精品解析：江苏省泰州中学2025-2026学年度第一学期期末调研考试高一数学试题

江苏省泰州中学2025—2026学年度第一学期期末调研考试 高一数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. 5. 若α为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0 6. 已知函数．给出下列结论： ①的最小正周期为； ②是的最大值； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论序号是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 7. 将函数f（x）=2sin2x的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，]和[2a，]上均单调递增，则实数a的取值范围是 A. [] B. [ ] C. [ ] D. [ ] 8. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. 的周期为2 B. C. 的所有零点之和为16 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ） A. 若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 B. 若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6 C. 若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是 D. 若在上有且仅有5个零点，则在单调递增 10. 已知函数若关于的方程有3个实数解，则（ ） A. B. C. D. 关于方程恰有3个实数解 11. 已知实数满足，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是__________. 13. 已知a＞1，b＞1，若logab=3logba+2，ab=ba，则a+b=______． 14. 已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知实数集，定义． （1）若，求； （2）若，求集合A； （3）若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 16 已知函数． （1）若，求在区间上的值域； （2）若方程有实根，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 17. 我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.事实上该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形． （i）证明：； （ii）已知函数的图象过点，下面含有实数k的不等式对任意非零实数x都成立，求k的取值范围． 18. 已知函数． （1）证明：是奇函数； （2）用表示不超过的最大整数，求函数的值域； （3）求在区间上的最小值． 19. 设函数. （1）当时，不等式的解集为，求实数的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省泰州中学2025—2026学年度第一学期期末调研考试 高一数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集定义直接得结果. 【详解】， 故选：D. 【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出中元素的即可. 【详解】由题意，中的元素满足，且， 由，得， 所以满足的有， 故中元素的个数为4. 故选：C. 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知： ，，， 据此可得：. 本题选择D选项 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 5. 若α为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可. 【详解】方法一：由α为第四象限角，可得， 所以 此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以 故选：D. 方法二：当时，，选项B错误； 当时，，选项A错误； 由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确； 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6. 已知函数．给出下列结论： ①的最小正周期为； ②是的最大值； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以周期，故①正确； ，故②不正确； 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象， 故③正确. 故选：B. 【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题. 7. 将函数f（x）=2sin2x的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，]和[2a，]上均单调递增，则实数a的取值范围是 A. [] B. [ ] C. [ ] D. [ ] 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的图象变换规律求得的解析式，再根据在区间，和，上均单调递增，求得实数的取值范围． 【详解】解：将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象， 若函数在区间，和，上均单调递增，，，，且，，． 求得， 故选：． 8. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. 的周期为2 B. C. 的所有零点之和为16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由奇偶性及对称性可得的周期；对于B，由当时，，结合A分析，可得，据此可判断选项正误；对于CD，由图象可判断选项正误. 【详解】因是定义在上的奇函数，则， 又为偶函数，则， 则，则的一个周期为4，又由题不是R上的偶函数，则，则2不是的一个周期，故A错误； 因是定义在上的奇函数，则， 又当时，，则， 又为偶函数，则. 又结合A分析与是定义在上的奇函数， 则，故. 又，则， 故B错误； 对于C，由AB分析可画出大致图象如下，的零点， 即为与图象交点的横坐标，由图可得交点有7个，且7个交点关于 对称，则的所有零点之和为，故C错误； 对于D，对于函数，可如下图画出大致图象，发现与的正负情况一致，且有相同零点，则，故D正确. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ） A. 若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 B. 若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6 C. 若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是 D. 若在上有且仅有5个零点，则在单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由三角函数图象变换规律分析判断，对于B，作出两函数在上的图象，观察图象判断，对于C，由求出，再结合函数有5个零点，列不等式组可求出的取值范围进行判断，对于D，由求出的范围，再结合选项C中的取值范围分析判断即可. 【详解】对于A，当时，， 将的图象向左平移个单位长度，得， 即得到的图象，所以A正确， 对于B，当时，，周期，在上是3个周期， 先作出在上的图象，然后向右平移两次，每次平移一个周期可得在上的图象， 再在同一坐标系中作出在的图象， 由图可知曲线与曲线在区间上的交点个数为6，所以B正确， 对于C，当时，， 若在上有且仅有5个零点，则， 解得，所以C错误， 对于D，当时，， 由选项C可知，则， 所以， 所以， 所以在单调递增，所以D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题考查正弦函数图象与性质，考查三角函数图象变换规律，考查函数的零点，解题的关键是正确运用正弦函数的图象与性质，考查数形结合的思想，属于较难题. 10. 已知函数若关于的方程有3个实数解，则（ ） A. B. C. D. 关于的方程恰有3个实数解 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，通过作关于轴对称的函数的图象与的交点情况，不难判断；对于B，C两项，主要是考虑二次函数图象的对称性和的取值范围分析或者特例判断即得；对于D项，要先判断的范围，结合图象易得. 【详解】如图，依题意作出函数的图象， 对于A项，作出关于轴对称的函数的图象，与直线交于点，则，不难看出点在点的右侧，则，故，A项正确； 对于B项，因当时，的图象关于直线对称，故点与点关于直线对称，则， 由可得：，即，则得，故B项正确； 对于C项，当时，由解得：， 由解得：，， 此时，故C项错误； 对于D项，依题意，，在上单调递增，故， 于是由图知，函数与的图象恰有三个交点，即关于的方程恰有3个实数解，故D项正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：将方程的解的个数转化为函数的零点个数，或转化为对应的两个函数的图象交点个数求解，再通过作出函数的图象，根据其对称性、单调性或值域等推导相应参数的范围. 11. 已知实数满足，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由条件变形即可得；对于B，由条件得x的范围，进而构造三角函数求值域即可得；对于C，分析与大小，作差即可得；对于D，通过余弦函数单调性质比较大小即可得. 【详解】对于A，因为，得，即，A正确； 对于B，，因为， 得，， ，，B正确； 对于C，由B分析可知：， ， ，即大小不定，C错误； 对于D，由B，，，， 从而得， 在递减，，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先画出函数的图象，把方程有4个不同的实数根转化为函数的图象与有四个不同的交点，结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】因为， 当时，可知其对称轴为， 令，解得或 令，解得或 当时，令，解得或， 作出函数的图象，如图所示， 若方程有四个不同的实根，，，， 即与有四个不同的交点， 交点横坐标依次为，，，， 则， 对于，，则， 可得，所以； 对于，，则，，，可得 所以， 由对勾函数可知在上单调递增， 得， 所以的取值范围是 故答案为： 【点睛】方法点睛：已知方程的根，函数有零点，函数图象的交点求参数取值范围常用的方法和思路，（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 13. 已知a＞1，b＞1，若logab=3logba+2，ab=ba，则a+b=______． 【答案】4 【解析】 【分析】设logab=x，x＞0；则logba=，因为logab=3logba+2，所以，x=+2，解得，x=-1（舍去）或x=3，结合ab=ba条件，即可解得a，b的值． 【详解】解：设logab=x；则logba=，因为logab=3logba+2， 所以，x=+2，解得，x=-1或x=3； 由于a＞1，b＞1，x=logab＞0，所以x=3； ∴logab=3，∴a3=b；①， 又因为ab=ba， 所以ab=（a3）a=a3a； ∴b=3a；且a＞1，b＞1②， 由①②得，a=，b=3； ∴a+b=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查对数的运算性质，换元的解题方法，是基础题． 14. 已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对钩函数的单调性，结合绝对值的性质、三角形的性质进行求解即可. 【详解】要想对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，只需， 设， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 因为， 所以， 当时，即时， ，此时， 因此由，而， 所以； 当时，即当时， 此时，此时， 因此由，而， 所以， 若时，即时， 若，即当时， 显然此时， 由，显然， 若，即当时， 显然此时， 因此由，而， 综上所述：实数的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用对钩函数的单调性求出的最值，再结合最值的正负性分类讨论. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知实数集，定义． （1）若，求； （2）若，求集合A； （3）若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【答案】（1） （2）或者 （3）13 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据可得，然后分中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可； （3）分 中没有负数和中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解. 【小问1详解】 ; 【小问2详解】 首先，； 其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者-- ①当时，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到 进而，从而 所以或者. 【小问3详解】 估值+构造 需要分类讨论中非负元素个数. 先证明．考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时， 集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论： 情况一： 中没有负数． 不妨设，则 上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明 情况二： 中至少有一个负数． 设 是中的全部负元素，是中的全部非负元素. 不妨设 其中为正整数，． 于是有 以上是中的个非正数元素：另外，注意到 它们是中的5个正数．这表明 综上可知，总有- 另一方面，当时，中恰有13个元素. 综上所述，中元素个数的最小值为13. 16. 已知函数． （1）若，求在区间上的值域； （2）若方程有实根，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解； （2）由（1）知利用换元法可得，，方程有实根即等价于即有实数根且大于零，从而可得，即可求解； （3）若对任意的，总存在，使得，可得,由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解. 【小问1详解】 当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值，所以. 所以时，在区间上的值域为. 【小问2详解】 由（1）知当令，，， 则，即有实数根，此时实数根大于零， 所以可得，解得：. 所以方程有实根，实数m的取值范围为. 【小问3详解】 由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得, 由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数， 所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，即， 则实数m的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：（1）主要利用换元后转化为一般二次函数在具体区间求最值问题；（2）中转化为二次函数根的分布问题来求出相应的不等式组，即可求解；（3）中由题可得,再结合指数型复合函数求出，从而可转化为含参二次函数在定区间求解最值问题. 17. 我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.事实上该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形． （i）证明：； （ii）已知函数的图象过点，下面含有实数k的不等式对任意非零实数x都成立，求k的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的判定方法证得为奇函数，根据对称中心的定义即可判断出函数的图象关于点成中心对称图形. （2）（i）由题所给推广结论可知，是奇函数，利用奇函数的定义求证即可. （ii）由（i）可知，，求解，再由对任意非零实数x恒成立，通过基本不等式求解即可. 【小问1详解】 令，定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数， 根据题中所给推广结论，可知的图象关于点成中心对称图形. 【小问2详解】 （i）证明：由题所给推广结论可知，是奇函数， 令，则有， 即，即， 令，则，则， 故，得证； （ii）由（i）可知，， 故. ，解得，故，. 当时，， 故对任意非零实数x恒成立， 即对任意非零实数x恒成立，即， ， ，当且仅当，即时，等号成立，又因为， ，故， 因此，故， 即k的取值范围为 18. 已知函数． （1）证明：是奇函数； （2）用表示不超过的最大整数，求函数的值域； （3）求在区间上的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得，从而得，再由奇函数的判断方法，即可求解； （2）分别求出时，的值域，再结合题设定义，即可求解； （3）通过等价换元，将问题转化成在上的最小值，再利用二次函数的性质，分，，三种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 由，得到，又，则， 所以，其定义域为或， 定义域关于原点对称，又， 所以是奇函数. 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 又，则，所以， 所以当时，， 又时，，则， 因为，则，所以， 所以时，，又时，， 所以当时，，当时，， 故的值域为. 【小问3详解】 因为，又，则， 令，则，令，则， 所以，其对称轴为， 若时，在区间上单调递增，在处取到最小值，所以， 若时，由二次函数的性质知， 若时，在区间上单调递减，在处取到最小值，所以， 综上所述，. 19. 设函数. （1）当时，不等式的解集为，求实数的值； （2）若，求关于不等式的解集； （3）若对恒成立，求的最大值. 【答案】（1），b=6 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式对应方程的解结合韦达定理即可求出实数的值；（2）把代入得到一个包含未知参量的一元二次不等式，分类讨论即可；（3）利用换元法结合基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 由不等式的解集为可得方程的两根为且， 由根与系数的关系可得：，. 【小问2详解】 由得， 又因为，所以原不等式化为，即， 当时，原不等式化为或； 当时，原不等式化为 当时，不等式的解集为 当时，，由不等式得： 当时，，由不等式得： 综上所述，不等式的解集为： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，或. 【小问3详解】 由得， ∵对恒成立， ∴， 化简得，且， 代入得：， 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $