教考衔接二十四 教材命题点探源突破卷（02）-2026届高三数学二轮复习

教考衔接二十四 教材命题点探源 高三数学 突破卷02 （分值：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数z满足，则( ) A. B.1 C. D.2 2.设集合，，则( ) A. B. C. D. 3.已知向量a，b满足，且，若，则( ) A. B. C.2 D. 4.设随机变量X服从二项分布，则函数存在零点的概率是( ) A. B. C. D. 5.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量(单位:贝克)与时间(单位:天)满足函数关系,其中为时该放射性同位素的含量.已知时,该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素衰变至含量为4.5贝克时，所经历的时间为( ) A.20天 B.30天 C.45天 D.60天 6.函数（，，），若，则a的值为( ) A.4 B.4或 C.2或 D.2 7.过抛物线的焦点F的直线l与抛物线在第一象限内的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为( ) A. B. C. D. 8.某车企为转型升级，从2026年起大力发展新能源汽车，2026年全年预计生产新能源汽车10万辆，每辆车的利润为2万元.假设后续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都比前一年增加(假设每年生产的新能源汽车都能销售出去)，每辆车的利润都比前一年增加2000元，则至2032年年底,该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为( ) (参考数据：,结果精确到0.1) A.320.5亿元 B.353.8亿元 C.363.2亿元 D.283.8亿元 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次记为A，B，C，若，则( ) A.的最小正周期为 B. C.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则在上的值域为 D.若函数，则在上有6个零点 10.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，M为C上异于A，B的一点，过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N，交x轴于点T，则( ) A.存在点M，使 B. C.的最小值为 D.周长的最大值为8 11.已知正方体的棱长为1，M为正方体的表面上的动点，N为侧面上的动点，则下列结论正确的是( ) A.若，则M的轨迹长度为 B.若，则DN的最小值为 C.若M在上，N在上，则MN的最小值为 D.若M为的中点，N为AB的中点，则过M，N，三点的平面截正方体所得的截面为直角梯形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知曲线上一点处的切线为l，若曲线上至多存在一条与l垂直的切线，则实数b的取值范围是__________. 13.已知随机变量，随机变量若，则正整数n的最小值为_________. 14.已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X，Y，定义协方差为.将号码分别为1，2，3，4的4个小球等可能地放入号码分别为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子恰好放1个小球. （1）求1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中的概率； （2）记所放小球号码与盒子号码相同的个数为X，不同的个数为Y，求证：； （3）结合实例，解释协方差的实际含义. 16.（15分）已知函数，其中，e为自然对数的底数. （1）若，证明； （2）讨论的极值点的个数. 17.（15分）在正三棱台中，侧棱长为1，且，E为的中点，D为上的点，且. （1）证明：平面，并求出AD的长. （2）求平面BDE与平面ABC夹角的余弦值. 18.（17分）【材料1】.过椭圆上点处的切线方程为； 【材料2】过抛物线上点处的切线方程为. 结合以上材料，回答问题：已知椭圆上点处的切线为，且抛物线与相切. （1）求切线的方程； （2）求抛物线W的方程； （3）已知定点，不过点M的直线l与抛物线W恒有两个不同交点A，B，且与其准线交于点C（点C不在x轴上）.若直线，，的斜率分别是，，，且，，成等差数列，证明：直线l恒过定点. 19.（17分）若存在1，1，2，2，…，n，n的一个排列，满足每两个相同的正整数之间恰有k个正整数，则称数列为“有趣数列”，称这样的n为“有趣数”.例如，数列：4，6，1，7，1，4，3，5，6，2，3，7，2，5为“有趣数列”，7为“有趣数”. （1）判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由； ①：1，2，1，2；②：3，1，2，1，3，2. （2）请写出“有趣数列”的所有可能情形； （3）从1，2，…，中任取两个数i和j，记i和j均为“有趣数”的概率为，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 教考衔接二十四 教材命题点探源 高三数学 突破卷02 （分值：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数z满足，则( ) A. B.1 C. D.2 【答案】B 【解析】由题意知，所以. 故选B. 2.设集合，，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】或，，所以. 故选C. 3.已知向量a，b满足，且，若，则( ) A. B. C.2 D. 【答案】A 【解析】依题意，即.又，且，所以，即，解得. 故选：A 4.设随机变量X服从二项分布，则函数存在零点的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】函数存在零点，，.随机变量X服从二项分布，. 故选C. 5.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量(单位:贝克)与时间(单位:天)满足函数关系,其中为时该放射性同位素的含量.已知时,该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素衰变至含量为4.5贝克时，所经历的时间为( ) A.20天 B.30天 C.45天 D.60天 【答案】D 【解析】由,得,因为时,该放射性同位素的瞬时变化率为,即,解得,则, 当该放射性同位素含量为4.5微克时,即, 所以,即,所以,解得. 故选:D. 6.函数（，，），若，则a的值为( ) A.4 B.4或 C.2或 D.2 【答案】C 【解析】由题意得，， 令，则，则函数，， 即，. 当时，在上单调递增，由可得，解得； 当时，在上单调递减，由可得，解得.故a的值为2或. 故选C. 7.过抛物线的焦点F的直线l与抛物线在第一象限内的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】点，设点，.因为，所以F为AB的中点，所以所以所以，又点A在第一象限，所以，可得，，所以点，.点A在抛物线准线上的射影为C，则点，所以，，所以，解得或（舍去），所以抛物线的方程为. 故选A. 8.某车企为转型升级，从2026年起大力发展新能源汽车，2026年全年预计生产新能源汽车10万辆，每辆车的利润为2万元.假设后续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都比前一年增加(假设每年生产的新能源汽车都能销售出去)，每辆车的利润都比前一年增加2000元，则至2032年年底,该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为( ) (参考数据：,结果精确到0.1) A.320.5亿元 B.353.8亿元 C.363.2亿元 D.283.8亿元 【答案】B 【解析】设第n年每辆车的利润为万元,则每辆车的利润是以2为首项,0.2为公差的等差数列, 所以, 设第n年新能源汽车的销量为辆,则该汽车的销量是以100000为首项,1.2为公比的等比数列, 所以,设该车企销售新能源汽车的总利润为S, , ①, ②, ①-②得： , 所以万元,即亿元, 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次记为A，B，C，若，则( ) A.的最小正周期为 B. C.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则在上的值域为 D.若函数，则在上有6个零点 【答案】ACD 【解析】依题意，，故A正确； ，所以，，记，则，，所以，所以①，而②，联立①②可得，故B错误； ，所以当时，，，所以，故C正确； ，在直角坐标系中分别作出，的图象如图所示，观察可知，其图象在上有6个交点，即在上有6个零点，故D正确. 故选ACD. 10.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，M为C上异于A，B的一点，过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N，交x轴于点T，则( ) A.存在点M，使 B. C.的最小值为 D.周长的最大值为8 【答案】BCD 【解析】因为椭圆C的方程为，所以左顶点，右顶点，左焦点.当点M位于短轴端点时，最大，即，所以此时，，所以，又因为，所以，所以椭圆上不存在点M，使，所以选项A错误.设，则，，且，，，所以，，，，，，即，所以选项B正确.，所以，，所以，，，所以当时，取得最小值，且最小值为，所以选项C正确.因为椭圆的离心率，，所以根据椭圆的对称性，不妨令，则，，所以的周长为，因为点M在椭圆上，所以令，，其中且，所以的周长，当，，即时，的周长取得最大值，且最大值为8，所以选项D正确. 故选：BCD. 11.已知正方体的棱长为1，M为正方体的表面上的动点，N为侧面上的动点，则下列结论正确的是( ) A.若，则M的轨迹长度为 B.若，则DN的最小值为 C.若M在上，N在上，则MN的最小值为 D.若M为的中点，N为AB的中点，则过M，N，三点的平面截正方体所得的截面为直角梯形 【答案】AB 【解析】对于A，由，得点M的轨迹为以点B为球心，为半径的球面与正方体表面的交线，如图①，其中，，等长，，，等长，，所以，同理，所以，所以的长为，，，所以的长为，所以M的轨迹长度为，故A正确；对于B，如图②，连接，，，，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证，又，平面，所以平面，因为N为侧面上的动点，，所以N在线段上，又是边长为的等边三角形，所以DN的最小值为边上的高，即，故B正确；对于C，如图③，取的中点为Q，连接，，易知平面，平面，所以，所以，当点N与点重合，点M与点Q重合时，与均取得最小值，此时MN取得最小值，故MN的最小值为，故C错误；对于D，如图④，若M为的中点，N为AB的中点，取AD上靠近点A的四等分点P，连接，，，，取线段AD的中点E，连接BE，ME，则，，则四边形为梯形，则梯形为过M，N，三点的平面截正方体所得的截面，，，，所以，即，同理可得，所以梯形不是直角梯形，故D错误.故选AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知曲线上一点处的切线为l，若曲线上至多存在一条与l垂直的切线，则实数b的取值范围是__________. 【答案】 【解析】将代入，解得.对求导得，点处的切线l的斜率，故与l垂直的切线的斜率为.对求导得，若曲线上至多存在一条与l垂直的切线，则令，可得，（也可用至多有一个零点，即）解得. 故答案为： . 13.已知随机变量，随机变量若，则正整数n的最小值为_________. 【答案】6 【解析】由，得，又所以，易得单调递增，又当时，，所以正整数n的最小值为6. 故答案为：6. 14.已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】方法一：由题可得，函数最多只有一个零点. 由，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，且当时，，所以最多有两个零点.因为有三个零点，所以有两个零点，有一个零点，所以解得，所以实数a的取值范围为. 方法二：已知函数有三个零点，当时，，令，解得；当时，，令，解得. 所以构造函数则有三个零点等价于的图象与直线有三个交点.由，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，且当时，，，所以的图象与直线最多只有两个交点；的图象与直线最多只有一个交点.综上，直线与的图象有两个交点，与的图象有一个交点，如图，则解得，所以实数a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X，Y，定义协方差为.将号码分别为1，2，3，4的4个小球等可能地放入号码分别为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子恰好放1个小球. （1）求1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中的概率； （2）记所放小球号码与盒子号码相同的个数为X，不同的个数为Y，求证：； （3）结合实例，解释协方差的实际含义. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【解析】(1)将号码分别为1，2，3，4的4个小球 等可能地放入号码分别为1，2，3，4的4个盒子中， 每个盒子恰好放1个小球的所有情况有 （种），1号球在2号盒子中时， 有种情况，1号球在3或4号盒子中时， 有种情况1号球不在1号盒子中， 且2号球不在2号盒子中包含的情况有（种）， 记“1号球不在1号盒子中， 且2号球不在2号盒子中”为事件A， 则. (2)由题意知X的所有可能取值为0，1，2，4，且， ， ， ， ， 故X的分布列为 X 0 1 2 4 P 所以， . 解法一：因为， 所以， 令，则Z的分布列为 Z -1 0 -9 P 则. 解法二： 因为，所以时，， 时，， 则， 时，，则， 时，，则， 故. . (3)令， 可知当时，X和Y同时大于或同时小于各自的数学期望； 当时，X和Y相对于各自数学期望的大小情况相反. 因此，刻画了X和Y之间的变化趋势： 如果，表示X和Y的变化趋势相同； 如果，表示X和Y的变化趋势相反. 在第(2)问中，表示 “所放小球号码与盒子号码相同”的个数和 “所放小球号码与盒子号码不同”的个数的变化趋势相反，与实际情况相吻合. 16.（15分）已知函数，其中，e为自然对数的底数. （1）若，证明； （2）讨论的极值点的个数. 【答案】（1）证明见解析 （2）函数在上有且仅有一个极值点 【解析】（1）证明：当时，， 则，，. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又，所以. （2）由题意知，函数的定义域为，. 设，，显然函数在上单调递增，与同号. ①当时，，， 所以函数在内有一个零点，所以函数在上有且仅有一个极值点. ②当时，由第（1）问知， 函数在上有且仅有一个极值点. ③当时，，， 因为， 所以，. 又， 所以函数在内有一个零点，记为， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上有且仅有一个极值点. 综上所述，函数在上有且仅有一个极值点. 17.（15分）在正三棱台中，侧棱长为1，且，E为的中点，D为上的点，且. （1）证明：平面，并求出AD的长. （2）求平面BDE与平面ABC夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】（1）证明：如图所示，由三棱台的性质可知延长，，交于点P，连接PE并延长交BC于F，连接AF，易得三棱锥为正四面体， 所以，，且平面，平面APF， 所以平面APF. 因为平面APF，所以. 因为，且平面，平面， 所以平面. 又因为平面，所以. 在中，，，， 所以 ， ， 所以. （2）以底面的中心O为坐标原点，与BC平行的直线为x轴，OF为y轴，OP为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，. 设平面BDE的一个法向量为， 则即 令，则，，所以. 取平面ABC的一个法向量为， 所以， 所以平面BDE与平面ABC夹角的余弦值为. 18.（17分）【材料1】.过椭圆上点处的切线方程为； 【材料2】过抛物线上点处的切线方程为. 结合以上材料，回答问题：已知椭圆上点处的切线为，且抛物线与相切. （1）求切线的方程； （2）求抛物线W的方程； （3）已知定点，不过点M的直线l与抛物线W恒有两个不同交点A，B，且与其准线交于点C（点C不在x轴上）.若直线，，的斜率分别是，，，且，，成等差数列，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】（1）由材料知，过椭圆上点处的切线为， 即，所以切线的方程为. （2）设抛物线与直线相切于点， 由材料知，抛物线在点处的切线方程为，即. 由题意知直线与直线重合，则 又因为，所以，解得，所以抛物线W的方程为. （3）证明：由（2）知，其焦点为，准线方程为. 设直线l的方程为，，，联立 解得，即点. 由得，，. 由，，成等差数列得，即， 由A，B在直线l上得，， 代入①得，联立 消去x得，则由，得. 由根与系数的关系得，. 将③代入②得. 化简得， 即， 即， 即， 即. 又因为直线l不过点和点， 所以且，故. 即直线l的方程为，所以直线l恒过定点. 19.（17分）若存在1，1，2，2，…，n，n的一个排列，满足每两个相同的正整数之间恰有k个正整数，则称数列为“有趣数列”，称这样的n为“有趣数”.例如，数列：4，6，1，7，1，4，3，5，6，2，3，7，2，5为“有趣数列”，7为“有趣数”. （1）判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由； ①：1，2，1，2；②：3，1，2，1，3，2. （2）请写出“有趣数列”的所有可能情形； （3）从1，2，…，中任取两个数i和j，记i和j均为“有趣数”的概率为，证明：. 【答案】（1）不是“有趣数列”；是“有趣数列” （2）4，1，3，1，2，4，3，2或2，3，4，2，1，3，1，4 （3）证明见解析 【解析】（1）①：1，2，1，2中两个2之间间隔数只有1个，故不是“有趣数列”， ②：3，1，2，1，3，2中两个1之间间隔数有1个，两个2之间间隔数有2个，两个3之间间隔数有3个，故是“有趣数列”. （2）当两个1中间为2，不妨设1，2，1右边两个2中间可能为1，3或1，4， 则可能为4，3，1，2，1，3，2，4或4，3，1，2，1，4，2，3，不符合题意； 当两个1中间为3，两个2中间可能为3，4或4，3，则可能为4，1，3，1，2，4，3，2或2，3，4，2，1，3，1，4，符合题意； 当两个1中间为4，不妨设1，4，1右边两个2中间可能为3，4或4，3， 则可能为1，4，1，2，3，4，2，3或1，4，1，2，4，3，2，3，不符合题意. 综上所述，“有趣数列”可能为4，1，3，1，2，4，3，2或2，3，4，2，1，3，1，4. （3）证明：将“有趣数列”中数字第一次出现的项记作第项， 由题意可知数字k第二次出现的项数为第项， 所以， 所以，即. 又因为为整数，所以必有为整数， 当，或时，不可能为整数，不符合题意. 当时，为整数，构造“有趣数列”为 ，…，，，，…，1，，1，…，， ，…，，，，…，，， ，…，2，，，2，…，，，…，，符合题意. 当时，为整数，构造“有趣数列”为 ，…，，，，…，1，，1，…，， ，…，，，，…，，，，…，2，，，2，…，，，…，，，，符合题意. 这里，…，是指将一直到2m的偶数按从大到小的顺序进行排列， ，…，1是指将一直到1的奇数按从大到小的顺序进行排列， 故1，2，…，中的“有趣数列”为3，4，7，8，…，，共个， 则所求概率. 学科网（北京）股份有限公司 $