教考衔接十五 教材中的高考数学必背公式学案-2026届高三数学二轮复习

2026年高考数学·教考衔接 教材命题点探源 -----------------------------供2026高考备考二轮、三轮复习及考前使用------------------------- 教考衔接十五 教材中的高考数学必背公式 -------------- 🎯主题必背一 集合、常用逻辑用语🎯 ------------- 💡 1.集合的运算性质及常用结论 （1）元素属于（不属于）集合，记为（） （2），. （3）对，有，则有（或）. （4），. （5）空集是任何集合的子集，即（为任意集合）；空集是任意非空集合的真子集. （6）含有个元素的集合的子集有个，真子集有个，非空真子集有个. （7），，，. （8），. （9），. （10）， 💡 2.集合运算中的常用方法 （1）数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解. （2）图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解. （3）Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图法求解. 💡 3.充分与必要条件的判断： 若p ，q中所涉及的问题与变量有关，p，q中相应变量的取值集合分别记为A，B，有以下结论： p与q的关系 集合关系 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 💡 4.全(特)称命题及其否定 （1）全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0). （2）特称命题p：∃x0∈M，p(x)．它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x) . （3）命题p∨q的否定是(¬p)∧(¬q)；命题p∧q的否定是(¬p)∨(¬q)． -------------- 🎯主题必背二 不等式🎯-------------- 💡 1.不等式的基本性质 （1）； （2），； （3）； （4）； （5），； （6），； （7），； （8）； （9）. 💡 2.两个实数比较大小 （1）作差法 ； ； . （2）作商法 ； ； 💡 3.不等式的倒数和分式性质 （1）倒数性质：，. （2）有关分式的性质：若，则 ；. 💡 4.不等式及其解法 （1）一元二次不等式及其解法 的解集 或 的解集 （2）分式不等式的解法 ①; ②. （3）绝对值不等式的解法 ; ; ④形如的不等式可利用零点分段讨论求解. 💡 5.基本不等式 （1）若，，当且仅当时，等号成立. 其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. （2）基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 💡 6.重要的不等式 （1），其中，当且仅当时等号成立. （2）基本不等式：.其中，当且仅当时等号成立. （3）.其中，当且仅当时等号成立. （4）.其中，当且仅当时等号成立. （5）.其中，当且仅当时等号成立. （6），当且仅当时等号成立. 💡 7．利用基本不等式求最值 已知. （1）当时（和为定值），，，当且仅当a=b时等号成立. （2）当时（积为定值），，，当且仅当a=b时等号成立. 💡 8.不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题 （1）恒成立问题： ①若在区间D上存在最小值，则不等式在区间D上恒成立. ②若在区间D上存在最大值，则不等式在区间D上恒成立. （2）能成立问题： ①若在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式成立. ②若在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式成立. （3）恰成立问题： ①不等式恰在区间D上成立，的解集为D. ②不等式恰在区间D上成立，的解集为D. -------------- 🎯主题必背三 基本初等函数🎯------------- 💡 1.函数的单调性 单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性，判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法. （1）函数在区间D上是增函数，，且. （2）函数在区间D上是减函数，且. 💡 2. 函数的最值 （1）定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足： ，都有；，使得.那么，我们称M是函数的最大值. （2）定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足： ，都有；，使得.那么，我们称M是函数的最小值. 💡 3.函数的奇偶性 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. （2）确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称. （3）对于偶函数而言，有. 💡 4.函数的周期性 对f（x）定义域内任一自变量的值x： （1）； （2）； （3）. 💡 5.函数的对称性 （1）若函数满足，即，则的图像关于直线对称； （2）若函数满足，即，则的图像关于点对称； （3）若函数满足，则的图像关于直线对称. 💡 6.指数与对数的七个运算公式 （1）. （2）. （3）. （4）. （5） （6） （7） . 💡 7.函数与方程 （1）函数的零点及函数的零点与方程根的关系 对于函数f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标. （2）零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的一个根． 💡 8.判断函数零点个数的方法 （1）直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数． （2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点． （3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． -------------- 🎯主题必背四 导数及其应用🎯------------- 💡 1.基本初等函数的八个导数公式 原函数 导函数 💡 2. 导数的四则运算法则 （1）； （2）； （3）. 💡 3.复合函数的求导公式 设函数均可导，则复合函数也可导，且. 即：因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.（链式法则）. 💡 4.切线的斜率 函数在处的导数是曲线在点处的切线的斜率，因此曲线在点P处的切线的斜率，相应的切线方程为. 💡 5.利用导数研究函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减. 💡 6.利用导数求函数极值的一般思路和步骤 第①步：求定义域； 第②步：求导数； 第③步：解方程，研究极值情况； 第④步：确定时左右的符号，定极值． 💡 7.求函数在上最大值与最小值的步骤 第①步：求函数在内的极值； 第②步：将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． -------------- 🎯主题必背五 三角函数🎯------------- 💡 1.同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：. （2）商数关系：. 💡 2.诱导公式 公式一：；；.. 公式二：，，. 公式三：，，. 公式四：，，. 公式五：， 公式六：， 【巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限，α当锐角看】 💡 3.利用同角三角函数的关系式化简与求值的三种常用方法 （1）切弦互换法：利用进行转化． （2）和积转化法：利用进行变形、转化． （3）常值代换法：其中之一就是把1代换为sin2α＋cos2α.同角三角函数关系 和联合使用，可根据角α的一个三角函数值求出另外两个三角函数值．根据可以把含有的齐次式化为的关系式． 💡 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）； （2）； （3）. 💡 5.二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）； （2）； （3）. 💡 6. 降幂公式 （1）；（2）. 💡 7.辅助角公式 ，其中. 💡 8.三角函数的单调性 （1）求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”. （2）求形如或（其中）的单调区间时，要视“”为一个整体，通过解不等式求解.但如果，那么一定先借助诱导公式将化为正数. （3）已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解. 💡 9.三角函数的奇偶性 对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则. 对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则. 对于，若为奇函数，则. 💡 10.三角函数的周期性 求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变换化为或或（为常数，）的形式，再应用公式（正弦、余弦型）或（正切型）求解. 💡 11.三角函数的对称性 （1）函数的图象的对称轴由解得，对称中心的横坐标由解得. （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)解得. （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由ωx＋φ＝(k∈Z)解得． 💡 12.正弦定理 在中，角的对边分别为，则. 💡 13.正弦定理的常见变形 （1）（边角互化）. （2）.其中，为外接圆的半径. （3）（边化角）. （4）（角化边）. 💡 14.余弦定理 在中，角的对边分别为，则 ，，. 💡 15.余弦定理的推论 ，，. 💡 16.三角形的面积公式 （1）（为外接圆的半径）. （2）. （3）（为三角形的内切圆半径） -------------- 🎯主题必背六 平面向量与复数🎯------------- 💡 1.平面向量的数量积 （1）平面向量的数量积有两种运算形式： 数量积的定义：（其中为向量a，b的夹角）. 坐标运算：, 时，. （2）投影：向量a在向量b方向上的投影为（其中为向量a，b的夹角）. 💡 2.平面向量的重要性质及结论 （1）若a与b不共线，且，则. （2）已知 (λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1． （3）若，则． （4）距离公式：设，则． （5）夹角公式：＝. 💡 3. 平面向量的重要公式 两个非零向量平行、垂直的充要条件：若, ，则 （1）. （2）. 💡 4.复数的有关概念 （1）复数相等：且. （2）共轭复数：与共轭且. （3）复数的模 ①概念：复数对应的向量的模叫做z的模，记作或，即. ②性质：若为复数，则. 💡 5.复数的几何意义 （1）复数复平面内的点. （2）复数平面向量. 💡 6. 复数的加、减、乘、除运算法则 设，则 （1）加法：； （2）减法：； （3）乘法：； （4）除法：. 💡 7.复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何，有，. 💡 8.复数加、减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义:若复数对应的向量不共线，则复数是以为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数. （2）复数减法的几何意义:复数是所对应的复数. 💡 9.复数乘法的运算律 交换律：；结合律：；乘法对加法的分配律：. -------------- 🎯主题必背七 数列🎯------------- 💡 1.数列的前n项和与通项之间的关系 💡 2.等差数列 （1）定义：（，为常数） （2）通项公式：． （3）等差中项公式：. （4）前n项和公式：． 💡 3.等比数列 （1）定义：（，为常数） （2）等比数列通项公式：. （3）等比中项公式：.　 （4）等比数列前n项和公式：. 💡 4.重要结论 通项公式的推广：等差数列中；等比数列中. 💡 5.等差（比）数列的判断与证明 （1）若均是等差数列，是的前n项和，则，仍为等差数列，其中m，k为常数． （2）若均是等比数列，则 (m为常数)，仍为等比数列． （3）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，…成等比数列，且公比为． （4）等比数列中连续k项的和成等比数列，即，…成等比数列，其公比为． 等差数列中连续k项的和成等差数列，即，…成等差数列，公差为． （5）若分别为等差数列的前2n－1项的和，则． 💡 6.等差（比）数列的性质 （1）增减性： ①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列． ②等比数列中，若且或且，则数列为递增数列；若且或且，则数列为递减数列． （2）等差数列中，为前n项和，…仍成等差数列； 等比数列中，为前n项和．，…一般仍成等比数列． 💡 7.求数列的通项公式 （1）归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法． （2）已知与的关系，利用求． （3）累加法：数列递推关系形如，其中数列前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)． （4）累乘法：数列递推关系形如，其中数列前n项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)． （5）构造法： ①形如 (p，q为常数)可化为的形式，利用是以p为公比的等比数列求解； ②形如 (p为非零常数)可化为的形式． 💡 8.数列求和的方法 （1）公式法求和：要熟练掌握一些常见数列的前项和公式 ；；． （2）分组求和法 分组求和法是解决通项公式可以写成形式的数列求和问题的方法，其中与是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． （3）裂项相消法 将数列的通项分成两个代数式子的差，即的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如 (其中是公差且各项均不为0的等差数列，c为常数)的数列等． （4）错位相减法 形如 (其中为等差数列，为等比数列)的数列求和， 一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和． （4）倒序求和法 距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法， 一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思． 💡 9.常见的拆项公式 （1）． （2）． （3）． （4）若等差数列{an}的公差为d，则． （5）． （6）． （7）． -------------- 🎯主题必背八 立体几何🎯------------- 💡 1.空间几何体的表面积与体积 （1）棱柱：体积：．(S为底面积，h为高)；表面积： （2）棱锥：体积：. (S为底面积，h为高)；表面积： （3）棱台：体积： (S、为底面积，h为高)；表面积： （4）圆柱：体积： (r为底面半径，h为高)； 表面积：．(r为底面半径，l为母线长). （5）圆锥：体积： (r为底面半径，h为高)； 表面积：．(r为底面半径，l为母线长) （6）圆台：体积： (r、r′为底面半径，h为高)； 表面积： （7）球：体积： (R为球的半径)；表面积：　 💡 2.多面体与球切、接问题的求解方法 （1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解． （2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解． 💡 3.线面平行与垂直的判定与性质 定理名称 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行的 判定定理 平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与此平面平行 线面平行的 性质定理 一直线与一个平面平行，则过这条直线的任何一个平面与此平面的交线与该直线平行 线面垂直的 判定定理 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 线面垂直的 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 💡 4.面面平行与垂直的判定与性质 定理名称 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行的 判定定理 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 面面平行的 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行 面面垂直的 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 面面垂直的 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 💡 5.利用向量方法证明平行与垂直 设直线l，m的方向向量分别为．平面的法向量分别为． （1）线线平行：． （2）线线垂直：　 （3）线面平行： （4）线面垂直：． （5）面面平行： （6）面面垂直：. 💡 6.模、夹角和距离公式 （1） 设，则，，． （2）距离公式 设，则 💡 7. 两条异面直线所成角 设a，b分别是两条异面直线l1，l2的方向向量． l1与l2所成的角θ a与b的夹角β 范围 (0，π) 求法 cos θ＝ cos β＝ 💡 8. 直线与平面所成角 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝. 💡 9. 平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝. 💡 10. 点P到直线 l 的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量＝a，则向量在直线l上的投影向量为＝(a·u)u，点P到直线l的距离为PQ＝． 💡 11. 点面距的求法 （1）定义法：自点向平面作垂线，利用三角形知识求垂线段的长度； （2）等积法：利用体积相等求棱锥的高，如VP-ABC＝VA-PBC. （3）向量法：如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离 d＝. 【说明：线面距和面面距可转化成点面距求解】 💡 12.利用空间向量求线线角、线面角的思路 (1)异面直线所成的角，可以通过两直线的方向向量的夹角求得，即 (2)直线与平面所成的角主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即 💡 13.利用空间向量求二面角的思路 二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角． --------------🎯主题必背九 解析几何🎯------------- 💡 1.直线的斜率公式 （1）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为． （2）已知直线过点，则直线的斜率为. 💡 2.直线方程的五种形式 （1）点斜式：. （2）斜截式：. （3）两点式：. （4）截距式：. （5）一般式：(A，B不同时为0) . 💡 3.直线的两种位置关系 （1）当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时： ①两直线平行：；②两直线垂直：． （2）当两直线方程分别为时： ①l1与l2平行或重合；②． 💡 4.直线的交点坐标与距离公式 （1）一般地，将两条直线的方程联立，得方程组，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. （2）两点间的距离公式. （3）点到直线的距离：点到直线的距离. （4）两条平行直线间的距离：若直线的方程分别为，，则两平行线的距离. 💡 5.圆的三种方程 （1）圆的标准方程：． （2）圆的一般方程：． （3）圆的直径式方程：　(圆的直径的两端点是)． 💡 6.判断直线与圆的位置关系的方法 ①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)： 相交，相离，相切． ②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)： 设圆心到直线的距离为d，则d<r⇔相交，d>r⇔相离，d＝r⇔相切． 💡 7.圆与圆的位置关系 设圆半径为，圆半径为. 圆心距与两圆半径的关系 两圆的位置关系 内含 内切 相交 外切 外离 💡 8．圆锥曲线的定义 （1）椭圆：． （2）双曲线：． （3）抛物线：，点F不在直线l上，于M(l为抛物线的准线)． 💡 9．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系 （1）在椭圆中：；离心率为． （2）在双曲线中；离心率为． 💡 10.双曲线的渐近线方程与焦点坐标 （1）双曲线的渐近线方程为；焦点坐标． （2）双曲线的渐近线方程为，焦点坐标． 💡 11.抛物线的焦点坐标与准线方程 （1）抛物线的焦点坐标为，准线方程为． （2）抛物线的焦点坐标为，准线方程为． 💡 12.直线与圆锥曲线相交时的弦长 斜率为k的直线与圆锥曲线交于点时， 💡 13.抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线焦点F的弦，若，则 ，； ②弦长 (为弦AB的倾斜角)； ③； ④以弦AB为直径的圆与准线相切． -------------- 🎯主题必背十 计数原理、概率与统计🎯------------- 💡 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 💡 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 💡 3.排列数公式 💡 4.组合数公式 💡 5.二项式定理 （1）定理内容：= （2）通项公式：． 💡 6.组合数的性质 （1）； （2）； （3）； （4）． 💡 7.二项式系数的有关性质 （1）二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 . （2）若，则f(x)展开式中的各项系数和为f(1)， 奇数项系数和为， 偶数项系数之和为． 💡 8.古典概型的概率公式 （1）在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率都是相等的，即每个基本事件发生的概率都是. （2）对于古典概型，任何事件的概率为. 💡 9.相互独立事件 （1）对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件. （2）若A与B相互独立，则，. （3）若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立. （4）若，则A与B相互独立. 💡 10.互斥事件与对立事件 （1）对立事件是互斥事件，互斥事件未必是对立事件． （2）如果事件A，B互斥，那么事件发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即.这个公式称为互斥事件的概率加法公式． （3）在一次试验中，对立事件A和不会同时发生，但一定有一个发生，因此有 1－P(A)． 💡 11.条件概率及其性质 （1）一般地，设A，B为两个事件，且，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率. （2）条件概率的性质： ①； ②如果B和C是两个互斥事件，则. 💡 12.全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有，称此公式为全概率公式. 💡 13..独立重复试验 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为. 💡 14.超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝ ，，其中，且.此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n． 💡 15. 离散型随机变量的分布列 （1）设离散型随机变量X可能取的值为取每一个值xi的概率为，则称表： X x1 x2 x3 … xi … xn P p1 p2 p3 … pi … pn 为离散型随机变量X的分布列． （2）为X的均值或数学期望(简称期望)，反应X的平均水平． （3）D(X)为随机变量X的方差． 叫标准差，它们均反映X的离散程度． 💡 16.期望与方差的性质 （1）； （2）； （3）X服从两点分布，则． 💡 17.正态分布 正态曲线的定义：函数，，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 💡 18.正态曲线的特点 （1）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. （2）曲线在x=μ处达到峰值. （3）当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴. （4）曲线与x轴围成的面积总为1. （5）在参数σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图1所示.σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大,曲线越“胖”;σ越小,曲线越“瘦”,如图2所示. 💡 19.3σ原则 1 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 💡 20.分层抽样 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样. 抽样比 . 💡 21．统计图表 在频率分布直方图中： （1）各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝； （2）各小矩形面积之和等于1； （3）中位数左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值． 💡 22．样本的数字特征 （1）众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据． 中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数； （2）样本平均数； （3）样本方差； （4）样本标准差. （5）现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差． （6）平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定． 💡 23.百分位数 （1）把100个样本数据按从小到大排序，得到第p个和第p+1个数据分别为.可以发现，区间内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数，并称此数为这组数据的第p百分位数，或p%分位数. （2）一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. 💡 24. 变量间的相关关系 （1）变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式 ． （2）相关系数r的性质 ①当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系. ②样本相关系数r的取值范围为[－1，1]. 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 💡 25. 用最小二乘法求回归直线的方程 （1）设线性回归方程为，则． 注意：回归直线一定经过样本的中心点，据此性质可以解决有关的计算问题． （2）决定系数 R2＝1－，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差. 💡 26.列联表与独立性检验 （1）关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表 X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 记n＝a＋b＋c＋d，则随机变量 χ2＝. （2）独立性检验 基于小概率值α的检验规则是： 当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立. 下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 学科网（北京）股份有限公司 $