教考衔接二十五 教材命题点探源突破卷（03）-2026届高三数学二轮复习

教考衔接二十五 教材命题点探源 高三数学 突破卷03 （分值：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合，，若，则实数a取值集合的真子集的个数为( ) A.2 B.3 C.7 D.8 【答案】C 【解析】由，得，解得或，所以集合.当时，，满足；当时，，因为，所以或，得或，综上，实数a的取值集合为，所以实数a的取值集合的真子集的个数为. 故选C. 2.若（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】由题意知，故，故，则复数在复平面内对应的点为，该点在第四象限. 故选D. 3.在等边中，已知点D，E满足，，与CE交于点O，则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】过点D作交AB于点F（图略）.由平行线的性质得，，， 所以， ， 所以在上的投影向量为. 故选C. 4.当时，曲线与的交点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】A 【解析】，在同一平面直角坐标系中作出和的大致图象，如图.当时，两函数图象共有4个交点. 故选A. 5.权，是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治，经济，文化方面的大量信息.“环权”类似于砝码（如图），用于测量物体质量.已知九枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则的前8项和为( ) A.194 B.193 C.192 D.191 【答案】C 【解析】由题意可得，则.设后7项所成等比数列的公比为q，则，，所以的前8项和为. 故选C. 6.若是函数的极小值点，则的极大值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函数，求导得.由是的极小值点，得，解得或. 当时，.当时，；当时，.故是的极大值点，不符合题意.当时，.当时，；当时，，故是的极小值点，符合题意，所以.又当时，，所以函数在处取得极大值. 故选D. 7.已知椭圆的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，若，则C的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设，，，则直线，联立方程消去y得，则可得，，，则，整理得，又，则，则. 故选B. 8.已知直三棱柱中，，，点C到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】方法一：设点C到直线AB的距离为d，由，解得.由点C到直线的距离为，得，即，则三棱柱的外接球的球心到底面ABC的距离为. 解法一：在中，由余弦定理得，由正弦定理得的外接圆直径为，所以. 解法二：设的外接圆的半径为r，根据勾股定理可得，解得. 所以直三棱柱的外接球的半径，则其外接球的表面积为.故选C. 方法二：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则，设，则，，则，，所以点C到直线的距离，解得，所以直三棱柱的高为2. 在中，，，易得.设的外接圆半径为r，由正弦定理得的外接圆直径为，所以.设直三棱柱的外接球的半径为R，则，则其外接球的表面积为. 故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能.记事件A表示“3次结果中既有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则( ) A.事件B与事件C互斥 B. C.事件A与事件B相互独立 D.记C的对立事件为，则 【答案】BCD 【解析】对于A，显然事件B发生的情况中包含事件C，即事件B与C可同时发生，所以A错误；对于B，，所以B正确；对于C，因为，，所以，则事件A与B相互独立，所以C正确；对于D，由题意，得，则，所以，所以D正确.故选BCD. 10.已知数列满足，，则下列结论正确的有( ) A.为等比数列 B.的通项公式为 C.为递增数列 D.的前n项和 【答案】ABD 【解析】因为，，所以，所以，又，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；，即，故B正确；，因为，所以，，，所以，所以为递减数列，故C错误；，则 ，故D正确. 故选ABD. 11.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，D在边AC上，且BD平分，若，，则下列结论正确的是( ) A. B. C.的面积为 D. 【答案】BCD 【解析】对于A，由及正弦定理可得，，则，所以，又，所以，所以，解得，又因为，所以，故A错误；对于B，由选项A可知，，D在边AC上，且BD平分，所以，又，，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，两式左右两边分别相除可得，，化简得，故B正确；对于C，由选项B可知，设，则，在中，由余弦定理得，即，解得，则，故C正确；对于D，由，得，解得，所以，故D正确. 故选BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知圆，直线交圆M于A，B两点，点，则面积的最大值为___________. 【答案】 【解析】如图，设，，由，得， ，得，则 ，，令，则， ，令，则，令，对于函数，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线， ，的面积的最大值为. 故答案为： 13.如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，使活塞做直线往复运动.当曲柄在位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在处.设连杆AB长，曲柄CB长，则曲柄自按顺时针方向旋转时，活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离）约为__________mm.（结果保留整数，取为） 【答案】36 【解析】解法一：在中，，，，.由正弦定理得，，，，，故，即曲柄自按顺时针方向旋转时，活塞移动的距离约为. 解法二：，，.在中，由余弦定理，可得（负值舍去），故，即曲柄自按顺时针方向旋转时，活塞移动的距离约为. 故答案为：36. 14.若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为__________. 【答案】 【解析】和的公共定义域为，结合大致图象可知，在上，.设直线，直线l与在上的图象切于点，与在上的图象切于点，，，则，则，且，解得，所以公切线的斜率，结合图象可知，“隔离直线”的斜率的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求B； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为，所以， 所以，即. 因为，所以. （2）由（1）知，所以， 由正弦定理知. 因为为锐角三角形，，所以解得， 所以，可得，所以， 所以的取值范围是. 16.（15分）已知椭圆，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形. （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l交椭圆C于A，B两点，交直线于点E，且，.求证：为定值，并计算出该定值. 【答案】（1） （2）为定值，定值为0 【解析】（1）由题可得解得 所以椭圆的方程为. （2）证明：易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，，. 由消去y整理得， 则，则，. 因为，所以， 即① 因为，所以， 即② 由①得，由②得， 所以， 将，代入上式， 得. 所以为定值，定值为0. 17.（15分）双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛.之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组，降入负者组，只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.A，B，C，D四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6场比赛为决赛. （1）假设四人实力旗鼓相当，即各场比赛每人的胜率均为，求： ①A和D在决赛中过招的概率； ②D共输了两场比赛且成为亚军的概率. （2）若A的实力出类拔萃，即有A参加的比赛其胜率均为，其余三人实力旗鼓相当，求D进入决赛且先前与对手已有过招的概率. 【答案】（1）①，② （2） 【解析（1）假设四人实力旗鼓相当，即各场比赛每人的胜率均为，即概率为. ①由题意，第一轮A和D对阵，则获胜者需要赢得比赛3的胜利，失败者需要赢得比赛4和比赛5的胜利，他们才能在决赛中对阵， 所以A和D在决赛中过招的概率为. ②设表示D在比赛i中胜利，表示D在比赛i中失败， 则事件E：D获得亚军，事件F：D所参加的所有比赛中失败了两场， 事件F包括，，，，五种情况. 这五种情况彼此互斥，可得 . 其中积事件EF包括，两种情况， 可得， 所以所求概率为. （2）由题意得，每场比赛A获胜的概率为，B，C，D之间比赛获胜的概率均为， 要使得D进入决赛且先前与对手已有过招，可分为三种情况： 若A与D在决赛中相遇，则分为A1胜3胜，D1负4胜5胜，或A1负4胜5胜，D1胜3胜，共两种情况， 可得概率； 若B与D在决赛中相遇，则分为D1胜3胜，B2胜3负5胜，或D1胜3负5胜，B2胜3胜，共两种情况， 可得概率； 若C与D在决赛中相遇，和B与D在决赛中相遇概率相同，故概率. 所以D进入决赛且先前与对手已有过招的概率. 18.（17分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，. （1）求证：平面平面PBC； （2）若，，E是线段BC上一点，且二面角的余弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）在底面ABCD中，因为，，所以. 因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAB. 又因为平面PAB，所以. 又因为，，平面ADP， 所以平面ADP， 又因为平面PBC，所以平面平面PBC. （2）取AB的中点O，连接OC，OP. 因为，且， 所以四边形AOCD为矩形，则，所以平面PAB. 又因为在中，，所以OP，OB，OC两两垂直. 以OP，OB，OC分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，. 设，，则，， 设平面AEP的法向量为 则 令，可得，， 即. 因为平面PAD， 所以平面PAD的一个法向量， 所以. 化简得，即， 解得或（舍去），即. 19.（17分）设n为正整数，数列，，…，，其中.若，，…，可被分为l组，使得每组各数之和不超过1，则称数列，，…，为可分数列. （1）若，，数列，，…，是可分数列，求l的最小值； （2）若，，证明：数列，，…，是可分数列； （3）给定正数M，若任意满足的数列，，…，均为可分数列，求l的最小值（用含M的式子表达）. 【答案】（1）3 （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）因为，，不能同组，所以；又若按照，，分组， 则数列，，…，为可分数列，所以l的最小值为3. （2）证明：考虑以下分组方式，第j组：，，…，，， 放入第二组，此时，第j组各数之和. 第二组各数之和， 故数列，，…，是可分数列. （3）①若，l的最小值为1； ②若，记，则， 所以.若取，，，…，两两不能同组， 故. 另外，我们如下分组，先把，，…，分成m组，然后重复操作，任取两组，若这两组所有之和不超过1，则合并这两组，直到任意两组不能合并，记为第i组所有项的和， 此时，，， 即有，，…，， 累加得， 即， 故成立. 综上， 学科网（北京）股份有限公司 $ 教考衔接二十五 教材命题点探源 高三数学 突破卷03 （分值：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合，，若，则实数a取值集合的真子集的个数为( ) A.2 B.3 C.7 D.8 2.若（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在等边中，已知点D，E满足，，与CE交于点O，则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 4.当时，曲线与的交点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.8 5.权，是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治，经济，文化方面的大量信息.“环权”类似于砝码（如图），用于测量物体质量.已知九枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则的前8项和为( ) A.194 B.193 C.192 D.191 6.若是函数的极小值点，则的极大值为( ) A. B. C. D. 7.已知椭圆的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，若，则C的离心率为( ) A. B. C. D. 8.已知直三棱柱中，，，点C到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能.记事件A表示“3次结果中既有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则( ) A.事件B与事件C互斥 B. C.事件A与事件B相互独立 D.记C的对立事件为，则 10.已知数列满足，，则下列结论正确的有( ) A.为等比数列 B.的通项公式为 C.为递增数列 D.的前n项和 11.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，D在边AC上，且BD平分，若，，则下列结论正确的是( ) A. B. C.的面积为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知圆，直线交圆M于A，B两点，点，则面积的最大值为___________. 13.如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，使活塞做直线往复运动.当曲柄在位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在处.设连杆AB长，曲柄CB长，则曲柄自按顺时针方向旋转时，活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离）约为__________mm.（结果保留整数，取为） 14.若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求B； （2）求的取值范围. 16.（15分）已知椭圆，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形. （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l交椭圆C于A，B两点，交直线于点E，且，.求证：为定值，并计算出该定值. 17.（15分）双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛.之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组，降入负者组，只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.A，B，C，D四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6场比赛为决赛. （1）假设四人实力旗鼓相当，即各场比赛每人的胜率均为，求： ①A和D在决赛中过招的概率； ②D共输了两场比赛且成为亚军的概率. （2）若A的实力出类拔萃，即有A参加的比赛其胜率均为，其余三人实力旗鼓相当，求D进入决赛且先前与对手已有过招的概率. 18.（17分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，. （1）求证：平面平面PBC； （2）若，，E是线段BC上一点，且二面角的余弦值为，求的值. 19.（17分）设n为正整数，数列，，…，，其中.若，，…，可被分为l组，使得每组各数之和不超过1，则称数列，，…，为可分数列. （1）若，，数列，，…，是可分数列，求l的最小值； （2）若，，证明：数列，，…，是可分数列； （3）给定正数M，若任意满足的数列，，…，均为可分数列，求l的最小值（用含M的式子表达）. 学科网（北京）股份有限公司 $