精品解析：上海市南洋模范中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题

上海市南洋模范中学2021-2022学年高一上期末 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若，化简：________. 2. 已知扇形的弧长为，半径为2，则此扇形的圆心角的弧度数是______． 3. 在年利率为5%，且按年计复利的条件下，1万元存款连本带利超过5万元需要_____年． 4. 已知，，用a及b表示______． 5. 若幂函数（m为整数）的定义域为，则______． 6. 不等式解集是______． 7. 用集合符号填空：______ Q． 8. 设为实数，函数是奇函数，则__． 9. 实数a，b满足．若不等式的解为一切实数是真命题，则实数c的取值范围是______． 10. 已知是定义在上的函数且图像关于y轴对称，在区间上是严格增函数，则不等式的解集为______． 11. 设函数满足：对任意的非零实数x，均有．则在区间上的最大值为______． 12. 给定实数集合，，定义运算.设，，则中的所有元素之和为______. 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13. 设，“是偶数”是“n是偶数”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 以下说法为真命题的个数是（ ） ①当时，总有，则函数在区间上是严格增函数； ②当且时，总有，则是的最小值； ③如果在区间上的图像是一段连续不断的曲线，如果，则函数在上没有零点． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 15. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 16. 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 A. B. C D. 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 已知全集为，集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数m的取值范围． 18. 若正数x，y满足x+3y=5xy，求： （1）3x+4y的最小值； （2）求xy的最小值． 19. 某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为和（万元），事先根据相关资料得出它们与投入资金（万元）的数据分别如下表和图所示：其中已知甲的利润模型为，乙的利润模型为．（为参数，且）. （1）请根据下表与图中数据，分别求出甲、乙两种产品所得的利润与投入资金（万元）的函数模型 （2）今将万资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品投入资金都不低于万元．设对乙种产品投入资金（万元），并设总利润为（万元），如何分配投入资金，才能使总利润最大？并求出最大总利润． 20. 已知函数． （1）若关于x的方程有两个不等根，，求的值； （2）若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）是否存在实数，使得对任意，关于x方程在区间上总有3个不等根，，，若存在，求出实数a与的取值范围；若不存在，说明理由． 21. 已知函数、在数集D上都有定义，对于任意的，，当时，或成立，则称是在数集D上的限定函数． （1）试判断函数是否是函数在上的限定函数； （2）设是在区间上的限定函数且在区间上的值恒负，求证：函数在区间上是严格减函数； （3）设，试写出函数在上的限定函数，并利用（2）的结论，求在上的单调区间，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市南洋模范中学2021-2022学年高一上期末 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若，化简：________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用指数幂的运算法则计算即可． 【详解】 故答案为： 2. 已知扇形的弧长为，半径为2，则此扇形的圆心角的弧度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】由弧长的计算公式代入即可得出答案. 【详解】此扇形的圆心角的弧度数是. 故答案为：. 3. 在年利率为5%，且按年计复利的条件下，1万元存款连本带利超过5万元需要_____年． 【答案】33 【解析】 【分析】设需要年，则，由对数函数的性质解不等式即可. 【详解】设需要年，则，所以， 故需要33年． 故答案为：33 4. 已知，，用a及b表示______． 【答案】 【解析】 【分析】先把转化为，再利用对数的运算性质即可求解． 【详解】因为，所以，所以． 故答案为：． 5. 若幂函数（m为整数）的定义域为，则______． 【答案】，， 【解析】 【分析】利用幂函数的单调性可以得出，求解即可得到答案. 【详解】因为的定义域为 所以， 解得， 又为整数， 所以． 故答案为：，，. 6. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，根据