湖北省沙市中学2025-2026学年高三上学期2月月考数学试题

2025—2026学年度上学期2023级 2月月考数学试题 命题人：高三数学组 审题人：高三数学组 考试时间：2026年2月2日15:00—17:00 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线平行，（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. -1 B. 1 C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 6 C. 12 D. 24 6. 设函数，则“的值域为”是“存在实数，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知抛物线的准线为，为上的一点，于点，直线与圆相切于点，若，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 或 8. 三棱锥中，，二面角的平面角为锐角，则三棱锥的外接球球心到平面ABC的距离最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的图像在处的切线斜率为 C. D. 有两个零点，且 10. “水韵江苏·家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色的非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板块．甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验指尖非遗”，“甲体验潮玩非遗”，“乙体验舌尖非遗”，则（ ） A. 与对立 B. C. 与相互独立 D. 11. 已知集合，用表示集合的元素个数，定义：，，；，，.则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，满足且，写出满足条件的一个函数解析式_____________． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，点满足：，．若，则_____________；若，则的最大值为_____________． 14. 已知椭圆的左焦点为，点，若以A，F为焦点的双曲线与椭圆交于点，则双曲线的离心率的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，且. （1）求； （2）若，求. 16. 已知等差数列的前项和为，且为等差数列． （1）求的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：． 17. 已知函数，. （1）求的单调区间和极小值； （2）证明：当时，. 18. 已知双曲线（，）的右焦点为，渐近线方程为. （1）求的方程； （2）已知过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，. （ⅰ）记线段的中点的轨迹为曲线，请求出的方程，并说明的形状； （ⅱ）若点，在上，且，.过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点.请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①在上；②；③. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 19. 如图1，直三棱柱 的底面是边长为2的等边三角形，且 . 图2所示的多面体 ，可视为将图1中的 在其平面内绕其中心逆时针旋转 后，记为 ，并重新连接 ，，，，， 得到. （1）如图2，证明：，，， 四点共面； （2）求多面体 的体积； （3）若点 在多面体 的棱 上，求 与平面 所成角的正弦值的最大值，并求出此时点 在 上的位置. 2025—2026学年度上学期2023级 2月月考数学试题 命题人：高三数学组 审题人：高三数学组 考试时间：2026年2月2日15:00—17:00 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】（答案不唯一） 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤. 【15题答案】 【答案】（1）； （2）或. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 证明：由题设得，即， 所以①， 则②， 由①-②得：， 所以， 因为，所以，所以，即证． 【17题答案】 【答案】（1）递增区间为，递减区间为，极小值为1； （2） 证明：当时，令， 求导得， 令，求导得， 函数在上单调递增，则，在上单调递增， 因此，所以. 【18题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ），双曲线； （ⅱ）由已知得直线的斜率存在且不为零， 若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零； 若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在， 则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点， 此时由对称性可知、关于轴对称，从而，已知不符，同理可得直线斜率不为， 总之，直线的斜率存在且不为零. 设直线的斜率为，直线方程为， 则条件①在上，等价于； 两渐近线的方程合并为，联立消去并化简整理得：， 设，，线段中点为，则，， 设，则条件③等价于， 移项并利用平方差公式整理得： ， ，即，即； 由题意知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以由，， 所以， 所以直线的斜率， 直线，即， 代入双曲线的方程，即， 得：， 解得的横坐标：， 同理：， 所以，，∴， 所以条件②等价于， 综上所述： 条件①在上，等价于； 条件②等价于； 条件③等价于； 选①②推③： 由①②解得：，所以，所以③成立； 选①③推②： 由①③解得：，，所以，所以②成立； 选②③推①： 由②③解得：，，所以， 所以，所以①成立. 【19题答案】 【答案】（1）如图所示，取的中心记为，取的中心记为，以为坐标原点，过作的平行线为轴，过作的垂线为轴，为轴建立空间直角坐标系. 是边长为2的等边三角形，是由绕逆时针旋转得到的. ，， ，， 所以四点共面. （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $