9.3旋转寒假预习 讲义-2025-2026学年苏科版七年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

9.3旋转寒假预习讲义（苏科版） ☛预习内容速览 1. 课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3. 核心考点★精讲讲练 4.强化巩固★综合测试 ☘ 课前预习★目标 ●知道旋转可用于解决几何图形、面积、路径、最短路径等实际与数学问题； ●能在简单问题中确定旋转中心、旋转方向、旋转角度； ●通过旋转把分散条件集中，把不规则图形转化为规则图形； ●会在典型题型（如正方形、等腰三角形、求阴影面积、线段最值）中尝试用旋转思路分析； ●体会转化思想，提升几何直观与推理能力。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1旋转的概念】把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转．．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如∠AOA′），如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点．                  【重点提示】旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 【知识点2旋转的性质】 （1）对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；        （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；    （3）旋转前、后的图形大小和形状完全相同． 【重点提示】图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转． 【知识点3旋转的作图】 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 【重点提示】旋转作图步骤 1. 找：找旋转中心和图形关键点。 2. 连：连接关键点与旋转中心。 3. 转：按方向和角度画出旋转后的线段。 4. 截：截取等长线段，确定对应点。 5. 连：顺次连接对应点，得到旋转后图形。 【知识点4中心对称】 1.中心对称：把图形绕某点旋转 180° 能与另一图形重合。 2.中心对称图形：图形自身绕中心旋转 180° 与自身重合。 3.性质： -对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分； -对应线段平行（或共线）且相等。 【知识点5旋转的应用】（解题关键） 1.常用在： 正方形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形中。 2.解题思路： ◆把分散的线段、角通过旋转集中到一起； ◆构造全等三角形、直角三角形、等腰三角形。 3.常见应用：（1）求线段长度（2）求角度（3）求面积（4）线段最值、路径长 【知识点6 平移、轴对称、旋转的不同】 - 平移：沿直线移动，形状大小不变。 - 轴对称：沿直线翻折，形状大小不变。 - 旋转：绕点转动，形状大小不变。 ✅ 核心考点★精讲讲练 题型1判断生活中的旋转现象 例1．有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了旋转和平移的概念，解题的关键是熟练掌握旋转和平移的概念，能够把生活问题转化为数学问题． 根据旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴做圆周运动属于旋转，逐一判断每个现象即可． 【详解】∵ ①荡秋千是围绕固定点摆动，属于旋转； ②雪橇滑动是平移运动，不属于旋转； ③传送带传送物品是平移运动，不属于旋转； ④雨刮器摆动是围绕固定轴旋转，属于旋转． ∴ 属于旋转的是①和④． 故选：D． 变式1．汽车在笔直的公路上移动属于 现象，车轮绕其车轴的运动属于 现象．（填“平移”或“旋转”） 【答案】 平移 旋转 【分析】本题考查平移与旋转的认识，掌握知识点是解题的关键． 根据平移与旋转的定义，即可解答． 【详解】解：汽车在笔直的公路上移动属于平移现象，车轮运动属于旋转现象． 故答案为：平移，旋转． 变式2．我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置运动到位置． (1)上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？ (2)运动有何共同点？ 【答案】(1)曲线运动 (2)见解析 【分析】本题考查了生活中的旋转． （1）根据几种运动的路线分析得出答案； （2）根据运动方式得出几种运动都属于旋转，根据旋转的性质，即可解答． 【详解】（1）解：上述几种运动是做曲线运动； （2） 解：运动的共同点是都属于旋转，运动前后对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中线的距离相等． 题型2判断由一个图形旋转而成的图案 例2．香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似 【答案】C 【分析】此题考查几何变换的类型，关键是掌握旋转的概念． 根据旋转的概念解答即可． 【详解】解：将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是旋转， 故选：C． 变式1．观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的 通过 （方式）得到的． 【答案】 四分之一 旋转 【分析】本题考查了旋转性质，认真观察图形，得出原图形可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的，即可作答． 【详解】解：观察图形可知，它可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的， 故答案为：四分之一，旋转． 变式2．如图，可以由经过怎样的变换而得到？请简要说明变换过程． 【答案】把先向右平移1个单位，再绕点B逆时针旋转可得到（答案不唯一） 【分析】利用平移和旋转变换说明变换过程即可． 【详解】解：根据网格和图形中与的相对位置， 可知：把先向右平移1个单位，再绕点B逆时针旋转可得到． 即变换过程为：把先向右平移1个单位，再绕点B逆时针旋转． 【点睛】本题考查了几何变换，掌握平移变换、旋转变换的特点是解答本题的关键． 题型3找旋转中心、旋转角、对应点 例3．如图，在正方形网格中，一个飞机图案绕某点旋转一定角度后能与另一个飞机图案重合，则旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，旋转中心的确定． 根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，连接两个飞机图形的飞机头，连接两个飞机图形的两个左翼， 利用格点性质以及勾股定理可求出两个飞机头的点到的距离都为， ∴点在两个飞机头的连线的垂直平分线上， 两个左翼到点的距离都为， ∴点在两个左翼的连线的垂直平分线上， ∴旋转中心为点， 故选：D． 变示1．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则其旋转中心可以是点 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的定义，掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键，观察图象，由旋转的性质找到旋转中心即可得到答案． 【详解】解：由图可知，与各对应点到点的距离相等， ∴点为旋转中心， 故答案为：． 变式2．在如图所示的正方形网格中，和的顶点均在格点上，易证，可经过一次旋转后与完全重合． (1)请你在图形中确定旋转中心的位置； (2)请直接写出旋转角（）的大小． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了作图确认旋转中心、旋转角，牢记相关的知识点是解题的关键． （）连接，，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求； （）通过观察网格图得出结论即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：由图可知，， ∴旋转角． 题型4求旋转中心的个数 例4．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 变式1．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有 个． 【答案】2． 【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心． 【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D； 把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C； 综上，可以作为旋转中心的有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 变式2．如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置． 【详解】解：如图， 绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B． 题型5旋转中的规律问题 例5．正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查图形规律，理解题意是解决本题的关键． 按题意画出图，找到规律判断即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5， 第二次变换后，朝上的点数为6， 第三次变换后，朝上的点数为3， 由此可知，连续3次变换是一个循环． ∴， ∴按上述规则连续完成2026次变换后，骰子朝上面的点数是5， 故选：C． 变式1．如图，这个图形是由“基本图案”绕着点顺时针依次旋转 次得到的，每次旋转的角度为 ． 【答案】 五 【分析】本题考查了图形旋转的性质知识点，掌握旋转次数与基本图案个数的关系以及周角等分的计算方法是解题的关键． 先观察图形确定基本图案的个数，旋转次数等于基本图案个数减1，每次旋转的角度等于周角除以基本图案个数． 【详解】解：∵该图形是由“基本图案”绕着点旋转构成的复合图形 ∴观察图形可知，该复合图形共由6个全等的“基本图案”组成 ∴旋转的次数为次 ∵这6个基本图案均匀分布在以点为中心的圆周上 ∴每次旋转的角度为 ． 故答案为：五； ． 变式2．平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 【答案】(1)旋转，轴对称 (2)BC 【分析】本题考查几何变换的类型，轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换，旋转变换的性质． （1）根据轴对称变换，旋转变换的性质判断即可； （2）三角形⑤可以看成由三角形④绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 【详解】（1）解：如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次旋转得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次轴对称得到． 故答案为：旋转，轴对称； （2）三角形⑤可以看成由三角形④经过绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 故答案为：BC． 题型6根据旋转的性质求解 例6．如图，把绕点逆时针旋转得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的旋转，把绕点逆时针旋转得到，点与点是对应点，根据对应点与旋转中心的连线的夹角就是旋转角，可知． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到，点与点是对应点， ． 故选：A． 变式1．如图，为的平分线，且．将四边形绕点逆时针旋转后，得到四边形，且，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，角平分线的定义，根据角平分线的定义得到，由旋转的性质得到，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵为的平分线，且， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 故答案为：． 变式2．如图，将绕点逆时针旋转得到． (1)如图1，当点的对应点恰好落在上时，若，求的长； (2)如图2，，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了图形的旋转性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用这些性质和定理进行线段长度和角度的计算． （1）根据旋转性质得到，，再通过线段的和差关系求； （2）先利用三角形内角和求出，再根据平行线性质和旋转性质求出． 【详解】（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， 故的长为：4； （2）解：∵， ， ∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ． 的度数为． 题型7根据旋转的性质说明线段或角相等 例7．如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．根据旋转的性质得到即可． 【详解】解：∵将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形， ∴， 故选：D． 变式1．如图，将绕点A顺时针旋转一定角度得到，若线段，则的长等于 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可直接进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：； 故答案为5． 变式2．如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F． (1)写出相等的角：________，________________； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键： （1）根据旋转前后，对应角相等，结合对顶角相等，即可得出结果； （2）根据角度之间的关系，结合三角形的内角和定理，推出，即可． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴，， ∵， ∴； （2）． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 题型8旋转的性质及辨析 例8．如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 【答案】B 【分析】本题考查旋转和轴对称，理解旋转和轴对称的概念是解题的关键． 2次旋转就可以与原图重合，2次轴对称就可以与原图重合，据此判定即可． 【详解】图①每次旋转，2次旋转后可以得到图②，变换方式①可行； 图①沿竖直方向的直线，2次轴对称可以得到图②，变换方式②可行； 故选：B． 变式1．如图，线段可以看成是线段先绕点C 旋转，再向 平移 小格得到的． 【答案】 逆时针 左 1 【分析】本题考查了线段的旋转，平移，根据题意和旋转的相关知识即可得；掌握旋转角度，旋转方向，平移是解题的关键． 【详解】解：由图可知，线段可以看成是线段先绕点C逆时针旋转，再向左平移1小格得到的， 故答案为：逆时针；左；1． 变式2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母． (1)①在图1中，画出线段关于直线对称的线段．连接，线段和直线的关系为______； ②在图1中，将线段AB向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段．连接、，线段和线段的关系为______； (2)在图2中，线段与线段存在旋转变换关系．画出旋转中心O． 【答案】(1)①见解析；直线垂直平分线段；②见解析；，； (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称作图，平移作图，找旋转中心，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①根据轴对称图形的性质即可得出结果；②根据图形的平移作图，然后由平移的性质即可求解； （2）分别作对应点连线的垂直平分线，其交点即为旋转中心． 【详解】（1）①解：如图1，线段即为所求的线段． 直线垂直平分线段； ②解：如图1，线段即为所求的线段． ，； （3） 解：如图2，点和点即为所求的旋转中心． 题型9画旋转图形 例9．如图，将正方形图案绕中心O按顺时针旋转后，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的旋转，根据图形旋转的性质直接判断即可． 【详解】解：将正方形图案绕中心O顺时针旋转后，得到的图案是： 故选：C． 变式1．如图，是由经过图形的变换得到的，可以看作经过怎样的图形变化得到？下列结论：①一次旋转，一次轴对称；②一次平移，一次轴对称；③2次轴对称；④3次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平移，旋转，翻折等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 利用平移，旋转，翻折的性质等知识一一判断即可． 【详解】解：先将绕点旋转至如图所示的位置， 再将所得的三角形沿线段的垂直平分线翻折，即可得到；①正确； 先将沿方向平移，使和重合，然后将所得的三角形沿线段的垂直平分线翻折，如图所示： 即可得到；②正确； 两次轴对称不能将变换得到．③不正确； 先将沿着直一条直线翻折，得如图所示的一个三角形 再将所得的三角形沿一直线翻折，得如图所示的三角形， ④ 最后将所得的三角形沿着一直线翻折，即可得到． 故答案为：①②④． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，、． (1)画出将向下平移6个单位长度得到； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，旋转的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别将点A、B、C向下平移6个单位长度，得到对应点，然后顺次连接即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可确定的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据旋转的性质可知，连接，交点即为旋转中心点M，可知坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）如图，旋转中心为点M，可知旋转中心的坐标为， 故答案为：． 题型10利用旋转设计图案 例10．如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查的是图形变换中旋转的知识，解题的关键是掌握旋转的定义． 根据旋转的定义，逐一分析给出的四个图案是否可以通过基本图形旋转得到即可． 【详解】解：在平面内，将一个图形沿某一个定点方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转； 图案①可由一个基本图形三角形，绕其中心经过旋转得到； 图案②可由一个基本图形类似于花的花瓣绕其中心经过旋转得到； 图案③可由一个基本图形绕其中心经过旋转得到； 图案④可由一个基本图形绕其中心经过旋转得到． 故选：D． 变式1．如图，△ABC纸片的面积为12cm2，其中一边BC的长为6cm，将其经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙无重叠的长方形BCDE，则长方形的周长为 cm． 【答案】16 【分析】延长AT交BC于点P，利用三角形的面积公式求出AP，求出BE，CD，DE，可得结论． 【详解】解：延长AT交BC于点P， ∵AP⊥BC， ∴•BC•AP=12， ∴×6×AP=12， ∴AP=4（cm）， 由题意，AT=PT=2（cm）， ∴BE=CD=PT=2（cm）， ∵DE=BC=6cm， ∴长方形BCDE的周长为6+6+2+2=16（cm）． 故答案为：16． 【点睛】本题考查图形的拼剪，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 变式2．能否通过平移、轴对称和旋转把右边倾斜的树放在左边直立的位置？ 【答案】见解析. 【分析】首先将右边的小树经过旋转成为直立的，进而不难发现，这两棵树以两颗树的底端的垂直平分线成轴对称图形，接下来，结合上述所得，根据轴对称图形的知识即可解答. 【详解】解：能通过平移、轴对称和旋转把右边倾斜的树放在左边直立的位置. 第一步：先旋转，到右边的树是直立为止； 第二步：以两树的底端所连线段的垂直平分线为对称轴作轴对称变换，这样就可以将右边倾斜的树放到左边直立的位置. 【点睛】本题考查的是图象的平移、旋转、轴对称，掌握上述知识点是解题关键 题型11旋转对称图形的识别 例11．将图中所示的风车绕点顺时针旋转，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，读懂题意是解答的关键． 将图案绕中心顺时针先旋转，再旋转，得出图形即可； 【详解】解：根据旋转的定义， 图案先旋转，再旋转，得出的图案是选项A． 故选：A． 变式1．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转对称图形，如果一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，根据题意得出图中阴影部分的面积之和等于三叶片的面积和的三分之一，计算即可得解． 【详解】解：∵图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合，为， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 变式2．如图，正六边形是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么图中 (1)三角形沿着___________方向平移_________厘米能与三角形重合； (2)三角形绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形重合； (3)三角形沿着BE所在直线翻折后能与________重合； (4)写一对中心对称的三角形：_________． 【答案】(1)射线、2厘米 (2)O、120 (3) (4)与（答案不唯一） 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据旋转的定义，结合图形可得出答案； （3）根据轴对称的定义，结合图形可得出翻折后与△CBO重合； （4）根据中心对称的定义，结合图形写出一对即可． 【详解】（1）解：∵经过平移得到， ∴平移的方向是沿着射线方向，点A与点F是一组对应点， ∴平移的距离为， ∵是边长为2厘米的等边三角形， ∴厘米， 故三角形沿着射线BO的方向平移2厘米能与三角形重合， 故答案为：射线、2厘米； （2）解：三角形绕着点O顺时针旋转120度后能与三角形重合； 故答案为：O、120； （3）解：三角形沿着所在直线翻折后能与重合； 故答案为：； （4）解：与是中心对称的两个三角形． 故答案为：与（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了几何变换的类型，涉及的知识点有：图形的平移、旋转、轴对称、中心对称，属于基础题，关键是掌握几种变换的定义和特点． 题型12求旋转对称图形的旋转角度 例12．如图，正三角形的三个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心逆时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转对称图形，涉及正多边形与圆，解题的关键是掌握旋转对称图形定义． 【详解】解：∵正三角形的三个顶点等分圆周， ∴， ∴把这个图形绕着圆心逆时针至少旋转后能与自身重合， 故选：C． 变式1．如图，图形是由一个绕某点连续旋转若干次得到，每次旋转相同角度，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数．由题意依据每次旋转相同角度，旋转了次，旋转一周后（包含原始位置）共，进行分析即可得出答案． 【详解】解：每次旋转相同角度， 该图案可由绕点旋转次，旋转一周后（包含原始位置）共， ． 故答案为：． 变式2．请设计出两种方案，使图中所示的正六边形绕一点旋转某个角度后，能与自身重合．再用一张半透明的薄纸描出图中的六边形，验证你的设计方案． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．（答案不唯一，只要围绕中心旋转的倍数即可．） 【分析】此题主要考查旋转对称图形，注意正六边形是旋转对称图形，确定旋转角的方法是需要准确掌握的内容．正六边形可以被经过中心的射线平分成6个全等的部分，则旋转的角度即可确定． 【详解】解：正六边形被对角线分成6个相同的部分，中心角为度， 如图所示： 方案1：围绕中心旋转60度，能够与本身重合； 方案2：围绕中心旋转120度，能够与本身重合．（答案不唯一，只要围绕中心旋转的倍数即可．） 题型13画已知图形关于某点对称的图形 例13．在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中线对称图形的性质，掌握中点坐标的计算是解题的关键． 根据中点对称图形的性质，得到点在线段的中点处，由此得到，再根据点的对应点，设，由中点坐标的计算即可求解． 【详解】解：点的对应点为，且关于点成中线对称， ∴，即， ∴设，且， ∴， 解得，， ∴， 故选：A ． 变式1．在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称作图，正确作出点B关于对称的点是解题的关键． 【详解】根据题目要求作出点B关于对称的点如图所示， 由图可知，的坐标为， 故答案为：． 变式2．图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上． (1)画出将绕点逆时针旋转得到的，在图中对应处写出“”和“”； (2)画出与关于点成中心对称的，在图中对应处写出“”“”和“”． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-旋转变换，中心对称变换，解决本题的关键是掌握旋转和中心对称的性质． （1）根据旋转的性质即可在图中画出绕点逆时针旋转得到的，点B、C的对应点分别为“”和“”； （2）根据中心对称的性质即可在图中画出关于点成中心对称的，点A，B、C的对应点分别为“”“”和“”． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2） 解：如图，即为所作． 题型14画两个图形的对称中心 例14．如图，与关于某点成中心对称，则对称中心是点（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【分析】此题主要考查了中心对称．熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 连接交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：如图，连接交于点P， 所以对称中心是点P． 故选：C 变式1．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，掌握好中心对称的概念是关键． 根据中心对称的性质，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 变式2．如图，四边形与四边形是成中心对称的两个图形．请试着确定其对称中心的位置． 【答案】见解析 【分析】此题考查对称中心的确定方法，成中心对称图形的性质：成中心对称的两个图形的对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分，掌握成中心对称的图形的性质是解题的关键． 连接两对对应点，交点即为所求的对称中心． 【详解】解：连接，交点O即为所求的对称中心． 如图所示： 题型15根据中心对称的性质求面积、长度、角度 例15．如图，正方形的对称中心为点，点均在正方形的边上，四点中有一点是点关于点的对称点，则该对称点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的性质(在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；关于中心对称的两个点，它们的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分)来分析点关于点的对称点． 【详解】解：正方形的对称中心是对角线的交点， 关于点成中心对称的两个点，需要满足连线经过且被平分， 观察图形，点在正方形的底边，其关于的对称点应在正方形的顶边，对应图中的点． 故选：C． 【点睛】 变式1．如图，等腰直角与等腰直角关于点B中心对称，P为的中点，Q为点P的对称点．若，则P，Q两点间的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了中心对称、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，根据对称性可知一定过点，由及等腰直角三角形的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，点和点关于点对称，连接，则一定过点， 且， ∵和是等腰直角三角形，为的中点， ∴， 由对称性知， ∴． 故答案为：4 ． 变式2．【阅读材料】对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图1所示． 【尝试应用】将图2，图3分成面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】尝试应用：作图见解析 【分析】本题考查了中心对称图形，掌握其概念是解题关键．由平行四边形的性质可知，对角线的交点为平行四边形的中心，的中心为圆心，结合中心对称的知识，不难发现过中心的直线将图形分割成面积相等的部分． 【详解】解：如图所示： 题型16中心对称图形的识别 例16．下列图案，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形是中心对称图形，符合题意； C．该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 变式1．在①圆、②等腰三角形、③等腰梯形、④平行四边形中，是中心对称图形的图形是 ．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：在①圆、②等腰三角形、③等腰梯形、④平行四边形中，是中心对称图形的图形是①④． 故答案为：①④． 变式2．如下图，D是的边BC的中点，连接AD并延长至点E，使，连接BE． (1)图中哪两个图形关于点D成中心对称（不用说明理由）？ (2)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)与关于点D成中心对称 (2)8 【分析】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小． （1）直接利用中心对称的定义写出答案即可； （2）根据等底等高确定的面积，根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形的面积，从而确定的面积． 【详解】（1）解：与关于点成中心对称． （2）解：∵是的边的中点， ∴， ∴与为等底等高的三角形， ∴． 又∵与关于点成中心对称， ∴， ∴． 题型17判断中心对称图形的对称中心 例17．如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．连接，，根据交点的位置可得答案． 【详解】解：如图，连接，， 根据交点的位置可得：对称中心为， 故选：C． 变式1．如图，E是的斜边上一点，作点E关于的对称点F，G，连接． （1）点F和点G的对称关系为 ． （2）若，则的最小值为 ． 【答案】 关于点A成中心对称 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质、三角形的面积公式、勾股定理． （1）根据轴对称的性质和中心对称的定义求解； （2）根据勾股定理、三角形的面积公式求解. 【详解】（1）如图，连接． 由轴对称的性质可知，，， ，， 三点共线，点F和点G关于点A成中心对称． 故答案为：关于点A成中心对称. （2）在中，． 由（1）知，，当最小时，最小， ∴当时，最小，此时为中边上的高． 设中边上的高为h，则，解得， 的最小值为． 故答案为： 变式2.如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，O为坐标原点，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，的顶点均在格点上，按下列要求作图并解答． (1)将向左平移5个单位得到，点A、B的对应点分别为、，画出． (2)作关于点O成中心对称的，点、的对应点分别为、． (3)与也成中心对称，直接写出对称中心的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平移，中心对称，中点坐标公式． （1）先确定点的位置，然后连线画出图形即可． （2）先确定点的位置，然后连线画出图形即可． （3）利用中点坐标公式计算即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）∵， ∴对称中心的坐标，即 题型18在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 例18．如图所示是的正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形，这样的涂法有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】A 【分析】本题考查设计中心对称图形，根据中心对称图形的定义，进行设计，即可得出结果． 【详解】解：由题意，选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形的涂法只有如图所示的一种方法： 故选：A． 变式1．如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是 ． 【答案】② 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 根据中心对称图形的特点进行判断即可． 【详解】解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形． 故答案为：②． 变式2．如图，，线段均在由小正方形组成的方格纸中（点A，B，C，，均在方格纸的格点上）．按要求完成下列各小题． (1)若与关于点O成中心对称（点A，B的对称点分别为点，），在图中画出点O，并补全； (2)在（1）的基础上，在图中画出绕点O逆时针旋转90°的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称图形，旋转作图，掌握中心对称图形的性质是解题的关键． （1）连接，，它们的交点即为对称中心O，进而可画出点C的对称点，即可解答； （2）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）解：所求图形，如图所示． （2）解：如图，为所求． 题型19中心对称图形规律问题 例19．甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界．规定谁在桌面上放下最后一枚硬币，谁就获胜．获胜的策略是（　　） A．先放者获胜 B．后放者获胜 C．先放者将硬币放到桌面的圆心处 D．后放者将硬币放到桌面的圆心处 【答案】C 【分析】本题考查逻辑推理能力，解题的关键是理解圆桌的中心对称性质．根据圆桌的中心对称性质来探讨放置硬币的策略以及获胜情况． 【详解】解：先放者把第一枚硬币放在桌面的圆心处． 因为圆桌是中心对称图形，圆心是其对称中心，这一放置具有关键意义．此后，无论后放者将硬币放在桌面的哪个位置，先放者都能依据中心对称的原理，在以圆心为对称中心的对称位置放置硬币．由于按照这样的放置方式，每次后放者放置后，先放者都能找到对应的对称位置放置，随着放置过程的持续，最终必然是先放者能够在桌面上放下最后一枚硬币， 所以先放者获胜． 故选：C． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出坐标按照，，，四个为一个循环，再利用规律求解即可． 【详解】解：P点坐标为，将P点关于A对称得到， ， 将关于O点对称得到， ， 将关于C点对称得到， ， 将关于B点对称得到， ， 将关于A点对称得到 ， 按照顺序以此类推，坐标按照，，，四个为一个循环， ， 则的坐标为； 故答案为：． 变式2．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】B 【分析】探究规律后利用规律解决问题即可． 【详解】观察图形可知每4次循环一次，， ∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 【答案】A 【分析】本题是考查图形的平移、旋转的意义，掌握图形平移与旋转的区别是解题的关键． 根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．由此进行判定即可． 【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动，钟表指针绕中心旋转，钟摆绕悬挂点摆动，两者均属于旋转运动，故该说法正确，符合题意； B、站在电梯上的人的运动，是平移，不符合题意； C、汽车沿笔直的公路行驶，是平移，不符合题意； D、地下水位线逐年下降，不是旋转，不符合题意； 故选：A． 2．北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，熟知旋转的概念和性质是解题的关键．根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是： 故选：D． 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义和轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形， 但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A 4．在学校运动场围墙上设计了四幅图案，其中用到旋转变换方式的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转图形的识别，解题的关键是掌握旋转的性质． 根据旋转图形的定义和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该图形可由平移得到，不能用旋转得到，不符合题意； B. 该图形可由轴对称得到，不能用旋转得到，不符合题意； C. 该图形可由旋转得到，符合题意； D. 该图形不能用旋转得到，不符合题意； 故选：C． 5．如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键． 连接，，，分别作，，的垂直平分线交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，、，分别作，，的垂直平分线交点为点B，即点B是旋转中心， 故选：B． 6．兴仁市开展“非遗文化进校园”活动，将布依族刺绣图案进行旋转设计，若将一个图案绕某点旋转后与原图案重合，则该图案的旋转中心是对应点连线的（    ） A．中点 B．端点 C．三等分点 D．四等分点 【答案】A 【分析】图案旋转后与原图案重合，说明图案是中心对称图形，旋转中心是对应点连线的中点． 本题考查了中心对称的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设点P旋转后得到点，旋转中心为O， ∵ 旋转相当于关于点O的中心对称， ∴ O是线段的中点， 因此，旋转中心是对应点连线的中点， 故选：A． 7．如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（   ） A．250 B．249 C．248 D．247 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质、数字类规律，熟练找准规律是解题的关键． 根据题意，发现规律第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为，令，解出的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题知， 第1次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为4， 第2次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为8， 第3次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为9， 第4次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为13， 第5次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为14， 第6次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为18， 依此类推， 所以第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为， 当，即时， ， 即第99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为249， 故选：B． 8．如图，将绕点旋转至的位置，若点恰好落在边上，与相交于点，若的面积比的面积大24，则的面积为（） A．12 B．21 C．24 D．27 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质．由的面积比的面积大24，得到，由旋转的性质得到，再由即可求解． 【详解】解：∵的面积比的面积大24， ∴， ∴， 即， ∵旋转得到， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9．如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到．若，则的长为（   ） A．9 B．12 C．17 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后对应边相等是解题的关键． 直接利用旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据旋转的性质可得：． 故选：B． 10．下列四个图形中，最贴近“将线段绕其端点顺时针旋转”这个描述的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转、线段的定义，根据旋转及线段的定义逐一判断即可求解，掌握旋转及线段的定义是解题的关键． 【详解】解：A、该图形是由线段绕其端点逆时针旋转得到，不合题意； B、该图形是由线段绕其端点顺时针旋转得到，符合题意； C、该图形是由线段绕其端点逆时针旋转得到，不合题意； D、该图形是由射线绕其端点顺时针旋转得到，不合题意； 故选：B． 11．数学课上，老师画出了线段，并通过数学软件中的几何变换得到四条线段（①－④），让同学们对这四条线段进行讨论，下列结论错误的是（   ） A．线段①与线段关于轴对称 B．线段①，③，④是由线段连续旋转得到的 C．线段④与线段②关于点成中心对称 D．线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④ 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的图形，轴对称的图形．根据旋转的图形，轴对称的图形的性质判断即可． 【详解】解：A、线段①与线段关于轴对称，正确，该选项不符合题意； B、线段①与线段关于轴对称，不是旋转得到的，原说法错误，，该选项符合题意； C、线段④与线段②关于点成中心对称，正确，该选项不符合题意； D、线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④，正确，该选项不符合题意； 故选：B． 12．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 【答案】A 【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，根据平移和旋转的性质即可得到结论．正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：①先顺时针旋转， ②∵俄罗斯方块会自动向下平移， ∴我们无需考虑向下平移， ∴向右平移． 故选：A． 二、填空题 13．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同．（填序号） 【答案】1 【分析】本题考查了图形的旋转规律，解题的关键是找出图案循环的周期并通过除法运算确定对应位置． 通过分析图案的旋转规律，确定循环周期为4，用总个数除以周期，根据余数判断对应图案． 【详解】观察可知，图案每4个为一个循环周期．计算，其中余数为1．这表明第2025个图案经过了506个完整周期后，处于新周期的第1个位置，与第1个图案的箭头方向相同．所以第2025个图案与第1个图案箭头方向相同． 故答案为：1． 14．如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点 ，逆时针方向旋转了 度. 【答案】 N 90 【分析】根据对应点到旋转中心的距离相等可确定旋转中心，对应点与旋转中心的连线所形成的角为旋转角进行解答即可． 【详解】解：如图，连接N与两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且对应点与N的连线所成的角是直角，故旋转中心是点N，逆时针方向旋转了90°， 故答案为：N，90． 【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 15．如图①，和都是等腰直角三角形，点在上．绕着点逆时针旋转 后能够与重合．将图①作为“基本图形”绕着点逆时针连续旋转 可得到图②． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是理解旋转的性质，能找对旋转中心、旋转角． 观察图①可知旋转角是，再结合等腰直角三角形的性质求出的度数；图②中是把图①作为基本图形，分析可知旋转角就是，结合图①得到的度数，据此解答． 【详解】解：根据图①可知， ∵和都是等腰直角三角形， ， 即绕点逆时针旋转后能够与重合． 根据图①可知， ∵和都是等腰直角三角形， ， ， ∴将图①作为“基本图形”绕着点逆时针连续旋转可得到图②． 故答案为：、． 16．如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点 ，且 ＝ ， ＝ ， ＝ . 【答案】 O； ； ； ； ； ； 【分析】根据中心对称及中心对称图形的性质可直接进行求解． 【详解】解：∵和 关于点O成中心对称， ∴线段、、它们都经过点O；且，，； 故答案为O；，；，；，． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 17．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，以及矩形的面积公式即可解答． 【详解】解：直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点， 如下图，过点作于点，则阴影部分面积等于矩形的面积， ，， ， 阴影部分的面积之和为． 故答案为：． 18．如图，四边形与四边形关于某一点成中心对称，则这个点是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识点，解题的关键是了解呈中心对称的两个图形的对应点的连线经过对称中心． 连接任意两对对应点，连线的交点即为对称中心，即可解答. 【详解】解：如图所示： 可知：连线的交点为，故对称中心为 故答案为：． 19．如图所示为一个的正方形网格，请在其中标有数字编号的小正方形中选取一个进行阴影标注，使得网格中的阴影部分形成一个中心对称图形．那么应该选择编号 的小正方形涂阴影． 【答案】④ 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】解：只有选取④进行阴影标注，使得网格中的阴影部分能形成一个中心对称图形， 故答案为：④． 三、解答题 20．在如图所示的正方形网格中，按要求画出图形． (1)画出绕点O逆时针旋转后得到的； (2)画出与关于点O对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作关于某点旋转的图形，关于某点中心对称的图形，掌握其方法是解题的关键． （1）利用网格，分别找到各点绕点逆时针旋转的对称点，然后顺次连接起来即可； （2）利用网格，分别找到各点绕点逆时针旋转的对称点，然后顺次连接起来即可； 【详解】（1）解：如图即为所求作； （2）解：如图即为所求作： 21．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，求的面积． 【答案】2 【分析】本题考查旋转的性质，掌握旋转的性质是解题关键． 根据旋转的性质，得到旋转角的度数，再求出，，用面积公式求解即可． 【详解】解：在中，，，，将绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ． 22．如图，和关于点成中心对称，若，，，请在图中画出它们的对称中心，并求出的周长．    【答案】见解析，15 【分析】本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键． 连接，，其交点就是对称中心；依据和关于点成中心对称，即可得到，进而得出的周长． 【详解】解：如图所示，点即为所求；   和关于点成中心对称， ， ，，， 的周长； 答：的周长为15． 23．如图，点为正方形内一点，经逆时针旋转后能与重合. (1)旋转中心是_____，旋转角度最小为_____度； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，说明. 【答案】(1)点，90 (2)等腰直角三角形，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查几何图形的旋转，熟悉“旋转的概念、性质”是解答本题的关键． （1）根据旋转的定义结合已知条件分析解答即可； （2）由旋转的性质可知，，，由此可得是等腰直角三角形； （3）由旋转可得，进而得到，从而证明结论． 【详解】（1）解：∵是正方形， ∴， ∵经逆时针旋转后能与重合， ∴旋转中心是点，旋转角度最小为， 故答案为：点，； （2）解：是等腰直角三角形，理由为 四边形是正方形， ， 由旋转，得，， 是等腰直角三角形； （3）证明：由旋转，得， ， ， ． 24．如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①、②、③、④”，观察图形，回答以下问题． (1)图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转180°，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①、②、③、④”． (2)图1的风车绕中心顺时针旋转2610度后，风叶①到达了图4____的位置、（填入A、B、C、D） (3)图1所示风车绕中心逆时针最少旋转_____度，风叶①也能到达第（2）问中位置． (4)图1所示风车中风叶①最少翻折______次，也能到达第（2）问中位置．（对称轴可以自己选择） 【答案】(1)见解析； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用旋转变换的性质解决问题即可； （2）观察图形可知，旋转一次循环，由可得结论； （3）利用旋转变换的性质判断即可； （4）利用翻折变换作出图形判断即可． 【详解】（1）解：答案见图2，图3； （2）解：观察图形可知，旋转一次循环， ， 所以风叶①到达了图4位置． （3）解：图1所示风车绕中心逆时针旋转度（旋转一周内），风叶①也能到达第（2）问中位置． 故答案为：； （4）解：由如图5可知，最少翻折次，也能到达第（2）问中位置． 故答案为：． 25．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； (2)请画出关于x轴对称的图形． 【答案】(1)见详解， (2)见详解 【分析】本题考查了有关平面直角坐标系中对称作图； （1）按原点对称的性质作出图形，写出点的坐标，即可求解； （2）按关于x轴对称的性质作出图形，即可求解． 【详解】（1）解：如图，为所求作的图形， ； （2）解：如图，为所求作图形， 26．把一副三角尺与按如图所示那样拼在一起，其中三点在同一直线上，，为的平分线． (1)求和的度数； (2)如图，若为的平分线，求的度数； (3)如图，若仍为的平分线，将图中三角尺逆时针旋转度（），请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，图形的旋转，熟练掌握知识点是解题的关键． （）由平角定义得，再根据角平分线的定义得，进而根据角的和差关系即可求解； （）由平角定义得，再根据角平分线的定义得，进而根据角的和差关系即可求解； （）由旋转得，，进而由角平分线的定义得，，再根据角的和差关系即可求解； 【详解】（1）解：∵三点在同一直线上，， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴； （2）解：∵三点在同一直线上，， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴； （3）解：∵三角尺逆时针旋转度时， ∴，， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴． 27．将一副三角板按如图1所示放置在直线上，，，．若三角板固定不动，三角板绕点C以每秒顺时针旋转一周，旋转时间为． (1)当面积最大时，求t的值． (2)如图2，是的平分线，当t的值为____________时，． (3)若在三角板旋转的同时，三角板也绕点C以每秒顺时针旋转，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)35或95 (3)的度数为定值， 【分析】本题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的面积，熟练掌握它们的性质，能进行分类讨论是解题的关键． （1）根据当，此时的边上的高最大，最大值为的长，用旋转度数除以旋转速度即可； （2）根据平分求出和的度数，当时，分旋转度数小于和大于两种情况讨论； （3）用含t的代数式分别表示出旋转后，，，的度数，再根据平分，平分，求出，，，，再求出的度数，即可求出的度数为定值． 【详解】（1）解：如图1，当绕点C顺时针旋转时，，此时的边上的高最大，最大值为的长， 所以，此时面积最大． 因为，， 所以，当面积最大时，． （2）如图， ∵在中，，，平分， ∴， ∴． 当时，设交直线于点G， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， 解得． 如图： 当时，设交直线于点G， ∴． ， ∴， ∴， ∴绕点C再旋转， ∴． 综上所述，当t的值为35或95时，． 故答案为：35或95； （3）的度数为定值，．理由如下： 如图3，由题意，可知旋转后，，，． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.3旋转寒假预习讲义（苏科版） ☛预习内容速览 1. 课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3. 核心考点★精讲讲练 4.强化巩固★综合测试 ☘ 课前预习★目标 ●知道旋转可用于解决几何图形、面积、路径、最短路径等实际与数学问题； ●能在简单问题中确定旋转中心、旋转方向、旋转角度； ●通过旋转把分散条件集中，把不规则图形转化为规则图形； ●会在典型题型（如正方形、等腰三角形、求阴影面积、线段最值）中尝试用旋转思路分析； ●体会转化思想，提升几何直观与推理能力。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1旋转的概念】把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转．．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如∠AOA′），如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点．                  【重点提示】旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 【知识点2旋转的性质】 （1）对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；        （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；    （3）旋转前、后的图形大小和形状完全相同． 【重点提示】图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转． 【知识点3旋转的作图】 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 【重点提示】旋转作图步骤 1. 找：找旋转中心和图形关键点。 2. 连：连接关键点与旋转中心。 3. 转：按方向和角度画出旋转后的线段。 4. 截：截取等长线段，确定对应点。 5. 连：顺次连接对应点，得到旋转后图形。 【知识点4中心对称】 1.中心对称：把图形绕某点旋转 180° 能与另一图形重合。 2.中心对称图形：图形自身绕中心旋转 180° 与自身重合。 3.性质： -对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分； -对应线段平行（或共线）且相等。 【知识点5旋转的应用】（解题关键） 1.常用在： 正方形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形中。 2.解题思路： ◆把分散的线段、角通过旋转集中到一起； ◆构造全等三角形、直角三角形、等腰三角形。 3.常见应用：（1）求线段长度（2）求角度（3）求面积（4）线段最值、路径长 【知识点6 平移、轴对称、旋转的不同】 - 平移：沿直线移动，形状大小不变。 - 轴对称：沿直线翻折，形状大小不变。 - 旋转：绕点转动，形状大小不变。 ✅ 核心考点★精讲讲练 题型1判断生活中的旋转现象 例1．有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 变式1．汽车在笔直的公路上移动属于 现象，车轮绕其车轴的运动属于 现象．（填“平移”或“旋转”） 变式2．我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置运动到位置． (1)上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？ (2)运动有何共同点？ 题型2判断由一个图形旋转而成的图案 例2．香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似 变式1．观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的 通过 （方式）得到的． 变式2．如图，可以由经过怎样的变换而得到？请简要说明变换过程． 题型3找旋转中心、旋转角、对应点 例3．如图，在正方形网格中，一个飞机图案绕某点旋转一定角度后能与另一个飞机图案重合，则旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 变示1．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则其旋转中心可以是点 ． 变式2．在如图所示的正方形网格中，和的顶点均在格点上，易证，可经过一次旋转后与完全重合． (1)请你在图形中确定旋转中心的位置； (2)请直接写出旋转角（）的大小． 题型4求旋转中心的个数 例4．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 变式1．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有 个． 变式2．如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型5旋转中的规律问题 例5．正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 变式1．如图，这个图形是由“基本图案”绕着点顺时针依次旋转 次得到的，每次旋转的角度为 ． 变式2．平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 题型6根据旋转的性质求解 例6．如图，把绕点逆时针旋转得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，为的平分线，且．将四边形绕点逆时针旋转后，得到四边形，且，则的度数是 ． 变式2．如图，将绕点逆时针旋转得到． (1)如图1，当点的对应点恰好落在上时，若，求的长； (2)如图2，，若，求的度数． 题型7根据旋转的性质说明线段或角相等 例7．如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，将绕点A顺时针旋转一定角度得到，若线段，则的长等于 ． 变式2．如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F． (1)写出相等的角：________，________________； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 题型8旋转的性质及辨析 例8．如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 变式1．如图，线段可以看成是线段先绕点C 旋转，再向 平移 小格得到的． 变式2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母． (1)①在图1中，画出线段关于直线对称的线段．连接，线段和直线的关系为______； ②在图1中，将线段AB向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段．连接、，线段和线段的关系为______； (2)在图2中，线段与线段存在旋转变换关系．画出旋转中心O． 题型9画旋转图形 例9．如图，将正方形图案绕中心O按顺时针旋转后，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，是由经过图形的变换得到的，可以看作经过怎样的图形变化得到？下列结论：①一次旋转，一次轴对称；②一次平移，一次轴对称；③2次轴对称；④3次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，、． (1)画出将向下平移6个单位长度得到； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心的坐标是 ． 题型10利用旋转设计图案 例10．如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．如图，△ABC纸片的面积为12cm2，其中一边BC的长为6cm，将其经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙无重叠的长方形BCDE，则长方形的周长为 cm． 变式2．能否通过平移、轴对称和旋转把右边倾斜的树放在左边直立的位置？ 题型11旋转对称图形的识别 例11．将图中所示的风车绕点顺时针旋转，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为 ． 变式2．如图，正六边形是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么图中 (1)三角形沿着___________方向平移_________厘米能与三角形重合； (2)三角形绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形重合； (3)三角形沿着BE所在直线翻折后能与________重合； (4)写一对中心对称的三角形：_________． 题型12求旋转对称图形的旋转角度 例12．如图，正三角形的三个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心逆时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，图形是由一个绕某点连续旋转若干次得到，每次旋转相同角度，则的最小值为 ． 变式2．请设计出两种方案，使图中所示的正六边形绕一点旋转某个角度后，能与自身重合．再用一张半透明的薄纸描出图中的六边形，验证你的设计方案． 题型13画已知图形关于某点对称的图形 例13．在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式1．在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为 ． 变式2．图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上． (1)画出将绕点逆时针旋转得到的，在图中对应处写出“”和“”； (2)画出与关于点成中心对称的，在图中对应处写出“”“”和“”． 题型14画两个图形的对称中心 例14．如图，与关于某点成中心对称，则对称中心是点（   ） A．M B．N C．P D．Q 变式1．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点 ． 变式2．如图，四边形与四边形是成中心对称的两个图形．请试着确定其对称中心的位置． 题型15根据中心对称的性质求面积、长度、角度 例15．如图，正方形的对称中心为点，点均在正方形的边上，四点中有一点是点关于点的对称点，则该对称点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 变式1．如图，等腰直角与等腰直角关于点B中心对称，P为的中点，Q为点P的对称点．若，则P，Q两点间的距离为 ． 变式2．【阅读材料】对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图1所示． 【尝试应用】将图2，图3分成面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹）． 题型16中心对称图形的识别 例16．下列图案，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 变式1．在①圆、②等腰三角形、③等腰梯形、④平行四边形中，是中心对称图形的图形是 ．（填序号） 变式2．如下图，D是的边BC的中点，连接AD并延长至点E，使，连接BE． (1)图中哪两个图形关于点D成中心对称（不用说明理由）？ (2)若的面积为4，求的面积． 题型17判断中心对称图形的对称中心 例17．如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 变式1．如图，E是的斜边上一点，作点E关于的对称点F，G，连接． （1）点F和点G的对称关系为 ． （2）若，则的最小值为 ． 变式2.如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，O为坐标原点，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，的顶点均在格点上，按下列要求作图并解答． (1)将向左平移5个单位得到，点A、B的对应点分别为、，画出． (2)作关于点O成中心对称的，点、的对应点分别为、． (3)与也成中心对称，直接写出对称中心的坐标． 题型18在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 例18．如图所示是的正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形，这样的涂法有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 变式1．如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是 ． 变式2．如图，，线段均在由小正方形组成的方格纸中（点A，B，C，，均在方格纸的格点上）．按要求完成下列各小题． (1)若与关于点O成中心对称（点A，B的对称点分别为点，），在图中画出点O，并补全； (2)在（1）的基础上，在图中画出绕点O逆时针旋转90°的． 题型19中心对称图形规律问题 例19．甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界．规定谁在桌面上放下最后一枚硬币，谁就获胜．获胜的策略是（　　） A．先放者获胜 B．后放者获胜 C．先放者将硬币放到桌面的圆心处 D．后放者将硬币放到桌面的圆心处 变式1．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ． 变式2．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 2．北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．在学校运动场围墙上设计了四幅图案，其中用到旋转变换方式的是（    ） A．   B．   C．   D．   5．如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 6．兴仁市开展“非遗文化进校园”活动，将布依族刺绣图案进行旋转设计，若将一个图案绕某点旋转后与原图案重合，则该图案的旋转中心是对应点连线的（    ） A．中点 B．端点 C．三等分点 D．四等分点 7．如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（   ） A．250 B．249 C．248 D．247 8．如图，将绕点旋转至的位置，若点恰好落在边上，与相交于点，若的面积比的面积大24，则的面积为（） A．12 B．21 C．24 D．27 9．如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到．若，则的长为（   ） A．9 B．12 C．17 D．21 10．下列四个图形中，最贴近“将线段绕其端点顺时针旋转”这个描述的是（   ） A． B． C． D． 11．数学课上，老师画出了线段，并通过数学软件中的几何变换得到四条线段（①－④），让同学们对这四条线段进行讨论，下列结论错误的是（   ） A．线段①与线段关于轴对称 B．线段①，③，④是由线段连续旋转得到的 C．线段④与线段②关于点成中心对称 D．线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④ 12．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 二、填空题 13．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同．（填序号） 14．如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点 ，逆时针方向旋转了 度. 15．如图①，和都是等腰直角三角形，点在上．绕着点逆时针旋转 后能够与重合．将图①作为“基本图形”绕着点逆时针连续旋转 可得到图②． 16．如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点 ，且 ＝ ， ＝ ， ＝ . 17．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 ． 18．如图，四边形与四边形关于某一点成中心对称，则这个点是 ． 19．如图所示为一个的正方形网格，请在其中标有数字编号的小正方形中选取一个进行阴影标注，使得网格中的阴影部分形成一个中心对称图形．那么应该选择编号 的小正方形涂阴影． 三、解答题 20．在如图所示的正方形网格中，按要求画出图形． (1)画出绕点O逆时针旋转后得到的； (2)画出与关于点O对称的． 21．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，求的面积． 22．如图，和关于点成中心对称，若，，，请在图中画出它们的对称中心，并求出的周长．    23．如图，点为正方形内一点，经逆时针旋转后能与重合. (1)旋转中心是_____，旋转角度最小为_____度； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，说明. 24．如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①、②、③、④”，观察图形，回答以下问题． (1)图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转180°，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①、②、③、④”． (2)图1的风车绕中心顺时针旋转2610度后，风叶①到达了图4____的位置、（填入A、B、C、D） (3)图1所示风车绕中心逆时针最少旋转_____度，风叶①也能到达第（2）问中位置． (4)图1所示风车中风叶①最少翻折______次，也能到达第（2）问中位置．（对称轴可以自己选择） 25．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； (2)请画出关于x轴对称的图形． 26．把一副三角尺与按如图所示那样拼在一起，其中三点在同一直线上，，为的平分线． (1)求和的度数； (2)如图，若为的平分线，求的度数； (3)如图，若仍为的平分线，将图中三角尺逆时针旋转度（），请直接写出的度数． 27．将一副三角板按如图1所示放置在直线上，，，．若三角板固定不动，三角板绕点C以每秒顺时针旋转一周，旋转时间为． (1)当面积最大时，求t的值． (2)如图2，是的平分线，当t的值为____________时，． (3)若在三角板旋转的同时，三角板也绕点C以每秒顺时针旋转，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $