精品解析：江苏省无锡市宜兴市2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

高一年级试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求得集合，再由交集运算可得结果. 【详解】易知，可得或， 又，则. 故选：D 2. 命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到答案. 【详解】是“，”. 故选：A. 3. 若函数是偶函数，且值域为，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的性质逐一分析每个选项. 【详解】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确. 故选：B 4. 已知向量满足，则与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量模的运算得，进而结合向量夹角公式求解即可. 【详解】解：因为向量满足， 所以，解得， 所以， 因为， 所以，，即与所成角为. 故选：A 5. 如果，那么下列不等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对AD，当时即可反驳；对B，举反例即可，对C，根据不等式性质即可判断. 【详解】对A，当，则，故A错误； 对B，举例，满足，但，故B错误； 对C，因为，则，则，则两边同除以得，故C正确； 对D，当，则，则，故D错误. 故选：C. 6. 函数的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用整体代换法直接计算可得结果. 【详解】根据正切函数图象性质令, 解得， 若，不满足题意，A错误； 若，可得时，此时的对称中心为，B正确； 若，不满足题意，C错误； 若，不满足题意，D错误. 故选：B 7. 设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.当的面积最大时，的长度为（ ）cm A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作图，根据对称以及矩形的性质，结合正弦函数的和差公式，利用基本不等式，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由矩形的周长为，且，则，， 设，则，易知，， 则， 在中，， 所以面积， 当且仅当，等号成立， 故的面积最大值为，此时. 故选：C. 8. 已知，，，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，结合指数式的运算法则，得到，进一步求的值. 【详解】设， 则，，， 所以， 又，，则，所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在区间上单调递减的函数有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】逐一分析函数在给定区间上的单调性，可进行判断. 【详解】对A：当，则，因为在上单调递增，所以在上单调递增，故A不满足条件； 对B：因为在上单调递增，所以在上单调递减，故B满足条件； 对C：当时，，在上单调递减，所以C满足条件； 对D：当时，，所以，因为在单调递减，所以在上单调递增，即在上单调递增，故D不满足条件. 故选：BC 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据的取值范围以及满足等式求得，可判断A正确；利用基本不等式计算可求得B错误；根据基本不等式中“1”的妙用可得C正确；再利用变量代换以及二次函数性质可得D正确. 【详解】对于A，由，且可得，即，且，即， 所以，可得，所以，即A正确； 对于B，易知，即，可得， 当且仅当，即时，等号成立，即B错误； 对于C，易知， 当且仅当，即时，等号成立，即C正确； 对于D，易知， 当且仅当时，等号成立，即D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若关于的方程有两个不同的解，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】判断出函数奇偶性可判断A错误，利用复合函数单调性可知单调递增，可判断B正确，利用基本不等式计算可得C正确，根据函数与方程的思想结合图象变换，由图象交点个数可判断D正确. 【详解】对于A，易知函数的定义域为，且满足， 所以函数为奇函数，其图象关于原点成中心对称，即A错误； 对于B，易知函数为单调递增函数，则单调递增， 所以当时，即，可得， 即，可得B正确； 对于C，易知， 当且仅当时，即时，等号成立，即C正确； 对于D，因为，所以，结合已有分析可知函数的值域为，其图象如下图： 易知图象是将的图象向下平移个单位，再将轴以下的部分作关于轴对称的图象并保留轴以上的部分，如下图： 由上图可知与函数有两个交点时，满足题意，即，即D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线，可得，待定系数，即可求得答案. 【详解】因为向量共线， 所以存在实数，使， 则，解得，则. 故答案为： 13. 窗花是中国传统民间工艺，承载着吉祥寓意与文化内涵.图1为一张手工制作的扇环形窗花，可视为图2扇形截去扇形所剩余部分.已知，，.则此扇环形窗花的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件根据圆心角的弧度数与弧长和半径的关系列方程求，结合扇形面积公式求结论. 【详解】设圆心角为，则， 已知，，所以，解得. 因为，所以. 所以此扇环形窗花的面积为： 故答案为：. 14. 已知函数，，，，是函数的4个零点，且，则的取值范围为_______；的取值范围是_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】转化为与有4个不同的交点，同一坐标系内画出与的图象，得到，，并得到，求出. 【详解】令，即，， 即与有4个不同的交点， 同一坐标系内画出与的图象， 故，令，解得， 显然， 令，整理得， 故， 令得，或， 故，，， . 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出集合，再根据交集和补集的含义即可得到答案； （2）首先分析得，再分和讨论即可. 