三角恒等变换的综合应用 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

重难专题　三角恒等变换的综合应用 一、必备知识基础 1.函数f(x)=cos2x+sin x(x∈R)的最小值为(　　) A. B.1 C.-1 D.-2 2.已知函数f(x)=sin(-x)sin x-cos2x+,x∈(0,],则f(x)的值域为(　　) A.[-,1] B.(-,1] C.(-,-1) D.[-,1] 3.已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(1,),其中θ∈[0,π],则a·b的取值范围是(　　) A.[-1,2] B.[-1,1] C.[-2,2] D.[-,2] 4.化简=　　　　　.  5.已知tan α=2. (1)求tan的值; (2)求的值. 6.已知5sin β=sin(2α+β),求证:2tan(α+β)=3tan α. 二、关键能力提升 7.已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x+1,则(　　) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4 8.已知函数f(x)=mcos2x+2msin x+,其中m>0.若函数f(x)的最大值记为g(m),则g(m)的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若tan Atan B=4(tan A+tan B)tan C,则=　　　　　.  三、学科素养创新 10.如图,矩形ABCD的长AD=2,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值. 参考答案 1.C　由已知f(x)=1-sin2x+sin x,令t=sin x,g(t)=-t2+t+1=-(t-)2+,则t∈[-1,1],∴t=-1时,g(t)min=-1,即f(x)min=-1.故选C. 2.B　f(x)=sin(-x)sin x-cos2x+=cos x·sin x-cos2x+sin 2x-cos 2x=sin(2x-),因为x∈(0,],所以2x-∈(-],sin(2x-)∈(-,1],即函数f(x)的值域为(-,1],故选B. 3.A　a·b=cos θ+sin θ=2sin(θ+),∵θ∈[0,π],∴θ+∈[],∴sin(θ+)∈[-,1],∴a·b∈[-1,2].故选A. 4.　原式=tan(90°-2α)·. 5.解(1)tan=-3. (2) = = ==1. 6.证明5sin β=5sin[(α+β)-α]=5sin(α+β)cos α-5cos(α+β)sin α, sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α. 因为5sin β=sin(2α+β),所以5sin(α+β)cos α-5cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α,所以4sin(α+β)cos α=6cos(α+β)sin α, 所以2tan(α+β)=3tan α. 7.B　由f(x)=2sin xcos x+2cos2x+1=sin 2x+cos 2x+2=2sin2x++2,∴f(x)的最大值为4,T==π.故选B. 8.D　f(x)=mcos2x+2msin x+=-msin2x+2msin x+m+=-m(sin x-1)2+2m+,因为m>0,所以当sin x=1时,f(x)max=g(m)=2m+≥2=4,当且仅当2m=,即m=1时取等号.故选D. 9.9　因为tan Atan B=4(tan A+tan B)tan C, 所以=4×()×=4×()×=4×,即,故原式化为sin Asin B=,由正、余弦定理得ab=,即ab·=4c2, 所以a2+b2-c2=8c2,所以=9. 10. 解过点B作BH⊥OA,垂足为H. 设∠OAD=θ0<θ<,则∠BAH=-θ,OA=2cos θ, BH=sin(-θ)=cos θ,AH=cos(-θ)=sin θ, 所以B(2cos θ+sin θ,cos θ),OB2=(2cos θ+sin θ)2+cos2θ=7+6cos 2θ+2sin 2θ=7+4sin2θ+. 由0<θ<,知<2θ+, 所以当θ=时,OB2取得最大值7+4. 学科网（北京）股份有限公司 $