精品解析：福建漳州市长泰区2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

长泰区2025－2026学年第一学期期末质量检测九年级数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂） 1. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知是以点为位似中心放大倍后的位似图形，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 同位角相等 B. 两个负数的和是正数 C. 在中， D. 如果，为实数，那么 6. 一辆小车沿着斜坡向上行驶了50米（坡度），则此时该小车的竖直高度上升（ ） A. 米 B. 25米 C. 米 D. 米 7. 《田亩比类乘除捷法》中记载：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）． A. 对称轴为直线 B. 抛物线与轴的交点为 C. 当时，随的增大而增大 D. 抛物线的最低点是 9. 如图，在正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线，与是抛物线上两点，当时，都有，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置） 11. 已知是一元二次方程的一个解，则的值为_____． 12. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过大量重复试验，统计摸到红球的频率，并绘制出如下图所示统计图，估计口袋中白球的个数是_____． 13. 某小区做园林规划设计时，将图纸上的一块长为，宽为的长方形的花坛改成等面积的圆形，则这个圆形花坛的半径是_____． 14. 当时，代数式的最小值是_____． 15. 如图，已知正方形是边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得，连接，分别交于点．若，则的值为_____． 16. 如图，在中，，分别是边上一点，且，将沿着翻折，若点恰好落在斜边上的点处，则的值为_____． 三、解答题（本题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，、相交于点，，若，，，求的长． 20. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 21. 电影《浪浪山小妖怪》在2025年暑期火爆上映．如图，小明收集了四张印有电影主角猩猩怪、蛤蟆精、小猪妖、黄鼠狼精形象的卡片，分别记作、、、．它们除所印形象外无其他差别，将这些卡片洗匀，背面朝上． （1）从中任意取出一张卡片，求取出的卡片图案为“黄鼠狼精”的概率． （2）若现在要在这4张卡片中挑选张，请用画树状图或列表的方法，求选中“猩猩怪”和“小猪妖”的概率． 22. 文昌阁位于长泰区武安镇石岗山上，始建于唐朝，是长泰的文化地标之一．综合实践课上老师提出问题：“请你设计一个方案，测量文昌阁的高度”．某小组设计的方案是利用激光投线角度仪和皮尺等工具对塔的高度进行测量．具体操作过程是：在文昌阁底部正前方的平地上选取相距10米的A、B两个观测点．在点测得文昌阁顶部的仰角为，在点测得文昌阁顶部D的仰角为．求文昌阁的高度（结果精确到1米，）． 23. 某超市销售长泰芦柑，2023年的销量为2000千克，2025年销量为2420千克，该芦柑的进货价为每千克6元． （1）求这两年销量的年平均增长率． （2）为制定2026年销售定价方案，超市调研发现：当每千克定价为元（）时，年销量（千克）与售价（元）满足一次函数关系．求售价为多少元时，年利润最大，最大利润是多少？ 24. 【项目主题】洒水车喷灌绿化带的适当边距 【项目背景】洒水车是城市绿化的生力军．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），同时为绿化带浇水．数学兴趣小组成员想了解洒水车要如何控制才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带． 【测量建模】为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索．如图2，建立平面直角坐标系，喷水口H离地面竖直高度h为．可以把洒水车喷出的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，喷出水的最大射程为6米．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米．竖直高度米，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示．小组成员通过进一步分析发现：喷头喷出的水流的下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的． 【问题解决】 （1）求上边缘抛物线的函数解析式及下边缘抛物线与轴交点的坐标； （2）若要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛线所夹区域内），求的取值范围． （3）由于道路车流较多，洒水车与绿化带的距离不能太宽．若洒水车与绿化带之间的距离为米，能否通过上下调节喷水口，使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带？说明理由． 25. 如图，在中，，点在边上，将线段绕点顺时针旋转得线段（旋转角小于），连接、，以为底边在其上方作等腰，使，连接． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时，求与之间的等量关系（用含的三角函数表示）； （3）如图3，当时，若点、、三点共线，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长泰区2025－2026学年第一学期期末质量检测九年级数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂） 1. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确理解二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，求出x的取值范围，再匹配选项得出答案． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∵选项中只有2满足， 故选：D． 2. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，关键是熟练应用知识点解题；利用时方程有两个相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可求解. 【详解】解：选项A： ∵，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项B： ∵，，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根，符合题意； 选项C： ∵，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项D： ∵，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 故选：B． 3. 已知，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题关键，可通过比例交叉相乘或等式变形验证各选项是否与已知条件一致． 【详解】∵， ∴B选项：根据比例的基本性质，将等式转化为比例式可得（交叉相乘后结果为，与已知条件完全一致），故B选项成立； 对其余选项分析： A选项：若，交叉相乘得，与矛盾，故A选项不成立； C选项：若，变形得，即，交叉相乘得，与矛盾，故C选项不成立； D选项：若，变形得，即，交叉相乘得，与矛盾，故D选项不成立； 故选：B． 4. 如图，已知是以点为位似中心放大倍后的位似图形，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据位似图形的性质，得到，且，再根据相似三角形的性质，逐项分析求解即可． 【详解】解：∵是以点为位似中心放大倍后的位似图形， ∴，且， ∴，， ， ， 故B、C正确，D错误， ∴，故A正确． 故选D． 5. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 同位角相等 B. 两个负数的和是正数 C. 在中， D. 如果，为实数，那么 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，逐一判断各选项事件的类型，进而选出随机事件． 【详解】解：A选项：同位角相等的前提是两直线平行，当两直线不平行时同位角不相等，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，故A选项符合题意； B选项：根据有理数的加法法则可知：两个负数的和一定是负数，不可能是正数，∴两个负数的和一定是正数是不可能事件，故B选项不符合题意； C选项：由三角形内角和定理可知：任意三角形内角和为，∴任意三角形内角和为是必然事件，故C选项不符合题意； D选项：实数加法满足交换律，对任意实数，，恒成立，如果、为实数 ，那么是必然事件，故D选项不符合题意． 故选：A． 6. 一辆小车沿着斜坡向上行驶了50米（坡度），则此时该小车的竖直高度上升（ ） A. 米 B. 25米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坡度的概念及勾股定理的应用．先根据坡度定义设出竖直高度与水平宽度，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设小车竖直高度上升了米， ∵坡度 ∴水平宽度为米， ∵小车沿斜坡行驶的距离为斜边，长度为50米， 根据勾股定理得：， 解得（舍去负根）， 即此时该小车的竖直高度上升为米． 故选：C． 7. 《田亩比类乘除捷法》中记载：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 结合矩形的长与宽的关系及矩形面积公式来列方程即可． 【详解】解：∵矩形的宽为步，长与宽共60步， ∴长为步， 又∵矩形面积为864平方步，且矩形面积=长×宽， ∴可列方程为． 故选A． 8. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）． A. 对称轴为直线 B. 抛物线与轴的交点为 C. 当时，随的增大而增大 D. 抛物线的最低点是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握好二次函数顶点式的特征是关键． 根据二次函数的顶点式判断抛物线的顶点坐标、对称轴、开口方向，并验证各选项即可． 【详解】解：∵二次函数为，属于顶点式（其中，，）， ∴对称轴为直线，故选项A错误； ∵当时，， ∴抛物线与轴交点为，故选项B错误； ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， 又∵满足， ∴当时，随的增大而增大，故选项C正确； ∵，抛物线开口向下 ∴抛物线有最高点，顶点是最高点而非最低点，故选项D错误． 故选：C． 9. 如图，在正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与锐角三角函数的定义，解题的关键是在格点中延长构造直角三角形，利用直角三角形边角关系直接求解． 延长至格点，连接，证为直角三角形，再根据余弦定义求解． 【详解】解：设每个小正方形边长为．则，, 延长到格点，连接． ，,． ， 为直角三角形，且． ∴． 故选：． 10. 已知抛物线，与是抛物线上两点，当时，都有，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 先判断抛物线的开口方向和对称轴，开口向上则离对称轴越近，函数值越小，进而求出和的取值范围．根据题意，恒成立，而能取正值，因此，．综合和的取值范围可判断出，由平方的非负性求出的取值范围． 【详解】解：, 该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越近，函数值越小， 当时，， 当或时，， ∵， ∴，， ∵当时，都有， 又∵总能取得正值， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置） 11. 已知是一元二次方程的一个解，则的值为_____． 【答案】 1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，正确理解方程解的定义是解题的关键．将已知解代入方程求解参数即可． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ，即 ， 解得 ． 故答案为： 12. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过大量重复试验，统计摸到红球的频率，并绘制出如下图所示统计图，估计口袋中白球的个数是_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了利用概率估计概率，先观察图中的信息，得出通过大量重复试验，统计摸到红球的频率约等于，结合在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，列式求出球的数量，再求出口袋中白球的个数，即可作答． 【详解】解：观察图中的信息，得出通过大量重复试验，统计摸到红球的频率约等于， ∵在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过大量重复试验，统计摸到红球的频率， ∴球的数量是， ∴， ∴估计口袋中白球的个数是， 故答案为：8． 13. 某小区做园林规划设计时，将图纸上的一块长为，宽为的长方形的花坛改成等面积的圆形，则这个圆形花坛的半径是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算、长方形和圆的面积公式，解题的关键是根据面积相等建立方程求解半径． 先计算长方形的面积，再根据圆的面积公式列出方程，求解半径． 【详解】解：长方形的面积为 设圆的半径为，则圆的面积为， 由题意可知，即， ， ∴（半径为正数，舍去负根） 故答案为：． 14. 当时，代数式的最小值是_____． 【答案】 2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，正确理解和掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．二次函数开口向上，顶点不在自变量的取值范围内，比较端点函数值即可． 【详解】解：二次函数 的对称轴 ，不在 内， 由于 ，函数在上随的增大而减小， 当时， ， 当时，代数式的最小值为2． 故答案为 ：2． 15. 如图，已知正方形是边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得，连接，分别交于点．若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、图形的旋转、相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用旋转性质得到线段等量关系，通过两次相似三角形建立比例方程，求解的比值，进而推出的度数． 先设正方形边长为，，由旋转得；再利用证明，得到；接着由证明，建立比例方程求解，于是可推出． 【详解】解：设正方形的边长为，，则． 四边形是正方形， ，， 绕点顺时针旋转得， ， ， ，， ， ， ，， ． ，， 由，得：， 交叉相乘：， ，， ， ，即． ， ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，分别是边上一点，且，将沿着翻折，若点恰好落在斜边上的点处，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，求一次函数解析式，求正切值，含角的直角三角形及勾股定理等知识． 以点为原点，以为轴，以为轴，作平面直角坐标系，求得直线的解析式为，设，根据折叠的性质，列方程求得点的坐标，再设，再根据折叠的性质，列方程求得点的坐标，即可解答． 【详解】解：如图，以点为原点，以为轴，以为轴，作平面直角坐标系， ， ，， ，， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 设， 根据折叠可得， ， 解得（负值舍去）， ， 设， 根据折叠的性质可得， 则可得， 解得， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角锐角函数值．先根据特殊角锐角函数值，算术平方根的性质，零指数幂化简，再计算即可． 【详解】解： 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解方程是解题的关键． 由，变形为，进一步计算即可求解． 【详解】解： ∴或 ∴，． 19. 如图，、相交于点，，若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先结合，，证明，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 20. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，先理解题意，分别求出，，，再把数值代入的面积计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴令得， ∴， 解得， 观察图象得出， 令则， ∴， ∵二次函数 ∴对称轴为直线， 即， ∴， ∴的面积． 21. 电影《浪浪山小妖怪》在2025年暑期火爆上映．如图，小明收集了四张印有电影主角猩猩怪、蛤蟆精、小猪妖、黄鼠狼精形象的卡片，分别记作、、、．它们除所印形象外无其他差别，将这些卡片洗匀，背面朝上． （1）从中任意取出一张卡片，求取出的卡片图案为“黄鼠狼精”的概率． （2）若现在要在这4张卡片中挑选张，请用画树状图或列表的方法，求选中“猩猩怪”和“小猪妖”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键； （1）根据概率公式直接求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片，洗匀后从中任意取出一张卡片， ∴取出的卡片图案为的概率为； 【小问2详解】 解：如下图所示：所有等可能情况共种，其中选中的情况有种， ∴． 22. 文昌阁位于长泰区武安镇石岗山上，始建于唐朝，是长泰的文化地标之一．综合实践课上老师提出问题：“请你设计一个方案，测量文昌阁的高度”．某小组设计的方案是利用激光投线角度仪和皮尺等工具对塔的高度进行测量．具体操作过程是：在文昌阁底部正前方的平地上选取相距10米的A、B两个观测点．在点测得文昌阁顶部的仰角为，在点测得文昌阁顶部D的仰角为．求文昌阁的高度（结果精确到1米，）． 【答案】24米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，先理解题意，得出是等腰直角三角形，又因为在文昌阁底部正前方的平地上选取相距10米的A、B，得出米，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵在点测得文昌阁顶部的仰角为，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在文昌阁底部正前方的平地上选取相距10米的A、B， ∴米， 则， ∴， ∵在点测得文昌阁顶部D的仰角为． ∴ ∵， ∴， ∴， 解得， ∴文昌阁的高度约为米． 23. 某超市销售长泰芦柑，2023年的销量为2000千克，2025年销量为2420千克，该芦柑的进货价为每千克6元． （1）求这两年销量的年平均增长率． （2）为制定2026年销售定价方案，超市调研发现：当每千克定价为元（）时，年销量（千克）与售价（元）满足一次函数关系．求售价为多少元时，年利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） 售价为11元时，最大年利润是7500元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程，二次函数的运用，掌握二次函数图象的性质是关键． （1）设两年销量的年平均增长率为，由此列方程求解即可； （2）每千克的利润为元，设利润为，由此列式，结合二次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设两年销量的年平均增长率为， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴这两年销量的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：该芦柑的进货价为每千克6元，每千克定价为元， ∴每千克的利润为元，设利润为， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为元， ∴售价为11元时，最大年利润是7500元． 24. 【项目主题】洒水车喷灌绿化带的适当边距 【项目背景】洒水车是城市绿化的生力军．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），同时为绿化带浇水．数学兴趣小组成员想了解洒水车要如何控制才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带． 【测量建模】为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索．如图2，建立平面直角坐标系，喷水口H离地面竖直高度h为．可以把洒水车喷出的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，喷出水的最大射程为6米．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米．竖直高度米，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示．小组成员通过进一步分析发现：喷头喷出的水流的下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的． 【问题解决】 （1）求上边缘抛物线的函数解析式及下边缘抛物线与轴交点的坐标； （2）若要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛线所夹区域内），求的取值范围． （3）由于道路车流较多，洒水车与绿化带的距离不能太宽．若洒水车与绿化带之间的距离为米，能否通过上下调节喷水口，使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带？说明理由． 【答案】（1）上边缘抛物线的解析式为；B的坐标为 （2） （3）能．理由如下： 设喷水口高度为n米， 由，，可得 点A比点H竖直高度高米， 则上边缘抛物线的顶点为，解析式为：， 下边缘抛物线的解析式为：， 当时，点， 将代入，得 ， 解得， ∴上边缘抛物线的解析式为：， 下边缘抛物线的解析式为：， 当时， ， 将代入，得 ， 即当喷水口高度为米时，洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴能通过上下调节喷水口，使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际问题，掌握知识点是解题的关键． （1）先推导出上边缘抛物线的顶点为，且过点和，设上边缘抛物线的顶点式为，将，分别代入，求出上边缘抛物线的解析式为：，由下边缘抛物线是上边缘抛物线向左平移得到，且过点，设下边缘抛物线的解析式为，将代入，求出下边缘抛物线的解析式为，继而求出点B的坐标即可； （2）先求出，则，将代入，解得（不符合题意，舍去）或，此时，则，即可解答； （3）设喷水口高度为n米， 则上边缘抛物线的解析式为，下边缘抛物线的解析式为，将代入，解得，得到上边缘抛物线的解析式为，下边缘抛物线的解析式为，求出，将代入，得，则即当喷水口高度为米时，洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，即可解答． 【小问1详解】 解：∵上边缘抛物线的顶点为，且过点和， 所以设上边缘抛物线的顶点式为， 将，分别代入，得 ， 解得， ∴上边缘抛物线的解析式为：， 即， ∵下边缘抛物线是上边缘抛物线向左平移得到，且过点， ∴设下边缘抛物线的解析式为， 将代入，得 ， 解得或（与上边缘重合，舍去）， ∴下边缘抛物线的解析式为：， 令，则， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴下边缘抛物线与x轴交点B的坐标为． 【小问2详解】 解：∵， ∴，则， 将代入，得 解得（不符合题意，舍去）或， ∴当时，点F在上边缘抛物线上，此时， ∴． 【小问3详解】 解：略． 25. 如图，在中，，点在边上，将线段绕点顺时针旋转得线段（旋转角小于），连接、，以为底边在其上方作等腰，使，连接． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时，求与之间的等量关系（用含的三角函数表示）； （3）如图3，当时，若点、、三点共线，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵以为底边在其上方作等腰， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，得出是等边三角形，可得，，进而证明是等边三角形，得出，根据角的和差关系得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，，即可，得出，结合可证明，得出，即可得答案； （3）过点作于，根据，可得，得出，根据旋转的性质及等腰三角形“三线合一”的性质得出，设，则，，利用勾股定理可求出，即可得出，结合（2）中结论·即可求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于， ∵，，， ∴，， ∵以为底边在其上方作等腰，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点作于， ∵，，，点、、三点共线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得线段， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：，（负值舍去） ∴， 由（2）可知，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $