精品解析：山西太原新希望双语学校2025-2026学年高一年级第一学期期末检测数学试题

太原新希望双语学校 2025~2026学年度第一学期高一年级期末检测 数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 4 3. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 函数满足对任意的且，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 8. 如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（ ） A. B. C. 盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D. 盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列函数中，最小正周期为的偶函数的有（ ） A. B. C. D. 10. 定义在实数集上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为2 B. 方程有5个根 C. 函数的值域为 D. 函数在上递增 11. 已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. 最大值为2 B. 的图象关于对称 C. 函数为偶函数 D. 函数在上单调递增 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 13. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 14. 已知函数，若，使得，且的最小值为，则的值为_________；若将的图象向右平移个单位长度后所得函数图象关于直线对称，则在区间上的最小值为_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设集合，集合． （1）若，求和； （2），求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）当时，求函数的值域； （2）若的定义域为，求实数的取值范围； （3）若在上单调递增，求实数的取值范围. 17. 已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. （1）求的值； （2）求的值； （3）记点B的横坐标为，则，求的值. 18. 如图，是函数图象的一部分 （1）求函数的解析式： （2）函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围： （3）若关于的方程在上有解，求实数a的取值范围 19. 定义：若对定义域内任意，都有（且为常数），则称函数为“距”减函数． （1）若，判断是否为“1距”减函数，并说明理由； （2）若是“距”减函数，求实数的取值范围； （3）已知，其中，若是“2距”减函数，求实数的取值范围及的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原新希望双语学校 2025~2026学年度第一学期高一年级期末检测 数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解. 【详解】集合，所以. 2. 若，，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据指数对数转化得出，再根据对数运算律计算求值. 【详解】由，可得，因为， 则. 故选：D. 3. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求得和的值，结合两角和的余弦公式，即可求解. 【详解】由，，可得，， 则. 故选：D. 4. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性可得，结合单调性可得，从而得解. 【详解】由函数是定义在R上的偶函数，可得：. 且在区间上单调递增， 所以，解得：. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题的关键是得到，属于基础题. 5. 函数满足对任意的且，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合函数单调性定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合反比例函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】由函数满足对且，都有， 可得函数在上单调递增，因此， 解得，则实数的取值范围是. 故选：D 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造函数或者利用对数的运算性质转换来逐步分析它们的大小. 【详解】比较和，采用作差法，将和转化为同底数形式来比较. 利用换底公式，则，. 计算. 根据基本不等式，对于和，有. 而，即. 所以，也就是，即. 比较与的大小，同样利用换底公式，，. 计算. 由基本不等式，对于和，. 且，即. 所以，也就是，即. 综上可得. 故选：B. 7. 已知，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用诱导公式化简已知条件，得到，再结合同角三角函数的基本关系，将进行化简，将代入即可求解. 【详解】根据诱导公式可得 ， 即 ，所以 ， 则， 因为，则，而又因为， 所以， 将 代入得： ； 故选：D 8. 如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（ ） A. B. C. 盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D. 盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出判断AB；求出点的位置判断C；解不等式判断D. 【详解】点到水面的距离与时间之间的关系为， 对于A，依题意，，则，A错误； 对于B，由时，得，即，而，则，B错误； 对于C，，令，得， 解得，则，解得， 即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误； 对于D，由，得，即， 则，解得， 所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确. 故选：D 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列函数中，最小正周期为的偶函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的图象性质逐项判断得解. 【详解】对于A，函数是偶函数，且最小正周期为，A是； 对于B，函数是偶函数，且最小正周期为，B是； 对于C，函数不具有周期性，C不是； 对于D，函数是偶函数，且最小正周期为，D是. 故选：ABD 10. 定义在实数集上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为2 B. 方程有5个根 C. 函数的值域为 D. 函数在上递增 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由题可得，据此可判断的周期；对于B，由题可得在上的解析式，结合A分析，可得在R上的大致图像，将图像与图像画在同一坐标系中，由交点个数，可判断方程根的个数；对于CD，由B分析中所绘图像可判断选项正误. 【详解】对于A，由题可得，则不是的一个周期，故A错误； 对于B，因时，，. 则时，，则在上的解析式. 又结合A分析，可得的一个周期为4，画出在上，即一个周期内的图像，利用周期性，可得在上的大致图像， 将图像与图像画在同一坐标系中，如下图所示：则两函数图像有个交点，即方程有个根，故B正确； 对于C，由B中所绘图像可得值域为，故C正确； 对于D，由B中所绘图像，可得在上单调递减，又的一个周期为， ，， 则在上单调递减，故D错误． 故选：BC 11. 已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. 最大值为2 B. 的图象关于对称 C. 函数为偶函数 D. 函数在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，利用伸缩变换得到，再逐项判断. 【详解】因为函数， 所以将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变， 得到函数， 则的最大值为2，故A正确； 因为，所以的图象不关于对称，故B错误； 因为，所以函数为偶函数，故C正确； 因为，所以， 所以在上单调递增，故D正确； 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，分段判断代入求值. 【详解】函数， 所以. 故答案为： 13. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知函数，若，使得，且的最小值为，则的值为_________；若将的图象向右平移个单位长度后所得函数图象关于直线对称，则在区间上的最小值为_________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据题意可得最小正周期满足，再由，求出，再根据三角函数的平移变换可得，由对称轴可得，，进而求出，再根据三角函数的性质即可求解. 【详解】因为的最大值和最小值分别为和， 又，所以，中一个为最大值，一个为最小值， 因为的最小值为，所以的最小正周期满足， 所以，故. 将的图象向右平移个单位长度后， 所得图象对应的函数为， 由题意可知，直线是图象的一条对称轴， 所以，，所以，， 又，令，则，所以. 因为，所以， 所以在区间上为减函数， 故最小值为. 故答案为：2； 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设集合，集合． （1）若，求和； （2），求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集并集概念计算；在求取值范围时， （2）根据集合间的包含关系构造不等式组，来确定参数的取值范围. 【小问1详解】 若，则， 所以， 【小问2详解】 因为，所以， 当时，满足，此时； 当时，要使，则，解得 综上，实数的取值范围为 16. 已知函数． （1）当时，求函数的值域； （2）若的定义域为，求实数的取值范围； （3）若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入，由，利用对数型复合函数单调性求值域； （2）将条件转化为在上恒成立，利用计算即可； （3）根据对数型复合函数的单调性进行判断计算. 【小问1详解】 当时，， 令，则， 对数函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 若的定义域为，则在上恒成立， 所以. 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 二次函数开口向上，对称轴为， 对数函数在上单调递增， 若在上单调递增， 则. 所以实数的取值范围是. 17. 已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. （1）求的值； （2）求的值； （3）记点B的横坐标为，则，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数的定义和三角函数的基本关系式求解. （2）利用三角函数的诱导公式及正余弦齐次式法求解. （3）由已知求出锐角，由点B的横坐标可得，再利用诱导公式化简即可. 【小问1详解】 由锐角的终边与单位圆相交于点，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，所以 . 【小问3详解】 由为锐角，且，得，依题意，， 所以 . 18. 如图，是函数图象的一部分 （1）求函数的解析式： （2）函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围： （3）若关于的方程在上有解，求实数a的取值范围 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图中的最值和周期求出和，再利用特殊点求得，即可得解. （2）令，则问题可以转换为在有且仅有两个实根求解即可. （3）由（1）的结论，结合给定方程，把问题转化为关于的一元二次方程在指定区间上有解求解. 【小问1详解】 观察函数图象，得，的最小正周期，则， 即，由，得，又，则，解得， 所以. 【小问2详解】 令，则， 由函数在区间上有且仅有两个零点， 得方程在有且仅有两个实根， 由，得或，则所求两个根为， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 由，得， 即，整理得， 由，得，则，令， 依题意，，方程有解， 函数在上都单调递减，则函数在上单调递减， 函数在的值域为，因此，解得， 所以实数a的取值范围是. 19. 定义：若对定义域内任意，都有（且为常数），则称函数为“距”减函数． （1）若，判断是否为“1距”减函数，并说明理由； （2）若是“距”减函数，求实数的取值范围； （3）已知，其中，若是“2距”减函数，求实数的取值范围及的最大值． 【答案】（1）是，理由如下： 因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 所以是“1距”减函数. （2） （3）； 当时，函数的最大值为，当时，函数的最大值为. 【解析】 【分析】（1）分析函数的单调性，即可，再根据“1距”减函数的概念做出判断. （2）根据“距”减函数的概念可得对恒成立，再根据可求的取值范围. （3）根据“2距”减函数，结合指数函数的单调性，可求参数的取值范围；再结合二次函数的对称轴和区间的位置关系进行讨论，求函数的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意对恒成立， 即对恒成立. 由， 因为，所以对恒成立. 所以， 结合，得. 即的取值范围为. 【小问3详解】 由对恒成立. 因为当，，所以. 故实数的取值范围为. 设，，. 当即时，在上单调递增， 所以，所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 综上，当时，函数的最大值为， 当时，函数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $