20.1 勾股定理及其应用 同步练习 2025—2026学年人教版八年级数学下册

答案与解析 1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】A 5.【答案】B 6.【答案】D 7.【答案】C 8.【答案】D 【解析】如图，设直角三角形的两直角边长分别为a,b(a<b),斜边长为c, b 图1 图2 :图1中大正方形的面积是24，a2+b2=c2=24, :图1中小正方形的面积是4，(b-a)2=a2+b2-2ab=4,÷ab=10, :图2中大正方形的面积=c2+4×号ab=24+2×10=44故选D. 9.【答案】D 第5页，共5页 10.【答案】C 11.【答案】12 12.【答案】①②③ 13.【答案】12 14.【答案】3-V5 15.【答案】0B,0C,0E 16.【答案】(-马，5 【解析】如图，设CD与V轴交于点G,AB=x, yt D E GC O B x 根据题意得四边形OADG是长方形，∠A0G=90°， :四边形ABCD是正方形， ·AD=AB=CD=BC=OG=X, :点B的坐标为1,0)，÷0A=x-1, :将△ADE沿AE折叠，使点D落在点F处，点F的坐标为O,3),·OF=3,AF=AD=x,DE=EF 在Rt△A0F中，由勾股定理得AF2=0A2+0F2, 即x2=(x-1)+32,解得x=5, ·DG=0A=x-1=4,FG=0G-0F=5-3=2, 第5页，共5页 设EG=a,则DE=EF=4-a, 在Rt△EFG中，由勾股定理得EF2=EG2+FG2, 即(4-a=a2+22,解得a=, ·点E的坐标为（多，5）， 17.【答案】【小题1】 解：：c2=a2+b2=82+152=289,÷c=17. 【小题2】 :b2=c2-a2=102-62=64,÷b=8. 18.【答案】【小题1】 6 3V5 【小题2】 设BC=x,则AB=2x,在Rt△ABC中，由勾股定理， 得(2x)2=x2+32,解得x=V5,·AB=2V5,BC=V5. 19.【答案】解：在Rt△ABC中，∠C=90,÷AC2=AB2-BC2=(AC+1)2-25,解得AC=12. 20.【答案】【小题1】 解：在Rt△ACD中，根据勾股定理，AD2=AC2+CD2, ÷CD2=AD2-AC2=132-122=25,÷CD=5 【小题2】 :BC=BD+CD=11+5=16, 在Rt△ABC中，根据勾股定理， AB2=AC2+BC2=122+162=400, 第5页，共5页 ÷AB=20. 21.【答案】【小题1】 a2+b2=c2 【小题2】 证明：由图可知，(b-a+4×ab=c2,÷a2-2ab+b2+2ab=c2.÷a2+b2=c2.÷在直角三角 形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方， 22.【答案】解：超速.理由如下：在Rt△ABC中，AC=60m,AB=100m,由勾股定理可得 BC=VAB2-AC=V1002-602=80(m,:汽车速度为 80÷4=20(m/s)=72(km/h):72km/h>60km/h,:这辆小汽车超速了.答：这辆小汽车 超速了. 23.【答案】【小题1】 25 【小题2】 解：作OA的垂直平分线，交y轴于点P1,交x轴于点P2,则P1,P2就是所求作的点 设P1(0,,过点A作AB⊥y轴于点B,则AB=4,P1B=n-2, :P1A=P10,P1A2=P102, 第5页，共5页 42+(n-2=n2,解得n=5,P1(0,5 设Pm0),过点A作AC⊥x轴于点C,则AC=2,P2C=4-m, :P2A=P20,P2A2=P202, (4-m+22=m2,解得m=2.5, P2.5,0月 综上所述，点P的坐标为(0,5)或(2.5,0). 24.【答案】【小题1】 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=52-32=16,÷BC=4cm. 【小题2】 由题意，得BP=tCm.①当∠APB=90°时，如图1，点P与点C重合，÷BP=BC=4cm:t=4; C(P)B C 图1 图2 ②当∠BAP=90°时，如图2，BP=tcm,CP=(t-4)cm,AC=3cm,在Rt△ACP中， AP2=AC2+Cp2=32+(t-4),在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2,即52+32+(t-4)=t2,解得 t=孕综上所述，当△ABP为直角三角形时，t=4或翠 第5页，共5页 20.1 勾股定理及其应用 同步练习 一、选择题： 1.如图，在中，，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 2.若直角三角形的两条边的长分别是和，则它的第三条边的长是(    ) A. B. C. 或 D. 或 3.下列说法中正确的是(    ) A. 已知，，是直角三角形的三边长，则 B. 在直角三角形中，两边长的平方和等于第三边长的平方 C. 在中，若，则 D. 在中，若，则 4.如图，数轴上的点表示的数是，于点，且，连接，以点为圆心，长为半径画弧与数轴正半轴交于点，则点表示的数是(    ) A. B. C. D. 5.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图所示，人只要移至该门铃及以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，如图所示，一个身高的学生走到处，门铃恰好自动响起，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.小明学过勾股定理后，用三块正方形纸片以顶点相连，按如图所示的方式组成图案，正方形和的面积分别为和若使所围成的三角形是直角三角形，则正方形的边长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在水塔的东北方向处有一抽水站，在水塔的东南方向处有一建筑工地，在间建一条直水管，则直水管的长为  (    ) A. B. C. D. 8.图是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成的若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为(    ) A. B. C. D. 9.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为(    ) A. B. C. D. 10.下面各图中，不能证明勾股定理的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.如图，在中，，，则          ． 12.已知，，是中，，的对边，下列说法：若，则；若，则；若，则；总有其中正确的有          填序号． 13.在中，，，则中线的长是          ． 14.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为          ． 15.如图，由个直角三角形拼成的图案中，，则图中长为无理数的线段是          ． 16.如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上，将沿折叠，使点落在点处若点的坐标为，则点的坐标为          ． 三、解答题： 17.如图，在中，，，，． 已知，，求 已知，，求． 18.如图，在中，， 若，则          ，          ； 若，求和的长． 19.如图，在中，，已知，，求的长． 20.如图，在中，，是边上的一点，，，． 求的长 求的长． 21.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形阴影部分围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形它是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，其巧妙地利用图形的面积证明了“勾股定理”，体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲． 如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么          ． 请利用图形面积，结合图形完成“勾股定理”的证明． 22.为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速．如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方的处，过了后，小汽车到达离车速检测仪的处，已知该段城市街道的限速为，请问这辆小汽车是否超速？ 23.如图，在平面直角坐标系中，． 直接写出的长为           是坐标轴上的一点，，画出点，并求点的坐标． 24.如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动．设运动的时间为 求边的长； 当为直角三角形时，求的值． 第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $20.1勾股定理及其应用 同步练习 一、选择题： 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=2,AC=3,则AB的长为() A A.V13 B.V5 C.1 D.5 2.若直角三角形的两条边的长分别是5和4，则它的第三条边的长是() A.5 B.V41 C.3或V41 D.5或v41 3.下列说法中正确的是() A.己知a,b,c是直角三角形的三边长，则a2+b2=c2 B.在直角三角形中，两边长的平方和等于第三边长的平方 C.在Rt△ABC中，若∠A=90°，则a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中，若∠C=90°，则a2+b2=c2 4.如图，数轴上的点C表示的数是2，BC1OC于点C,且BC=1,连接OB,以点0为圆心，OB长为半径画 弧与数轴正半轴交于点A,则点A表示的数是() -1 CA A.V5 B.-V5 C.2-V5 D.V5-2 5.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A,如图1 所示，人只要移至该门铃5m及5以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，如图2所示，一个身高 1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为() 图1 图2 A.3m B.4m C.5m D.7m 第1页，共6页 6.小明学过勾股定理后，用三块正方形纸片以顶点相连，按如图所示的方式组成图案，正方形A和B的面积 分别为3和4若使所围成的三角形是直角三角形，则正方形C的边长为() B A.5 B.6 C.5 D.7 7.如图，在水塔0的东北方向24m处有一抽水站A,在水塔0的东南方向18m处有一建筑工地B,在AB间 建一条直水管，则直水管AB的长为() 多 A.40m B.45m C.30m D.35m 8.图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三 角形拼成的.若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2 中大正方形的面积为() 图1 图2 A.24 B.36 C.40 D.44 9.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子 底端到左墙脚的距离BC为0.7m,梯子顶端到地面的距离AC为2.4m.若 A 保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的 2.4m 1.5m 距离A'D为1.5m,则小巷的宽为() D 0.7m 第2页，共6页 A.2.4m B.2m C.2.5m D.2.7m 10.下面各图中，不能证明勾股定理的是() a b b a b a b a b a b b b 6 a a a C a b b 二、填空题： B 11.如图，在Rt△ABC中，BC=5,AB=13,则AC= C 12.已知a,b,c是△ABC中LA,∠B,∠C的对边，下列说法：①若LC=90°，则a2+b2=c2;②若 ∠B=90°，则a2+c2=b2;③若∠A=90°，则b2+c2=a2:④总有a2+b2=c2.其中正确的有（填 序号) 13.在△ABC中，AB=AC=13,BC=10,则中线AD的长是· 14.如图，在3×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C,D都在格点上，以A为圆 心，AB的长为半径画弧，交CD于点E,则CE的长为一· :: A… B 第3页，共6页 15.如图，由4个直角三角形拼成的图案中，OA=AB=BC=CD=DE=1,则图中长为无理数的线段 是 E B 16.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为(1，O),点E在边CD上，将△ ADE沿AE折叠，使点D落在点F处若点F的坐标为(O,3),则点E的坐标为一· OB x 三、解答题： 17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c. A (1)已知a=8,b=15,求c, (2)已知c=10,a=6,求b B C A 18.如图，在△ABC中，∠C=90°，LA=30°. (1)若BC=3,则AB=,AC=—: (2)若AC=3,求AB和BC的长. 第4页，共6页 19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，己知BC=5,AB=AC+1,求AC的长. B 20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边BC上的一点，BD=11,AC=12,AD=13. (1)求CD的长； (2)求AB的长. B D 21.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中空的部分是一个小正 方形.它是我国汉代的赵爽在注解倜髀算经》时给出的，其巧妙地利用图形的面积证明了“勾股定理”， 体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲 B (1)如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么· (2)请利用图形面积，结合图形完成“勾股定理”的证明. 第5页，共6页 22.为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速.如图，一辆小汽车在某城市 街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A的正前方60m的C处，过了4s后，小汽车到达离车 速检测仪A100m的B处，已知该段城市街道的限速为60km/h,请问这辆小汽车是否超速？ B C小汽车 小汽车 车速检测仪 23.如图，在平面直角坐标系中，A(4,2) (1)直接写出0A的长为 (2)P是坐标轴上的一点，PA=PO,画出点P,并求点P的坐标. 24.如图，在Rt△ABC中，LACB=90°，AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/S 的速度移动.设运动的时间为ts. B- C (1)求边BC的长： (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值. 第6页，共6页