【小问1详解】 ，， 或， 故或. 【小问2详解】 由题意，， 当时，，； 当时，，即，. 综上，. 16. 已知函数，. （1）证明：是增函数； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性的定义的证明步骤进行处理即可； （2）利用（1）得出的单调性，结合函数的定义域解不等式. 【小问1详解】 证明：任取，且，， 则 ， 又，且，，则， ，，， 得到，即， 函数在区间上是增函数. 【小问2详解】 函数是定义在区间上的增函数， 由，得到， 解得或， 所以实数的取值范围为或. 17. 已知函数（）的图象关于直线对称. （1）求的值； （2）若，求的值； （3）若将的图象向右平移个单位长度，再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求不等式的解集. 【答案】（1）0 （2） （3）（）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数的对称轴公式代入求解； （2）结合（1）中求得的函数表达式，代入化简得到，展开后平方即可得解； （3）先求图象变换后的解析式，然后解正弦不等式. 【小问1详解】 由题意，得， 则（），即（）， 又，. 【小问2详解】 由（1）知， ，， ，两边平方得， 故. 【小问3详解】 由题意知，. 不等式即为， ， 即，， 解得（）， 即（）， 不等式解集为（）. 18. 已知函数（），的最小正周期为. （1）求函数在区间上的单调增区间； （2）若函数在上有最大值，没有最小值，求实数的取值范围； （3）是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出函数的解析式，再由整体代换法即可求出函数的单调递增区间； （2）由可得，根据正弦函数图象性质可得，即可求得实数的取值范围； （3）求出函数在上的值域，再根据换元法构造函数得出不等关系，结合二次函数最值及符号，解不等式可得结果. 【小问1详解】 因为 ， ，，所以. 令（），解得（）. ，所以增区间为，. 【小问2详解】 ，， 由题意， . 【小问3详解】 当时，，得， 存在，使成立， 所以， 令（），得，且， 所以对恒成立， 设，则，即， 解得. 19. 已知函数，函数， （1）设. （ⅰ）若，求的零点； （ⅱ）若的最小值为，求的值； （2）若函数在上有定义，且存在区间使得在上的值域是，求的取值范围. 【答案】（1）（ⅰ）零点为2和；（ⅱ）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）分类讨论得出的表达式，直接求出其零点即可； （ⅱ）将函数写成分段函数形式，再利用二次函数单调性进行分类讨论，解方程求得的值； （2）根据函数的值域可得，是在上的两个不等的正根，再由一元二次方程根的分布解不等式可得结果. 【小问1详解】 ， （ⅰ）若，令， 若，方程可化为，解得或（舍去）； 若，方程可化为，解得或（舍去）， 综上，的零点为2和. （ⅱ）， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 令，解得或（舍去）； 当时，若，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 令， 解得或（舍去）； 若，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 令，解得（舍去）； 若，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 令， 解得或（均不合题意，舍去）， 综上，实数的值为或. 【小问2详解】 函数在上有定义， 又在上单调递增，，解得. 若存在区间， 使得在上的值域是， 即， 则，是一元二次方程， 即在上的两个不等的正根， 需满足，解得. 实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 2. 命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若函数是偶函数，且值域为，则可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，则与所成角为（ ） A. B. C. D. 5. 如果，那么下列不等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 7. 设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.当的面积最大时，的长度为（ ）cm A. B. C. D. 8. 已知，，，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在区间上单调递减的函数有（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若关于的方程有两个不同的解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数________. 13. 窗花是中国传统民间工艺，承载着吉祥寓意与文化内涵.图1为一张手工制作的扇环形窗花，可视为图2扇形截去扇形所剩余部分.已知，，.则此扇环形窗花的面积为______. 14. 已知函数，，，，是函数的4个零点，且，则的取值范围为_______；的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数，. （1）证明：是增函数； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数（）的图象关于直线对称. （1）求的值； （2）若，求的值； （3）若将的图象向右平移个单位长度，再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求不等式的解集. 18. 已知函数（），的最小正周期为. （1）求函数在区间上的单调增区间； （2）若函数在上有最大值，没有最小值，求实数的取值范围； （3）是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 19. 已知函数，函数， （1）设. （ⅰ）若，求的零点； （ⅱ）若的最小值为，求的值； （2）若函数在上有定义，且存在区间使得在上的值域是，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $