浙江省杭州第二中学2025-2026学年高一上学期数学周末练4

浙江者抗州第二中學 HANG ZHOU No 2 HIGH SCHOOL OF ZHE JIANG PROVINCE 杭二2025级高一上 周末练4 一、选择题 本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.已知集合A={x∈N|1≤x≤4}，B={x|2≤x≤3}，C={x|x2=9},则 (A∩B)UC=B. A.{2,3} B.{-3,2,3} C.{-3,3 D.{-3,2,3,4} 解法二 A={1,2,3,4}→A∩B={2,3},C={-3,3}→(A∩B)UC={-3,2,3} 2.命题p:3x≤0，x2-2x+a≤0的否定是C· A./x>0,x2-2x+a≤0 B.3x>0,x2-2x+a≤0 C.x≤0，x2-2x+a>0 D.3x≤0，x2-2x+a>0 解法一 命题p:3x≤0，x2-2x+a≤0的否定，把3改为V,x2-2x+a≤0取反 即q:Vx≤0，x2-2x+a>0 3.中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为a,b,c的 三角形，其面积S可由公式S=Vpp-a0-bp-可求得，其中p=2(a+b+c,这个 公式也被称为海伦·秦九韶公式，现有一个三角形边长满足a+b=14,c=6,则此三角形面 积的最大值为C.....() A.6 B.12 C.610 D.1210 解法一 p=10→S=√/40(10-a)(10-b)≤/40× [(10-a)+(10-b)]2) =6v10,当且仅当 4 a=b=7时取等 4.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是B· …………( A.若a>b>0,则ac2>bc2 B若a<i<0.则a+话<6+月 1 a .bb+c C.若0<a<b<c,则a<a+c b2.a2 D.若a>0,b>0,则a+b≤a+b a 第1页共8页 浙江者抗州第二中學 HANG ZHOU No 2 HIGH SCHOOL OF ZHE JIANG PROVINCE 解法一 A选项反例c=0,A错 B选项a<b<0→石-a=ab 1 1-10-0之0<b-0字a+方<b+B正确 b+c C选项：0<a<b<c→ab+ac<ab+bc→a(b+c)<b(a+c)→二 ,C错 aa+c b2,a2、(a+b)2 D选项。+≥ a+b =a+b,权方和不等式，D错 5.已知a,b,c,d是实数，则“a>b且c>d”是“a·c+b·d>b·c+a·d”的A·() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 懈法一 a·c+b:d>b:c+a·d可变形为a(c-d)>b(c-d) a>b且c>d→a(c-d)>b(c-d),a(c-d)>b(c-d)#a>b且c>d,选A 6.已知a>0,b>0,且ab-2b+1=0,则1+96的最小值D. .( A.4 B.6 C.7 D.8 解法一 ab-2b+1=0→b= 1 1 1+9b=。+2- ≥驾-8取等条件为日2。当且仅当a=号6-号时取等 1,9 16 13 1 a 解法二 9 9 1 2-a=(a+2-a (2-a+a)×2 2-a +1+9+2-a) 9a ×2≥(10+60)×2=8，取等条件为2_0=90 1 1 2-a 当且仅当 a d= 2b= 气时取等 解法三 1 ab-2b+1=0÷a+ b2 1入1 → +96=11 +9ba+ a 6)=2 1+品+0+9）≥8取等务件为品=，解得 1 2 ab= 2,6 3 第2页共8页 浙江者抗州第二中學 HANG ZHOU No 2 HIGH SCHOOL OF ZHE JIANG PROVINCE 7.若实数a,b满足3(a-b)2=6-4ab,则下列不等式错误的是D·....() A.b-a≥-V3 B.-i6 ab≤2 3 a3s1053 D.a+b>v6 解法一 A选项：3(a-b)2=6+(a-b)2-(a+b)2→(a+b)2=6-2(a-b)2≥0→b-a≥-v3 B选项：3(a+b)2-4ab]=6-4ab→3(a+b)2=6+8ab 6+8ab>0→ab≥-4 3 3a+b2≥3x4如b→6+8ab≥12b三a山≤3B正确 C选项a2+b2=a-b妒+2b=2-+2a山=2+2根据B选项的结论可知C正确 3 3 D准项a十P=a-2+地=2-纱+b一2+的根据B接题结论可知 8ab (a+b)2≤6→a+b≤V6,D错误 8.已知a>0,b>0,c>0,且a+3b-c≥0，则+a的最小值为C.…() a 66+c A号 B号 5 C. 解法一 a60≥+a a 6 a 6 ata+%-2。+0-≥？1i +a+96-g≥3-9-g 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 9.对于实数a,b,C,正确的命题是ABD·.......( A.若a>b,则a>a+ 2>6 B.若a>b>0,则a>Vab>b c若日若则a>06<0 D.若a>6>0,e>0则分>8+8 解法一 a,a、a,b、b,b A选项：a>6→2+2>2+2>2+2A正确 B选项：a>b>0→a2>ab>b2→a>Vab>b,B正确 C港项华一个反例出来a=1,6=2时离足。>行C带误 D选项：糖水不等式的倒数形式.a>b>0,c>0→二 →<生一分>8+总D正确 aa+c 第3页共8页 浙江者抗州第二中學 HANG ZHOU No 2 HIGH SCHOOL OF ZHE JIANG PROVINCE 10.已知a>0,b>0,a2+b=1,则下列结论正确的是ACD·....( A.0<b<1 B.b+2a的最大值为2 C.aV的最大值为号 D.a+Vb≤V2 解法一 A选项：b=1-a2,a2>0,b>0→0<b<1,A正确 B选项：2a≤a2+1当且仅当a=1时取等，a=1→b=0与b>0矛盾，2a<1+a2→ b+2a<b+1+a2=2,B错误 C进顶：a2+b=1≥2v死一aV万≤取等条件可以满足，C正确 D选项：2(a2+b)≥(a+V6)2→a+Vb≤√2，取等条件可以满足，D正确 11.已知a,b均为正实数，且a+b=1,则ACD. A.ab的最大值为4 B2+后的银小值为2v0 C(a2+)(+)的最小值为月 62 十2+6十的最小值为 D,_ 解法一 1 A选项：ab≤ (a+b)2 三4 取等条件可以满足，A正确 b 2 B选项： a +方≥2√后若最小值是2V2,则a=1,b=0,不符合题意，B错 C选项： +)(+)≥ 5 5 ,取等条件为a,b取5±5其中之 10 b2 (a+b)2 2 D选项： a+2+6+1≥a+6+3=4取等条件a=b=3D正确 三、填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若命题“x∈[1,3)，x2+ax+4>0”是假命题，则实数a的最大值-4 解法一 令f(x)=x2+ax+4,x∈[1,3 4 根据题意得3x∈[1,3]使得f(z)≤0→x+a+-≤0 即3r∈1，副使a≤-x-4成立，a的最大值为-4 112 13.已知心，y∈R,且满足4r+y+2xy+1=0,则(x+2) +(y+2)2的最小值为1· 第4页共8页 浙江者抗州第二中學 HANG ZHOU No 2 HIGH SCHOOL OF ZHE JIANG PROVINCE 解法一 +g+2g+1=0→242+)+y+2=1→(e+）g+2=号 2 (e+)'++2驴≥2(e+)g+2)=1,取等条作验证路 14. 关于x的不等式(ax-1)2<x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围 /3 是a∈ 41,「43 -23U32) 解法一 (ax-1)2-x2=(ax-1-x)(ax-1+x)=[(a-1)x-1[(a+1)z-1] 由题意可知，a≠土1，f(x)=[(a-1)x-1[(a+1)x-1抛物线开口向上→(a+1)(a-1)>0, 1 1 函数的零点为x1= 和x2= a+1 1 a-1 →原不等式的两个实数解分别为1,2 →2< 1 a-i≤3→ae 「43\ 32 1 ②当a<-1 1 <x<-2<a-1 →原不等式的两个实数解分别为-1，-2 a+1 3≤a+1 -3a-3≥1 <-2→ →a (引 1>-2a-2 综上ae(-g引[哈) 总结：求出a>1时的区间后，其实不需要讨论a<-1的情况就可以知道a的取值范围，从 图像角度去理解，(ac一1)2和(-ax-1)2关于y轴对称，x2的图像也是关于y轴对称.只要 求出a>1时的区间，也就可以知道a<-1时的区间；因为这两个区间也是关于y轴对称的. 解法二 (ax-1)2<x2a.x-1<x 1 ①a>1,y=ax-1y=x a-1 1 ax-1 y=-ax+1y=I a+1 1 a+1<x< a-1→2< a-i≤3 「43 →a∈32) ②a<-1, 341 ae(2-3 -3-2-1 四、解答题本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 第5页共8页 浙江者抗州第二中學 HANG ZHOU No 2 HIGH SCHOOL OF ZHE JIANG PROVINCE 1(出分剂巴知笑台M-{任2≥室来合Y-1-m<2<2加-外 (1)(6.5分)若m=3时，求M∩N: (2)(6.5分)是否存在实数m,使得x∈CrM是x∈CrN的必要不充分条件？若存在，求 实数m的取值范围；若不存在，请说明理由， 解法一 (1)m=3,V={x|-2<x<3} -2≥0等价于(c-2)e-4到≤0x≠2 4-x →M={x|2<x≤4}→MnN={x|2<E<3} ………….本步骤6.5分，累计65分 (2)2m-3>1-m→m>3 4 CrM={x|x≤2或x>4},CrN={xx≤1-m或t≥2m-3} 要使x∈CrMx∈CrN且x∈CrN→x∈CRM 4 m73 7 1-m≤2 ,解得m>2时，使得x∈CrM是x∈CnN的必要不充分条件 2m-3>4 …..本步骤65分，累计13分 16.(15分)某厂家拟2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该 厂的年产量)：万件与年促销费用m万元m≥0)满足=4二十化为常数，如果不搞一 促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产 一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品销售价格定为每件产品年平均成本的1.5 倍（此处每件产品年平均成本按8+162 来计算) (1)(5分)求k的值 (2)（10分)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解法一 (1)x=4- m+1' 当不促销时，x=2,m=0代入式子可得k=2 ……………………本步骤5分，累计5分 (2)利润： 0.5(8+16x)-m=4+8 -m m+1 16 16 =37- +m+1 ≤37-2 (m+1)=29当且仅当m=3时取等 m+1 m+1 .........本步骤10分，累计15分 第6页共8页 浙江者抗州第二中學 HANG ZHOU No 2 HIGH SCHOOL OF ZHE JIANG PROVINCE 17.（15分)若a,b,c为△ABC的三边长 ()(7.5分)证明：a+b b+ca+c'a+62 (2)(7.5分)若C为直角，直角边分别为a,b,且△ABC的面积为6，求△ABC周长的最 小值. 解法一 (te 2a 2a (b+c)+(b+c)a+(b+c) 2a+2b+2e=2 bte atb+e (2)ab=12,a2+b2=c2 a+b+√a2+b2≥2Vab+V√2ab=4V3+2V6,当且仅当a=b=2W3时取等 18.(17分) ()(8.5分)若a>6且ab=2,求a-12+(6+12 的最小值. a-b a+2b (②)(8.5分)已知a>0,b>0,求u=2十+的最大值 解法一 1)a=1+6+1y=a-b2-2a-)+6 a-b a-b =(a-b)+ ”。-2≥2V6-2当且仅当a-b=V6时取等，可解得a=4+v6,6= 6 2 W14-√6 2 ……本步骤8.5分，累计8.5分 a+2b a+2b 2)a+b2+1=02+入+P+1=刀≤ a+2b VXa+2v1-Ab 令2V八=V1-入→入= 5→u= 1 1V5 1 2 2V5 19.（17分)设集合A={ala=x+V2y,x,y∈N,称坐标(x,y）在平面直角坐标系中对应 的点P为A中元素a的格点. (1)(5分)证明：若m∈A,则m2∈A. (2)(6分)A中的元素ak所对应的格点记作P,(k≥1，k∈N*),现将A中所有元素进行排 序，使得a1<a2<a3<…<a.<…,在平面直角坐标系中，求以P2,P4,P为顶点的三 角形面积。 (3)(6分)已知集合B=(1,t),若A∩B至少有2个元素，最多有5个元素，求t的取值范 围 解法一 第7页共8页 浙江者抗州第二中學 HANG ZHOU No 2 HIGH SCHOOL OF ZHE JIANG PROVINCE (1)m=x+V24,x,y∈N→m2=x2+2y2+V2·2xy x2+2y2,2xy∈N→若m∈A,则m2∈A得证. (2) a1=0+V2×0=0, a2=1+V2×0=1, a3=0+V2×1=V2 a4=2+V2×0=2, a5=1+V2×1=1+V2. a6=0+v2×2=2v2 1 P1,0,P2,01,P0,2→5aRR=2×1X2=1 (3)a7=3+V2×0=3,a8=2+V2×1=2+V2→2<t≤2+√2 第8页共8页浙江者抗州第二中學 HANG ZHOU No 2 HIGH SCHOOL OF ZHE JIANG PROVINCE 杭二2025级高一上 周末练4 一、选择题 本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.已知集合A={x∈N|1≤x≤4}，B={x|2≤x≤3}，C={x|x2=9},则 (AnB)UC= A.{2,3} B.{-3,2,3} C.{-3,3} D.{-3,2,3,4} 2.命题p:3x≤0，x2-2x+a≤0的否定是 …………( A.Hx>0,x2-2x+a≤0 B.3x>0,x2-2x+a≤0 C.Hx≤0，x2-2x+a>0 D.3x≤0，x2-2x+a>0 3.中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为a,b,c的 三角形，其面积S可由公式S=Vpp-aD-bp-g求得，其中p=2(a+b+c,这个 公式也被称为海伦·秦九韶公式，现有一个三角形边长满足a+b=14,c=6,则此三角形面 积的最大值为 .() A.6 B.12 C.6√10 D.12√W10 4.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是 A.若a>b>0,则ac2>bc2 1 1 B.若a<b<0,则a+6<b+ a bb+c C.若0<a<b<c,则a<a+c b2a2 D.若a>0,b>0,则a+石≤a+b 5.已知a,b,c,d是实数，则“a>b且c>d”是“ac+bd>b·c+ad”的一·() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知a>0,b>0,且ab-2b+1=0,则三+96的最小值 A.4 B.6 C.7 D.8 第1页共5页 浙江者抗州第二中學 HANG ZHOU No 2 HIGH SCHOOL OF ZHE JIANG PROVINCE 7.若实数a,b满足3(a-b)2=6-4ab,则下列不等式错误的是 A.b-a≥-v3 g≤b号 c3≤a2+<3 D.a+b>v6 8.已知a>0,b>0,c>0,且a+3b-c≥0，则a+6b+c a 的最小值为一..() c D.8 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9.对于实数a,b,c,正确的命题是 A若a>么则a>生护 B.若a>b>0,则a>Vab>b c老日君则a>0b<0 D若a>6>0e>则8>8+8 10.已知a>0,b>0,a2+b=1,则下列结论正确的是 ...（ A.0<b<1 B.b+2a的最大值为2 Cav6的最大位为号 D.a+vb≤2 11.已知a,b均为正实数，且a+b=1,则 ….（ A.b的最大值为月 a 言的最小值为2V2 C(2+)(+)的最小值为 D.a2 千2+千的最小值为 .b2 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若命题“x∈[1,3，x2+ac+4>0”是假命题，则实数a的最大值 18、已知二，y∈R,且满足4红+y+2y+1=0则(e+)+@+22的最小值为 14.关于x的不等式(ax-1)2<x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是 第2页共5页 浙江者抗州第二中學 HANG ZHOU No 2 HIGH SCHOOL OF ZHE JIANG PROVINCE 四、解答题本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 1返(13分剑已知集合M={二号≥0} 非空集合N={x|1-m<x<2m-3} (1)(6.5分)若m=3时，求M∩N (2)（6.5分)是否存在实数m,使得x∈CM是x∈CrN的必要不充分条件？若存在，求 实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 16.(15分)某厂家拟2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该 厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0满足”=4车，k为常数如果不揭 促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产 一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品销售价格定为每件产品年平均成本的1.5 倍（此处每件产品年平均成本按 8+16来计算)： (1)(5分)求k的值 (2)（10分)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 第3页共5页 浙江者抗州第二中學 HANG ZHOU No 2 HIGH SCHOOL OF ZHE JIANG PROVINCE 17.（15分)若a,b,c为△ABC的三边长 (四(75分)证明0+6十 b+ca+c+a+b下2.】 (2)(7.5分)若C为直角，直角边分别为a,b,且△ABC的面积为6，求△ABC周长的最 小值. 18.（17分) (①)(8.5分)若a>b,且b=2,求a-1P+6+12 的最小值. a-b a+26 (2)(8.5分)已知a>0,b>0,求u= 的最大值， a2+b2+1 第4页共5页 浙江者抗州第二中學 HANG ZHOU No 2 HIGH SCHOOL OF ZHE JIANG PROVINCE 19.（17分)设集合A={aa=x+V2y,x,y∈N},称坐标(x,y）在平面直角坐标系中对应 的点P为A中元素a的格点. (1)(5分)证明：若m∈A,则m2∈A. (2)（6分)A中的元素a所对应的格点记作P(k≥1，k∈N*),现将A中所有元素进行排 序，使得a1<a2<a3<…<ak<…,在平面直角坐标系中，求以P2,P4,P为顶点的三 角形面积. (3)（6分)已知集合B=(1,t),若A∩B至少有2个元素，最多有5个元素，求t的取值范 围。 第5页共5页