精品解析：上海市上海中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

上海中学2025学年第一学期期末考试 数学试题 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 在与角终边相同的角中，最大的负角为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据终边相同的角的性质进行求解即可. 【详解】因为与角终边相同的角表示为 ， 所以当时，最大的负角为. 故答案为： 2. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接解即可求得答案. 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为 故答案为： 3. 已知钝角满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，结合诱导公式、同角的三角函数关系中的商关系进行求解即可. 【详解】因为钝角满足， 所以， 所以 . 故答案为： 4. 已知幂函数是定义域为的偶函数，则实数______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据幂函数定义可构造方程求得，将的值代入解析式验证函数奇偶性可确定结果. 【详解】为幂函数， ， 解得或； 当时，，是偶函数，满足题意； 当时，，其定义域为，不为，故不满足题意； 综上所述：； 故答案为：2 5. 已知和它的反函数的图像都经过，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反函数的性质可得，列方程求即可. 【详解】因为函数的反函数的图像经过， 所以函数的图像经过， 又的图像经过， 所以. 故答案为： 6. 已知是奇函数，则实数的值为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据奇函数的定义域具有对称性，则，再代入验证即可. 【详解】由题意得， 又因为其为奇函数，则其定义域具有对称性， 则，解得，则， 此时，解得，定义域关于原点对称， 且，则为奇函数，满足题意. 故答案为：. 7. 已知锐角满足，钝角满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由同角三角函数关系得，，再结合余弦差角公式求解即可. 【详解】因为为锐角，为钝角，所以， 因为，， 所以，， 所以， 故答案为：. 8. “”是“”的______条件． 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】若，则，取特值使正切值无意义可证明充分性不成立；利用两角和的正切公式证明必要性成立. 【详解】若，则，， 令，，则和均无意义，充分性不成立； 若，则，必要性成立. 故答案为：必要不充分条件. 9. 函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】函数的定义域为，令，将问题转化为，再分，，三种情况，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以函数的定义域为 ， 令，则，代入解析式得：， 当时，， 当时， 当时，，当且仅当，即时等号成立，故，； 当时,,则，当且仅当，即时等号成立，故，； 综上，的值域为，即函数的值域为 故答案为： 10. 已知函数满足对任意实数均成立．若，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，推理确定函数的周期，再由此求出目标值. 【详解】由， 得， 两式相减得， 若，则， 当时可得，与矛盾，等式不成立， 因此，即，函数是周期为3的周期函数， 所以. 故答案为：1 11. 已知存在最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分，，，，，六种情况分别讨论说明函数在对应区间上的函数值的变化情况求解即可. 【详解】当时，第一段函数在为增函数，函数值的范围为，无最小值，不满足题意； 当时，第一段函数为常函数；第二段函数在为减函数，函数值的范围为， 第三段函数在上为增函数，函数值的范围为， 所以，当时，函数的值域范围为，有最小值. 当时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为； 第二段函数在为减函数，函数值的范围为， 第三段函数在上为增函数，函数值的范围为， 此时，，， 所以，当时，函数的值域范围为，有最小值. 当时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为； 第二段函数在为减函数，函数值的范围为， 第三段函数在上为增函数，函数值的范围为， 此时，，即， ，即 所以，时，函数的值域范围为，不存在最小值. 当时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为； 第二段函数在为减函数，函数值的范围为， 第三段函数在上为增函数，函数值的范围为， 所以函数的值域为，无最小值； 当时，第一段函数在为减函数， 函数值的范围为，且， 第二段函数与第三段函数在对应的区间上的函数值为非负数， 所以，函数的值域为，无最小值. 综上，函数有最小值，实数的取值范围是. 故答案为： 12. 已知为正实数，若函数恰有2个零点，则正实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合函数图像分析临界点，进而确定零点个数，得到答案． 【详解】令，即， 如图，当左侧相切时， 此时，即只有一个解， ，整理得， ，解得或（舍去）， 时，有2个零点，时，有3个零点； 如图，当左侧直线过时， ，解得或（舍去）， 当时，有4个零点，时，有3个零点； ③如图，当右侧过时， ，解得或（舍去）， 当时，有2个零点，时，有3个零点； ④如图，当右侧相切时， 又，则只有一个解， ，整理得， ， 解得或（舍去）， 当时，有4个零点；时，有3个零点； 时，有2个零点； 综上，函数恰有2个零点，正实数的取值范围为． 故答案为：． 二、选择题（每题4分，共16分） 13. 化为弧度是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由弧度制和角度制的运算公式可得. 【详解】根据换算公式，计算弧度， 故选：B 14. 已知定义域为的函数在上严格增，且其图象关于直线对称．令，，．这三个数的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数运算及对称性把的自变量都转化到区间上，然后利用单调性可得答案. 【详解】，其中 ，由于函数  关于直线  对称，故有 ， ， ， ， 因为底数，所以在上单调递增， 所以， 又因为函数在上严格增， 所以， 所以. 故选：C 15. 已知函数是定义域为的奇函数，3是它的一个周期．若，则函数在区间上零点个数的最小值为（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇函数和周期函数的性质求出函数在区间上的部分零点，即可判断. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，3是它的一个周期．若， 所以,,,,,, 所以函数在区间上至少有7个零点. 故选：C 16. 已知函数，的最小正周期为，函数，的最小正周期为．考虑如下两个命题： 命题甲：若且函数，的最小正周期为，则； 命题乙：若且函数，的最小正周期为，则． 下列说法中正确的是（ ） A. 甲和乙均为真命题 B. 甲和乙均为假命题 C. 甲为真命题，乙为假命题 D. 甲为假命题，乙为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的周期性，举例说明判断两个命题即可. 【详解】命题甲：取函数，，满足， 函数，，命题甲是假命题； 命题乙：取函数，，满足， 函数，，命题乙是假命题， 所以甲和乙均为假命题. 故选：B 三、解答题（共48分） 17. 已知角满足． （1）请判断角属于第几象限； （2）求的所有可能取值构成的集合． 【答案】（1）是第一或第三象限角 （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角的正弦公式可知同号，即可得出所在象限； （2）由二倍角的正弦公式展开后，弦化切可得关于的方程，求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 由正余弦符号相同可知，是第一或第三象限角. 【小问2详解】 由， 即， 解得或， 故的所有可能取值构成的集合为. 18. （1）求函数，的所有零点构成的集合； （2）解不等式． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用对数式与指数式互化公式进行求解即可； （2）利用对数函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）， 因为，所以由， 所以，或， 由； 由，或， 所以所有零点构成的集合为； （2），或， 所以原不等式的解集为. 19. 某产品初始售价为单件100元，初始销量为件．现决定采取降价措施，经市场调研得知：单件降价元后，销量将会是初始销量的倍．假设该产品成本为单件50元，售价必须是正整数且高于成本． （1）请将总利润（单位：元）写成单件售价（单位：元）的函数； （2）当总利润最大时，单件售价为多少元？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据利润、售价、成本之间的关系进行求解即可； （2）利用作差法判断函数单调性，利用单调性进行求解即可. 【小问1详解】 单件售价元， 所以； 【小问2详解】 设， 令，则 ，而， 所以，显然 因此当时，函数单调递增， 令，则 ，而， 所以. 因此当时，函数单调递减， 所以当，或时，函数有最大值，即总利润最大. 20. 已知函数，的图像关于点成中心对称． （1）求的值； （2）求函数的单调区间并指出在每一个单调区间上函数的单调性； （3）若对任意都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）空集 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称性直接求解即可； （2）根据对钩函数的单调性，结合反比例函数的单调性、函数的对称性进行求解即可； （3）根据函数的对称性和单调性进行求解即可. 【小问1详解】 因为函数，的图像关于点成中心对称， 所以，即， 所以的图像关于点成中心对称，； 【小问2详解】 ， 当时，， 令，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为函数关于点对称， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为， 所以函数的单调递增区间为，递减区间为和； 【小问3详解】 函数关于点对称， 所以， 所以由， 设，则为奇函数，且单调递增区间为，递减区间为和； 且，当时，，当时，， 原不等式可化为，， 所以， ， 所以 对任意的恒成立， 对于 ，可得 ，当时，， 所以必须有； 对于 ，可得 对任意的恒成立，则 ； 综上所述：实数的取值范围为空集. 21. 若函数和的定义域均为，且对任意两个不同的实数，均有或成立，则称和为一对相关函数． （1）判断函数，，中有多少对相关函数并列出（无需说明理由）； （2）已知函数和是一对相关函数，求实数的取值范围； （3）小菲说：“对任何一对相关函数和，只要存在正实数使得对任意实数恒成立，我都一定能找到一个正整数使得对任意均有．”请判断小菲说法的正误并进行证明． 【答案】（1）3对相关函数，相关函数见解析； （2） （3）小菲说法正确，证明见解析； 【解析】 【分析】（1）由与不为相关函数对，得到且，从而若为相关函数，由成立求解； （2）根据与为相关函数对，由成立求解； （3）采用反证法，假设对一个正整数存在均有，根据与为相关函数对，分，，得出矛盾即可. 【小问1详解】 函数，，中有3对相关函数， 函数与是相关函数对，函数与是相关函数对，函数与是相关函数对； 若与不为相关函数对，则且， 则，所以只要即可， 当，时， ， 所以函数与是相关函数对； 当，时， ， 所以函数与是相关函数对； 当，时， ， 所以函数与是相关函数对； 【小问2详解】 因为与为相关函数对， 所以， 所以恒成立，所以， 又因为，因为 所以， 所以； 【小问3详解】 小菲说法正确， 假设对任意正整数，都存在，均有， 对任意，有，， 又函数与为相关函数对， 则①若，则； ②若，则， 由①②知：， 由，将其分为很多个子区间， 如，，，…… 则以上每个区间至多包含一个，矛盾，假设不成立， 故存在正整数，对任意，均有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海中学2025学年第一学期期末考试 数学试题 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 在与角终边相同的角中，最大的负角为______． 2. 函数的定义域为______． 3. 已知钝角满足，则______． 4. 已知幂函数是定义域为的偶函数，则实数______． 5. 已知和它的反函数的图像都经过，则______． 6. 已知是奇函数，则实数的值为______． 7. 已知锐角满足，钝角满足，则______． 8. “”是“”的______条件． 9. 函数的值域为______． 10. 已知函数满足对任意实数均成立．若，，则______． 11. 已知存在最小值，则实数的取值范围是______． 12. 已知为正实数，若函数恰有2个零点，则正实数的取值范围是______． 二、选择题（每题4分，共16分） 13. 化为弧度是（     ） A. B. C. D. 14. 已知定义域为的函数在上严格增，且其图象关于直线对称．令，，．这三个数的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 15. 已知函数是定义域为的奇函数，3是它的一个周期．若，则函数在区间上零点个数的最小值为（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 16. 已知函数，的最小正周期为，函数，的最小正周期为．考虑如下两个命题： 命题甲：若且函数，的最小正周期为，则； 命题乙：若且函数，的最小正周期为，则． 下列说法中正确的是（ ） A. 甲和乙均为真命题 B. 甲和乙均为假命题 C. 甲为真命题，乙为假命题 D. 甲为假命题，乙为真命题 三、解答题（共48分） 17. 已知角满足． （1）请判断角属于第几象限； （2）求的所有可能取值构成的集合． 18. （1）求函数，的所有零点构成的集合； （2）解不等式． 19. 某产品初始售价为单件100元，初始销量为件．现决定采取降价措施，经市场调研得知：单件降价元后，销量将会是初始销量的倍．假设该产品成本为单件50元，售价必须是正整数且高于成本． （1）请将总利润（单位：元）写成单件售价（单位：元）的函数； （2）当总利润最大时，单件售价为多少元？ 20. 已知函数，的图像关于点成中心对称． （1）求的值； （2）求函数的单调区间并指出在每一个单调区间上函数的单调性； （3）若对任意都有成立，求实数的取值范围． 21. 若函数和的定义域均为，且对任意两个不同的实数，均有或成立，则称和为一对相关函数． （1）判断函数，，中有多少对相关函数并列出（无需说明理由）； （2）已知函数和是一对相关函数，求实数的取值范围； （3）小菲说：“对任何一对相关函数和，只要存在正实数使得对任意实数恒成立，我都一定能找到一个正整数使得对任意均有．”请判断小菲说法的正误并进行证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $