵高矮不同的小树在花园中栽成前后两排，每排3棵，则后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高的概率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列满足，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 10. 若函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在区间上有2个极值点 D. 在区间上单调递增 11. 如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（ ） A. 存在，使得 B. 当时，存在，使得平面 C. 当时，直线与所成角的余弦值为 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 13. 已知四棱柱的底面为平行四边形，，，且，则异面直线与的夹角余弦值为___________． 14. 若函数的最小值为，则___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知点是曲线上的一点，且点的横坐标是1，求曲线在点处的切线方程． （2）将一个边长为12的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个容积为的无盖方盒，求无盖方盒的容积的最大值及此时小正方形边长的值． 16. 在三角形中，角所对的边分别为，设 （1）求___________并利用该等式证明余弦定理：． （2）先写出正弦定理完整公式，再解决问题：，求的最大值． 17. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是，各棱的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的余弦值． （3）求直线到平面的距离d． 18. 已知数列满足，（），记． （1）求证：是等比数列； （2）设，数列的前n项和为. (ⅰ)求． (ⅱ)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 19. 蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：℃）有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，②分别进行拟合． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 179 422688 62.65 70308 表中； （1）根据散点图，比较模型①、②的拟合效果，模型___________比较合适？（无需说明理由） 根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程． （2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $