精品解析：云南昆明市嵩明县2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题

2025-2026学年上学期期末质量监测 九年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图标既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在所在平面内有一点P，，半径为2.5，则点P与位置关系是（ ） A. 在上 B. 在外 C. 在内 D. 不能确定 3. 积木是一种模块化玩具，它能锻炼玩家的空间思维能力、逻辑思维能力，起源可以追溯到中国古代文明．如图是积木中的一个立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. a是实数， C. 任意画两个圆，这两个圆是等圆 D. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 5. 凉亭是自然与人文的交汇点，它不仅是遮阳避雨的休憩之所，更是园林的诗眼、山水的情怀，体现了天人合一、虚实相生的传统哲学意境．如图1，有一个凉亭，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似地看作是半径为的圆内接正六边形，则这个正六边形地基的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 的值随值的增大而减小 C. 图象位于二、四象限 D. 图象关于原点中心对称 7. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A、B的对应点分别是、，边经过点A，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 9. 如图，在中，．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线经过和两点，则的值为（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 12. 如图，是的内接三角形，连接，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 13. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 14. 如图，A是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形的面积为10，则反比例函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 15. 已知二次函数，则以下结论： ①当时，随的增大而增大；②不论为任何负数，该二次函数的最大值总是3； ③当时，抛物线必过原点；④该抛物线和轴总有两个公共点． 其中正确结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 已知点A(a，﹣2)与点B(3，2)关于原点对称，则a＝___． 17. 近年，二维码逐渐成为了广大人民生活中不可或缺的一部分，如图是一个正方形二维码，小云在二维码内随机掷点，经过大量重复试验，统计数据如下表，根据表中数据可估计点落在黑色阴影部分的概率为____；（结果精确到） 掷点次数 10 100 200 400 500 落在黑色阴影部分次数 5 59 121 241 301 落在黑色阴影部分频率 18. 如图，在中，若，，，则_____． 19. 如图1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r，扇形半径为R，则的值为_____． 三、解答题：本题共8小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到的图形（A的对应点为，B的对应点为，C的对应点为）； （2）在（1）的旋转过程中，点B经过的路径为弧，求弧的长． 22. 某校在“融通古今，厚植文化自信”校园文化建设活动中，数学文化社团的王芳和张华计划从古代的A：刘徽，B：秦九韶，现代的C：陈景润，D：陈省身，四名数学家中，各查找两名数学家的资料制作成文化宣传材料．为了明确分工以及提高效率，王芳和张华决定按如下方式抽签确定分工：将写有四名数学家名字且除所写名字外完全相同的小球放入不透明的盒子中，摇匀后放在桌面上，两人轮流摸球，每次摸出一球，不放回，最后根据各自小球上数学家的名字制作宣传材料． （1）若王芳先摸，第一次摸中写有刘徽名字的小球的概率是_____； （2）若王芳先摸，然后张华再摸，请利用画树状图或列表的一种方法，求两人第一次摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的概率． 23. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，在中，，，点C坐标为． （1）求k的值； （2）求点B的坐标． 24. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且这两根分别是四边形相邻两边，的长． （1）若四边形为菱形，求的值； （2）若四边形为矩形，且该矩形对角线的长为，求的值． 25. 某景区的商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件78元，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）的关系为如图所示的一次函数． （1）求y关于x的函数关系式； （2）设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润=总销售额−总成本）为w元，求w关于x的函数关系式，并求出当x取何值时，w的值最大？最大值是多少？ 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）对于抛物线上两点，，总有，求的取值范围． 27. 如图，在中，，D为边上一点，且，以为直径作交于点G，E为上一点，连接，． （1）求的度数； （2）求证：是的切线； （3）若的半径，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期末质量监测 九年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图标既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一分析各个选项的图形即可． 【详解】解：A项：该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，也不能沿着某条直线翻折后与原图形重合，所以不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误； B项：该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，也不能沿着某条直线翻折后与原图形重合，所以不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误； C项：该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，但能沿着某条直线翻折后与原图形重合，所以是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C错误； D项：该图形能绕某点旋转后与原图形重合，也能沿着某条直线翻折后与原图形重合，所以是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确， 故选：D． 2. 在所在平面内有一点P，，半径为2.5，则点P与位置关系是（ ） A. 在上 B. 在外 C. 在内 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心O的距离与半径的大小即可判断位置关系，熟练掌握该知识点是解题关键． 【详解】解：∵，的半径，且 ∴点P在外， 故选：B． 3. 积木是一种模块化玩具，它能锻炼玩家的空间思维能力、逻辑思维能力，起源可以追溯到中国古代文明．如图是积木中的一个立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查立体图形的三视图，通过观察可直接得出从上面看这个几何体的形状图即可． 【详解】解：该积木的俯视图即从上面看，其形状图为D项， 故选：D． 4. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. a是实数， C. 任意画两个圆，这两个圆是等圆 D. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，根据随机事件的定义，逐一分析各选项事件的类型即可得出答案． 【详解】解：∵“两点之间，线段最短”是必然成立的公理，属于必然事件，故A选项不符合题意； ∵实数的绝对值是非负数，即，不可能发生，属于不可能事件，故B选项不符合题意； ∵任意画两个圆，可能是等圆，也可能不是等圆，结果具有不确定性，属于随机事件，故C选项符合题意； ∵“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是必然成立的定理，属于必然事件，故D选项不符合题意， 故选：C． 5. 凉亭是自然与人文的交汇点，它不仅是遮阳避雨的休憩之所，更是园林的诗眼、山水的情怀，体现了天人合一、虚实相生的传统哲学意境．如图1，有一个凉亭，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似地看作是半径为的圆内接正六边形，则这个正六边形地基的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，正多边形和圆的综合，先求出，再证明是等边三角形，从而可求得正六边形地基的周长． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴这个正六边形地基的周长为， 故选：A． 6. 关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 的值随值的增大而减小 C. 图象位于二、四象限 D. 图象关于原点中心对称 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质． 根据反比例函数的性质逐一分析选项即可． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴， ∵当时，， ∴图象经过点，而非，故A错误； 时，仅在每个象限内y的值随x值的增大而减小，选项B未限定象限，故B错误； ∵， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，故C错误； 反比例函数的图象均关于原点中心对称，故D正确； 故选：D． 7. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A、B的对应点分别是、，边经过点A，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，由旋转前后对应边，对应角相等，可得，，，由三角形外角的性质可得，由等边对等角得出，即可求解． 【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8. 如图，直线，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， 即， 解得：． 故选：B． 9. 如图，在中，．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比即为锐角的正弦，由此即可计算． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 10. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用之连续增长率问题，根据连续增长的数量关系列方程是解题关键，连续两次以相同增长率增长时，最终量=初始量×． 【详解】解：∵设增长率为x，第一周票房为8.98亿元， ∴第二周票房为亿元， ∴第三周票房为亿元， 又∵第三周票房收入达12.93亿元， ∴可列方程为， 故选：B． 11. 已知抛物线经过和两点，则的值为（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式． 根据待定系数法求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过和两点， ∴， 解得：． 故选：C． 12. 如图，是的内接三角形，连接，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，由是的内接三角形，，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数． 【详解】解：∵是的内接三角形，， ∴， 故选：A． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程根的判别式，根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．解题的关键是熟知根的判别式的运用． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 即：， 解得：， ∵关于x的一元二次方程中， 则k的取值范围是且． 故选：D． 14. 如图，A是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形的面积为10，则反比例函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中k的几何意义，过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即，再根据反比例函数的图象所在的象限确定k的值，即可求出反比例函数的解析式． 【详解】解：由图象上的点所构成的矩形面积为10可知， ，， 又∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 故选：D． 15. 已知二次函数，则以下结论： ①当时，随的增大而增大；②不论为任何负数，该二次函数的最大值总是3； ③当时，抛物线必过原点；④该抛物线和轴总有两个公共点． 其中正确结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据解析式可以得到函数的顶点坐标是，对称轴是直线，进而可判断①②，当时，函数的解析式是，将代入判断是否为即可判断③，根据顶点坐标及开口方向即可判断④． 【详解】解：根据解析式可以得到函数的顶点坐标是，对称轴是直线，则当时，y随x的增大而减小，故①错误； 顶点坐标是，开口向下，则函数的最大值是3，则②正确； 当时，函数的解析式是，将代入得，即函数不经过原点，故③错误； 顶点坐标是，开口向下，则该抛物线和x轴总有两个公共点，故④正确． 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 已知点A(a，﹣2)与点B(3，2)关于原点对称，则a＝___． 【答案】﹣3 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可． 【详解】解：∵点A（a，﹣2）与点B（3，2）关于原点对称， ∴a＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是Q（﹣x，﹣y）是解题的关键． 17. 近年，二维码逐渐成为了广大人民生活中不可或缺的一部分，如图是一个正方形二维码，小云在二维码内随机掷点，经过大量重复试验，统计数据如下表，根据表中数据可估计点落在黑色阴影部分的概率为____；（结果精确到） 掷点次数 10 100 200 400 500 落在黑色阴影部分次数 5 59 121 241 301 落在黑色阴影部分频率 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据频率求概率． 根据表格作答即可． 【详解】解：根据表中数据可知，随着掷点次数增加，落在黑色阴影部分的频率逐渐趋向， 则点落在黑色阴影部分的概率为． 故答案为：． 18. 如图，在中，若，，，则_____． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：45． 19. 如图1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r，扇形半径为R，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图与底面圆的关系，根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出关系式即可得到两个半径之间的关系． 【详解】解：∵恰好围成图2所示的一个圆锥模型， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得，． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到的图形（A的对应点为，B的对应点为，C的对应点为）； （2）在（1）的旋转过程中，点B经过的路径为弧，求弧的长． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换及弧长公式的应用． （1）分别连接，，，再依次顺时针旋转，找到对应的点，，，最后依次连接即可； （2）先利用勾股定理求得的长，再利用弧长公式即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，旋转过程中，点B的路径长为以点O为圆心，为半径的圆周的长， ∵， ∴， 即弧的长为． 22. 某校在“融通古今，厚植文化自信”校园文化建设活动中，数学文化社团的王芳和张华计划从古代的A：刘徽，B：秦九韶，现代的C：陈景润，D：陈省身，四名数学家中，各查找两名数学家的资料制作成文化宣传材料．为了明确分工以及提高效率，王芳和张华决定按如下方式抽签确定分工：将写有四名数学家名字且除所写名字外完全相同的小球放入不透明的盒子中，摇匀后放在桌面上，两人轮流摸球，每次摸出一球，不放回，最后根据各自小球上数学家的名字制作宣传材料． （1）若王芳先摸，第一次摸中写有刘徽名字的小球的概率是_____； （2）若王芳先摸，然后张华再摸，请利用画树状图或列表的一种方法，求两人第一次摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，列表法或树状图法求概率等知识点，熟练掌握概率公式的含义及列表法或树状图法求概率的基本步骤是解题的关键． （1）由盒子中的小球可知，共有种等可能的结果，其中第一次摸中写有刘徽名字的小球的结果有种，然后根据概率公式即可直接得出答案； （2）根据题意列表，由列表可知，共有种等可能的结果，其中两人第一次摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的结果有种，于是根据概率公式即可直接得出答案． 【小问1详解】 解：由盒子中的小球可知，共有种等可能的结果，其中第一次摸中写有刘徽名字的小球的结果有种， （第一次摸中写有刘徽名字的小球的概率）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： 王芳 张华 A B C D A B C D 由列表可知，共有种等可能的结果，其中两人第一次摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的结果有种， （两人第一次摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家）． 23. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，在中，，，点C坐标为． （1）求k的值； （2）求点B的坐标． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式及全等三角形的判定与性质． （1）先求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值； （2）作轴于D，轴于E，通过证得，即可求得． 【小问1详解】 解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：如图，作轴于D，轴于E， ∵，， ∴,， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 24. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且这两根分别是四边形相邻两边，的长． （1）若四边形为菱形，求的值； （2）若四边形为矩形，且该矩形对角线的长为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据题意得，进一步得，最后解方程即可； （2）由根与系数的关系得，，，进一步得，再根据勾股定理建立方程，最后求解并检验即可． 【小问1详解】 解：若四边形为菱形，则， ∴关于的一元二次方程有两个相等实数根， ， 即， 解得 ． 答：的值为． 【小问2详解】 解：由题意可知，，的长为方程的两个实数根， ，， ． 当四边形为矩形时，则有， 即， 解得，或． ，且，, 且， ． 答：的值为． 25. 某景区的商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件78元，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）的关系为如图所示的一次函数． （1）求y关于x的函数关系式； （2）设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润=总销售额−总成本）为w元，求w关于x的函数关系式，并求出当x取何值时，w的值最大？最大值是多少？ 【答案】（1） （2）w与x之间的函数关系式为，当时，w的值最大，最大值为625 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）直接利用待定系数法求一次函数解析式得出即可； （2）利用总利润=总销售额−总成本，进而得出w与x的函数关系式，进而根据二次函数的性质得出最值． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为：， 将和代入得：， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：由题意可得出：， ∵销售单价不低于成本价，又不高于每件78元，即， 又∵对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大，当时，w随x的增大而减小， ∴当时，， 即w与x之间的函数关系式为，当时，w的值最大，最大值为625． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）对于抛物线上两点，，总有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）把抛物线的解析式化为顶点式即可得到答案； （2）由图象知抛物线过， 分别找出P点和关于对称轴的对称点坐标，然后分类讨论Q点在对称轴的左侧或右侧，利用二次函数的增减性根据得到各点横坐标的大小关系，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为 【小问2详解】 解∶ ，对称轴为直线， 在对称轴左侧，随增大而增大；在对称轴右侧，随增大而减小． ， 点在对称轴的左侧， 则关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 由抛物线解析式知抛物线过点，此点在对称轴右侧， 则关于对称轴的对称点在抛物线对称轴的左侧， 考虑总有 若在对称轴左侧， 则， 即； 若在对称轴右侧， 则， 即． 综上所述：或． 27. 如图，在中，，D为边上一点，且，以为直径作交于点G，E为上一点，连接，． （1）求的度数； （2）求证：是的切线； （3）若的半径，，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （3） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质． （1）由直径所对圆周角为直角即可得出结果； （2）根据等腰三角形的性质得到，，求得，根据切线的判定定理得到结论； （3）设与交于点F，连接，根据圆周角定理得到，即，求得，且F为的中点，得到，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，设，则，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵是的直径，点G是上的一点， 由直径所对圆周角为直角知，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，设与交于点F，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∴，且F为的中点， ∵的半径，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $