精品解析：山东济宁泗水县2025-2026学年度第一学期阶段质量监测 八年级数学试题

2025-2026学年度第一学期阶段质量监测 八年级数学试题 （考试时间120分钟 满分：120分） 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、幂的乘方、整式加减及同底数幂的除法，熟知以上运算法则是正确解答此题的关键． 根据二次根式的化简、幂的乘方、整式加减及同底数幂的除法的法则逐选项判断即可． 【详解】解：A．，此选项不正确，不符合题意； B．，此选项不正确，不符合题意； C．，此选项不正确，不符合题意； D．，此选项正确，符合题意； 故选：D． 2. 要使有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可进行解答． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键在掌握二次根式被开方数为非负数． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用分式的加法运算、积的乘方运算、二次根式的乘法运算法则、完全平方公式分别计算得出答案，进行判断即可． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了分式的加法、积的乘方运算、二次根式的乘法运算、完全平方公式，正确运用相关运算法则是解题关键． 4. 如图，在中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，取的中点，连接，，先证明为等腰直角三角形，得出，然后得出当时，取最小值，则也取最小值，最后直角三角形的性质和勾股定理求出的值即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，， ，， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 当时，取最小值，此时的值也最小， ， ， ， ∴， 的最小值为， 此时，的最小值为． 故选：A． 5. 估计的值应在（ ） A. 18到19之间 B. 19到20之间 C. 20到21之间 D. 21到22之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 根据二次根式的混合运算化简，估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解： ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 即的值应在20到21之间， 故选：C． 6. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）． A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数，如果所给的式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【详解】解：若代数式在实数范围内有意义，则，， ∴实数x的取值范围是且． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数． 7. 如图，为等边三角形，，的平分线交于点，为上一动点，连接，以为边在右侧作等边，连接，则的周长的最小值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动（），作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小，即此时的周长最小，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接． ，是等边三角形， ，，， ， ， ． 平分， ，， ， 点在射线上运动，且． 作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，即有， ． 当三点共线时，有最小值 此时的值最小，最小为， 即周长有最小值，最小值为． 根据对称性可知， ． ， 是等边三角形， ． ， ， ， 周长的最小值为， 故选C． 【点睛】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹． 8. 如图，，，点在上，四边形是矩形，连接，交于点，连接交于点．下列4个判断：①；②；③；④若点是线段的中点，则为等腰直角三角形，其中，判断正确的是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可判断①；先根据等腰三角形的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后根据角的和差即可判断②；先证出，从而可得，再设，从而可得，由此即可判断③；先证出，从而可得，再根据等腰三角形的定义可得为等腰三角形，然后根据角的和差可得，由此即可得判断④． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， （等腰三角形的三线合一），则①正确； ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ，则②错误； ， （等腰三角形的三线合一）， 在和中，， ， ， 设， ， ， ， ， ，则③正确； ， ， 点是线段的中点， ， 在和中，， ， ， 为等腰三角形， ， ，即， 为等腰直角三角形，则④正确； 综上，判断正确的是①③④， 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，二次根式的除法运算等知识点，较难的是④，正确找出两个全等三角形是解题关键． 9. 已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 故选：A． 10. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简运算、因式分解及分母有理化，解题的关键是对分母进行因式分解，建立分母与分子的数量关联，通过约分简化表达式后完成分母有理化． 先对分母提取公因式 2 进行初步变形；再观察发现分子与的乘积等于分母提取公因式后的剩余部分，据此将分母表示为含分子的形式；约去分子与分母的公因式，最后对剩余分式进行分母有理化，得出结果后对比选项． 【详解】解：原式 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 11. 计算：_________． 【答案】 0 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算和算术平方根的化简，解题的关键是正确掌握（）以及的运算法则； 先分别计算和，再进行减法运算． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 计算：（）×＝___． 【答案】9 【解析】 【分析】先化简括号内的式子，然后根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：（ ﹣ ）× ＝（2﹣ ）× ＝2×﹣× ＝12﹣3 ＝9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的去处法则． 13. 小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表： 输入 ．．．．．． 输出 ．．．．．．． 那么当输入数据为8时，输出的数据是_________________ 【答案】 【解析】 【分析】观察数据可得输入的数据先求算术平方根，然后乘以，即可求解． 【详解】依题意，，，，…… ∴当输入数据为8时，输出的数据是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，数字类规律题，找到规律是解题的关键． 14. 若有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：有意义的条件是， 解不等式得， 故答案为：． 15. 如图，在中，于点，为上一点，且，，连接，若为的中点，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识．证明，由全等三角形的性质得出，证出，过点作于点，作于点，由全等三角形的性质得出，，得出，由角平分线的性质，再根据，求出的长，最后利用等腰直角三角形的性质得出结论． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作于点，作于点， ， ，， ，， ， 平分； ， ， ，为的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 已知，那么算式的值为___________． 【答案】或6 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，由可得，再运用二次根式的混合运算法则化简原式可得，然后将代入化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 当时，； 当时，． 综上，该代数式的值为或6． 故答案为：或6． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，二次根式的乘法． 先计算乘方、绝对值、二次根式的乘法、零指数幂，再计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值： （1），其中． （2），其中． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先对分式进行化简，然后代数求值即可； （2）先对分式进行化简，然后代数求值即可． 【小问1详解】 解： 将代入上式得， 原式； 【小问2详解】 解： 将代入上式得， 原式． 19. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组：并写出它的所有整数解． 【答案】（1）；（2），所有整数解为：，，． 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则及不等式组的解法是解本题的关键． （1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可． 【详解】（1）解： 当时，原式 （2）解不等式①得： 解不等式②得： 不等式组的解集为： 它的所有整数解为：，， 20. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别为，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，再根据点，分别为，的中点，得到四边形的对角线互相平分，从而得证； （2）运用勾股定理求出，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求出即可． 【小问1详解】 证明：在平行四边形中，对角线，交于点， ，， 点，分别为，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ，， ， ， 点为的中点，， ． 【点睛】掌握平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 21. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是，和，因为，所以这个三角形是常态三角形． （1）若三边长分别是，和，则此三角形______常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为______； （3）如图，中，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长． 【答案】（1）是 （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）直接利用常态三角形的定义判断即可； （2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案； （3）分两种情况利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出的长，再根据勾股定理求得的长． 【小问1详解】 解：， 此三角形是常态三角形， 故答案为：是； 【小问2详解】 是常态三角形， 设两直角边长为，，斜边长为， ，， ， ， 设，， 则， 此三角形的三边长之比为， 故答案为：； 【小问3详解】 是常态三角形， ， ，， ， （负值已舍）， ， ， 在中，由勾股定理得，． 当时， ∵， ∴， 在中根据勾股定理得：， ∴的长为或． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及新定义．正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键． 22. 材料一：若a是正整数，a除以3的余数为1，则称a是“三拖一数”．例如：13是正整数，且，则13是“三拖一数”． 材料二：对于任意四位正整数p，p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数材字为d，规定：． 请根据以上材料，解决下列问题： （1）判断：124，1838是不是“三拖一数”？并说明理由； （2）若四位正整数p是“三拖一数”，p的千位数字的2倍与个位数字的和等于9，百位数字与十位数字的和等于8，是有理数，求所有满足条件的p． 【答案】（1）124是“三拖一数”，1838不是“三拖一数”，理由见解析． （2）所有满足条件的p的值为1717、4081、4531． 【解析】 【分析】(1)根据“三拖一数”的定义即可一一判定； (2) 任意四位正整数p，设p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数字为d，则p=1000a+100b+10c+d，根据题意可知：2a+d=9，b+c=8，化简整理可得p=4500+99b+9c-498d+b+cd，若p为“三拖一数”，则b+cd必须为“三拖一数”，可设b+cd=3k+1（且k为整数），则k=，分类讨论可确定d=7、a=1或d=1、a=4，再根据是有理数，则是有理数的完全平方数，列出情况分类讨论即可确定满足条件的p． 【小问1详解】 解：124是“三拖一数”，1838不是“三拖一数” 理由如下： 124是“三拖一数” 1838不是“三拖一数” 【小问2详解】 解：任意四位正整数p，设p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数字为d，则p=1000a+100b+10c+d， 根据题意可知：2a+d=9，b+c=8 p是“三拖一数”且能被3整除， 是“三拖一数”， 设（且k为整数）， ， 当时 ，，， 当时 ，，（舍）， 当时 ，，， 因为有理数，则是有理数的完全平方数， ， 当，， ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=； ，时，=（舍）； 当，， ，时，=； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； ，时，=（舍）； 综上，所有满足条件的p的值为1717、4081、4531． 【点睛】本题考查了新定义运算，列代数式，二次根式的求值问题，应用了分类讨论的思想，理解题意，逐条件分析是解决本题的关键． 23. 双重二次根式为形如的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如的形式，再开根号即可完成化简．请完成下列题目： （1）若，试化简代数式； （2）解方程：； （3）直接写出代数式的化简结果． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，考查二次根式的化简，完全平方公式和平方差公式，考查计算能力，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的非负性，求出的值，然后代数利用完全平方式进行求值即可； （2）利用完全平方式和平方差公式进行求解即可； （3）利用完全平方式进行求解即可． 【小问1详解】 解：由得， ， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解： ，经检验，符合题意； 【小问3详解】 解： ∵ 即 ∴， ∴． 24. 在平行四边形中，，，将沿对角线翻折，点的对应点为点，线段与边交于点． （1）如图，，求的度数； （2）若是以为腰的等腰三角形，求线段的长； （3）如图，连接，的延长线交于点，的延长线交于点，当点至的距离最小值时，求出此时的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，再根据轴对称的性质得出，然后根据得出结论即可； （2）分和两种情况分别求出的长度即可； （3）先得出当时，点到的距离最小，求出此时的面积即可． 【小问1详解】 解：在平行四边形中，， ， 根据轴对称的性质可知，， ， 的度数是； 【小问2详解】 解：分两种情况： 若， 如图，延长交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在平行四边形中，， ， ， 根据轴对称的性质可知，， ， ， ， ，， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ， 根据轴对称的性质可知，，， ， ， ； 若， 如图， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 根据轴对称的性质可知，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； 综上所述，线段的长为或； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 则， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 若要最小，则最小即可， 即当时，最小，过点作于点，过点作于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， 根据轴对称的性质可知，， 又， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， 又， 根据轴对称的性质可知，， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 当点至的距离最小值时，此时的面积为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段质量监测 八年级数学试题 （考试时间120分钟 满分：120分） 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 5. 估计的值应在（ ） A. 18到19之间 B. 19到20之间 C. 20到21之间 D. 21到22之间 6. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）． A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，为等边三角形，，的平分线交于点，为上一动点，连接，以为边在右侧作等边，连接，则的周长的最小值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 8. 如图，，，点在上，四边形是矩形，连接，交于点，连接交于点．下列4个判断：①；②；③；④若点是线段的中点，则为等腰直角三角形，其中，判断正确的是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ③④ 9. 已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（ ） A. B. C. D. 10. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 11. 计算：_________． 12. 计算：（）×＝___． 13. 小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表： 输入 ．．．．．． 输出 ．．．．．．． 那么当输入数据为8时，输出的数据是_________________ 14. 若有意义，则的取值范围是______． 15. 如图，在中，于点，为上一点，且，，连接，若为的中点，则_____． 16. 已知，那么算式的值为___________． 三、解答题 17. 计算：． 18. 先化简，再求值： （1），其中． （2），其中． 19. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组：并写出它的所有整数解． 20. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别为，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求线段的长． 21. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是，和，因为，所以这个三角形是常态三角形． （1）若三边长分别是，和，则此三角形______常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为______； （3）如图，中，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长． 22. 材料一：若a是正整数，a除以3的余数为1，则称a是“三拖一数”．例如：13是正整数，且，则13是“三拖一数”． 材料二：对于任意四位正整数p，p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数材字为d，规定：． 请根据以上材料，解决下列问题： （1）判断：124，1838是不是“三拖一数”？并说明理由； （2）若四位正整数p是“三拖一数”，p的千位数字的2倍与个位数字的和等于9，百位数字与十位数字的和等于8，是有理数，求所有满足条件的p． 23. 双重二次根式为形如的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如的形式，再开根号即可完成化简．请完成下列题目： （1）若，试化简代数式； （2）解方程：； （3）直接写出代数式的化简结果． 24. 在平行四边形中，，，将沿对角线翻折，点的对应点为点，线段与边交于点． （1）如图，，求的度数； （2）若是以为腰的等腰三角形，求线段的长； （3）如图，连接，的延长线交于点，的延长线交于点，当点至的距离最小值时，求出此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $