2026年九年级数学中考三轮冲刺反比例函数与一次函数交点综合训练

2026年九年级数学中考三轮冲刺反比例函数与一次函数交点综合训练 1．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)当时，求线段的长． (3)直接写出上的解集． 2．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且． (1)求的值并直接写出点的坐标； (2)点、是轴上的动点(在上方)且满足，连接，，求的最小值； (3)点是双曲线上一个动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 3．如图，已知是正比例函数函数的图象与反比例函数的图象的交点． (1)求反比例函数和正比例函数的解析式； (2)B为双曲线上点A右侧一点，连接．若的面积为15，求点B的坐标． 4．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，且一次函数的图像交x轴于点C，交y轴于点 (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)对于反比例函数，当时，直接写出x的取值范围． 5．一次函数 与反比例函数的图象交于，两点． (1)求k， m， n的值； (2)请直接写出关于x的不等式 的解集． 6．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点C与点B关于原点对称，求的面积； (3)观察图象，直接写出的解集． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数与一次函数的图象相交于点和．    (1)分别求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请直接写出当时，的解集 (3)横纵坐标均为整数的点叫整点，我们把A，B之间的双曲线和线段AB围成的封闭图形（不含边界）记作区域G，直接写出区域G整点的坐标． 8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)根据图象直接写出的解集． 9．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围为______； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x﹣3与双曲线交于M（a，2），N（1，b）两点． （1）求k，a，b的值； （2）若P是y轴上一点，且△MPN的面积是7，直接写出点P的坐标　 ． 11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求一次函数的解析式和点的坐标； (2)点在轴上，连接交反比例函数的图象于点，且点恰为线段的中点．请直接写出点和点的坐标．    12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点． (1)直接写出的值和点B的坐标； (2)点P为第一象限反比例函数图象上的一点，连接，若的面积等于5，求点P的坐标． 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C．    (1)求反比例函数的表达式； (2)若为x轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标． 14．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象分别交于C，D两点，若点C坐标是． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出当x取何值时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)反比例函数为，一次函数为 (2) (3) 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意可知、的纵坐标为1，即可求得，，即可求解． （3）根据反比例函数与一次函数的图象交于点，利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数与一次函数的图象交于点， ，， ，， 反比例函数为，一次函数为； （2）解：轴于点， 轴， ， 、的纵坐标为1， 把代入，得， 把代入，得， ，， ． （3）解：由图象可得的解集为：． 2．(1)，； (2)； (3)点P的横坐标为：，， 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，相似三角形的性质与判定； （1）运用一次函数与反比例函数的交点坐标即可求解； （2）根据，求得点的坐标，再把将军饮马模型在坐标系中直接运用，根据勾股定理求解即可； （3）根据题意画图分析，根据平行求相关函数关系式，再求两条线的交点解方程组，即可得解． 【详解】（1）解：根据题意可知点，在直线和双曲线的图象上， ，解得， 点的坐标为，代入双曲线得： ， 由图象可知点与点关于原点对称， ∴； （2）过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，作点关于轴的对称点点，并向下平移一个单位记为，连接， 则，， ， ， ，，，， ，， ，即点的纵坐标为， 点在反比例函数的图象上， ，， 的最小值即为； （3）当时，当在轴下方时，， 设直线的解析式为， 由（2）可知：，， 解得， ， 当时，，解得， ， ，直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得：， ， ， 由是直线与反比例函数的交点可得： 解得， 此时点在第三象限，不符合题意， 当在轴上方时，则与下方的关于轴对称， 可得直线的解析式为：， 联立得， 此时点在第一象限，两个都符合题意， 点的横坐标为：． 3．(1)y=2x， (2)（8，1） 【分析】（1）将点A分别代入两个函数解析式即可； （2）连接OB，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，根据题意得=，设B（，n），得到，解方程即可求出点B的坐标． 【详解】（1）解：将点A（2，4）代入，得2k=4， 解得k=2， ∴正比例函数解析式为y=2x； 将将点A（2，4）代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）连接OB，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N， ∴， ∴=， 设B（，n）， ∴， 整理得， 解得n1=1，n2=-16（舍去）， ∴B（8，1）． 【点睛】此题是一次函数与反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，由函数图象求几何图形的面积，正确理解反比例函数k值的几何意义是解题的关键． 4．(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点A坐标代入反比例函数解析式，求出点A坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）结合函数图像，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入， 可得，， 所以反比例函数的解析式为， 将点代入， 可得，解得， 所以点A的坐标为， 将点A和点B的坐标代入得， ，解得， 所以一次函数的解析式为； （2）， 当时，或， 的取值范围为或． 5．(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据两函数图象的交点及位置关系求不等式解集． （1）先把，代入中求出m、n的值，得到，代入求出k的值； （2）根据一次函数 的图象与反比例函数的图象交于，两点，结合函数图象，得到不等式的解集为． 【详解】（1）∵一次函数 的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴，， ∴，， ∴， ∴，； （2）由（1）知，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴不等式的解集为：， 即不等式的解集为：． 6．(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为： (2)6 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、利用数形结合的思想求不等式的解集是解题的关键． （1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）求出C的坐标，设直线与y轴交于点，连接，延长与x轴交于点，根据三角形面积公式计算即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象过， ∴， ∴反比例函数表达式为， ∴， ∴， 把，坐标代入一次函数，则， 解得， ∴一次函数表达式为： （2）解：∵点C与点B关于原点对称， ∴， 如图，设直线与y轴交于点，连接，延长与x轴交于点， ∵直线为：， ∴， ∴， ∵， ∴设直线为，将两点代入得到， 解得， ∴直线为， ∵延长与x轴交于点， ∴， ∴， ∴ （3）解：根据图象得： 当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方， 不等式的解集为：或 7．(1)， (2)或 (3)和 【分析】（1）用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的表达式 （2）根据两个函数的图象的交点即可求得的解集 （3）先由、，确定区域（不含边界）内的点的横坐标的取值范围是，即确定的取值为或，然后再确定纵坐标的值，即可求得区域内的点的坐标 【详解】（1）将点代入反比例函数得：， 解得：， ∴， 将点代入反比例函数得：， ∴， 将点、分别代入一次函数得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式是：，一次函数的表达式是 （2）∵由（1）知点、点， ∴观察图象，当时，或 （3）∵、， ∴反比例函数与一次函数的图象围成的区域（不含边界）内的点的横坐标的取值范围是， ∴的取值为整数时，或， 当时，该区域内的点的纵坐标的最大值不能大于，最小值不能小于， ∴横、纵坐标均为整数的点只能是； 当时，该区域内的点的纵坐标的最大值不能大于，最小值不能小于， ∴横、纵坐标均为整数的点只能是； ∴区域G整点的坐标为和 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合应用，熟练掌握两个函数的性质是解决问题的关键 8．(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为 (2) 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，函数图象上点的坐标特征，借助图象求不等式解集，注意数形结合． （1）把点的坐标代入反比例函数解析式中，即可求得m的值，从而得A、B的坐标，再用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）观察图象，位于x轴下方，且反比例函数图象在直线下方的自变量取值即为不等式的解集． 【详解】（1）解：∵是一次函数与反比例函数图象的交点， ∴， 解得：，检验知是方程的解； ∴，， ∵直线过点A、点B， ∴， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴当时，， 观察图象知，不等式解集为：． 9．(1) (2)， (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可得到结论； （2）根据图象中的信息即可得到结论； （3）先求得D的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOD−S△BOD求得△AOB的面积，即可求得＝，根据中心对称的性质得出OA＝OC，即可得到S△APC＝2S△AOP，从而得到2×OP×5＝9，求得OP，即可求得P的坐标． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得： ， ∴， 将，代入得： ，解得： ， ∴一次函数的表达式为； （2）由图象可知，当时，自变量x的取值范围为：，； （3）由题意可知OA＝OC， ∴S△APC＝2S△AOP， 把y＝0代入得，0＝−x＋6，解得x＝6， ∴D（6，0）， ∴S△AOB＝S△AOD−S△BOD＝×6×5−×6×1＝12， ∵＝， ∴2S△AOP＝9， ∴2×OP×yA＝9，即2×OP×5＝9， ∴OP＝， ∴或， 故答案为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，数形结合是解题的关键． 10．（1）k＝﹣5，a＝﹣2.5，b＝﹣5；（2）（0，1）或（0，﹣7）． 【分析】（1）根据直线y＝﹣2x﹣3过点M（a，2），N（1，b），代入求解即可得到a、b的值，从而可以求出k； （2）设直线y＝﹣2x﹣3与y轴交于点C，则C（0，-3）OC＝3，根据题意得：S△MPN＝S△MPC+S△CPNPC×2.5PC×1＝7，由此求解即可． 【详解】解：（1）∵直线y＝﹣2x﹣3过点M（a，2），N（1，b）， ∴﹣2a﹣3＝2，b＝﹣2﹣3， ∴a＝﹣2.5，b＝﹣5． ∵双曲线过点N（1，﹣5）， ∴k＝﹣5； （2）如图，设直线y＝﹣2x﹣3与y轴交于点C． ∵y＝﹣2x﹣3， ∴x＝0时，y＝﹣3， 即C（0，﹣3），OC＝3． 根据题意得：S△MPN＝S△MPC+S△CPNPC×2.5PC×1＝7， 解得：PC＝4， ∵C（0，﹣3）， ∴P（0，﹣3+4）或（0，﹣3﹣4），即P（0，1）或（0，﹣7）． 故答案为：（0，1）或（0，﹣7）． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，三角形面积，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 11．(1)； (2)点的坐标为；点的坐标为． 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数交点问题； （1）求出点的坐标代入一次函数即可求出一次函数的解析式；令，即可求得点的坐标 （2）由点恰为线段的中点和点在反比例函数的图象上，求出点的坐标，从而求出点的坐标 【详解】（1）解：在的图象上， ． 点的坐标为 点在一次函数的图象上， 一次函数的解析式为， 令即，解得． 点的坐标为． （2）点的坐标为，点恰为线段的中点， 点的纵坐标为 点在反比例函数的图象上， 点的坐标为， 点恰为线段的中点， 点的坐标为． 12．(1)，； (2)点的坐标为或． 【分析】（1）先求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，延长，交反比例函数的图象于点，则，推出点与点重合，作，交轴于，求得直线的解析式，联立可求得点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 联立得， 解得或， 经检验或都是方程的解， ∴点； （2）解：连接，设交轴于点， 令，则， ∴， ∴， 延长，交反比例函数的图象于点，则， ∴， ∵， ∴点与点重合， ∵， ∴，即， 作，交轴于， 设直线的解析式为， 把代入得，，解得， ∴直线的解析式为，， ∵， ， 将直线向上平移2个单位得到， 联立得， 由解得(舍去)或， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的对称性，一次函数图象与几何变换，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键． 13．(1) (2)点P的坐标为或 【分析】主要考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集． （1）利用一次函数求出，问题随之得解； （2）先求出，表示出，根据的面积为，表示出，解方程即可求解． 【详解】（1）解：函数的图象经过， ，解得：， ， ， 反比例函数表达式为：； （2）解：如图：    在中， 当时，得， 解得：， ， ， ， ，， ， 解得：或， 点P的坐标为或． 14．(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题： （1）把点的坐标代入反比例函数和一次函数解析式中，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）联立方程求得的坐标，再求出点A坐标，然后根据即可求得的面积； （3）根据图象即可求得时，自变量的取值范围． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数解析式为； ∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：联立， 解得或， ， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由函数图象可知当或时，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $