精品解析：山东青岛第二中学2026届高三第一学期期末考试数学试题

青岛二中2025-2026学年第一学期期末考试一 高三数学试题 命题人：高三数学集备组 审核人：朱军 全卷满分150分.考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，.若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合间的基本关系可得答案. 【详解】由条件  ，可知 ：， 又由 ，  ， 得：. 故选：D 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数乘法运算计算出结果即可求出虚部. 【详解】由复数可得， 所以其虚部为1. 故选：A 3. 若向量满足，则向量夹角的大小为（ ） A. B. . C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的模长公式展开可求得，再结合向量夹角的范围即得夹角. 【详解】由两边取平方，， 设向量夹角为，则有，则， 因，故. 故选：D. 4. 已知函数，正数，满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先证明函数奇偶性和单调性，再利用函数性质将转化为，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意，， 则， 所以函数为奇函数. 又， 所以在上单调递减. 又当时，，则， 当时，，则， 因为，则， 又知，则， 所以， 又在上单调递减. 所以， 即， 所以，当且仅当时，取等号， 即的最大值为4， 所以的最大值为2. 故选：C 5. 为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点 A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据诱导公式，所以为了得到的图象，只需将函数的图象向左平移个单位，即得到． 考点：1．三角函数图象平移；2．诱导公式 6. 某种肉鸡出栏时平均重量可达3.5千克，在没有人工干预的情况下自然繁殖，其出栏时的平均重量会一代不如一代，最后跟普通肉鸡差别不大.某实验室为了得到这种肉鸡自然繁殖后前一代与后一代的平均重量间的关系，将此种肉鸡视为第1代且又繁殖了10代.最后得到前一代平均重量（千克）与后一代平均重量（千克）之间的线性回归方程.已知第2代至第10代的平均重量之和为20千克，则第11代的平均重量为（ ） A. 2.4千克 B. 2.1千克 C. 1.8千克 D. 1.5千克 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意计算出的表达式，代入直线方程即可求得第11代的平均重量. 【详解】设第1代至第11代的平均重量分别为，易知； 又， 前一代平均重量，后一代平均重量， 将代入回归方程可得， 解得. 故选：C 7. 不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原式因式分解，原问题等价于对任意恒成立，分离变量，求导可得答案. 【详解】不等式 ，  可化为， 当，有 ， 因此原不等式恒成立等价于对任意恒成立， 因为，所以对任意恒成立， 设 ，则需 . ， 故  在  上单调递增， ， 因此，. 故选：A 8. 已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与其中一条渐近线垂直且垂足为.当面积最大时，双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知双曲线焦点到渐近线的距离为，根据已知条件再结合余弦定理可得，由三角形面积关系可得当且仅当时满足题意，计算可得离心率. 【详解】易知，不妨取渐近线为，如下图： 因此可得到渐近线的距离为， 又易知，可得， 由可得； 又易知，即，所以； 因此可得，即，所以； 因为的面积为的面积的两倍，易知； 当且仅当时，的面积最大，也即的面积最大， 此时离心率为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点（，）与点（，）关于点对称，若的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则满足（ ） A. ，，，…，的方差为 B. ，，，…，的极差为 C. ，，，…，的平均数为 D. ，，，…，的中位数为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平均数、极差、方差、中位数的二级结论判断. 【详解】由题意得，，则， 若的平均数为，中位数为，方差为，极差为， 则的平均数为，中位数为，方差为，极差为， 故，，，…，的方差为，极差为，故A错误，B正确； ，，，…，的平均数为，中位数为，故C正确，D错误. 故选：BC 10. 正方体的棱长为为中点，为侧面内一动点，且平面，则（ ） A. 平面 B. 动点的轨迹长为 C. 有且仅有一点，使得 D. 三棱锥外接球半径的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明与不垂直，即可判断A，取的中点H，G，连接，证明平面平面，从而得到点的轨迹为线段，即可判断B，设，利用求出的值，即可判断C，设外接圆的半径为，三棱锥外接球半径为，则，要使取得最小值，则只需取得最小值，求出的最小值，即可判断D. 【详解】对于A：如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，所以， 即与不垂直，又平面，所以不垂直平面，故A错误； 对于B：如图分别取的中点H，G，连接， 由正方体的性质可得，平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 且，平面，所以平面平面， 而平面，所以平面， 又为侧面内一动点，所以点的轨迹为线段， 又，即动点的轨迹长为，故B正确； 对于C：由B可知，，，，设， 则， ， 若，则， 整理得，解得（舍去）或， 所以有且仅有一点，使得，故C正确； 对于D：依题意与不重合，又平面， 设外接圆的半径为，三棱锥外接球半径为， 则，要使取得最小值，则只需取得最小值， 又，所以当时， 此时，所以三棱锥外接球半径的最小值为，故D正确. 故选：BCD 11. 在平面直角坐标系中，已知且.若曲线：与曲线：恰好有个不同的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 所有可能的取值为0，1，2 B. 若，则 C. 若，则交点横坐标之和大于 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】构造函数求导分析,结合零点存在定理讨论即可. 【详解】曲线：,即,与曲线：关于对称. 若,设, 则单调递增, , , 存在,, 则时,,单调递减, 则时,,单调递增, 且, 则有且仅有2个零点,,B正确; 若，设 则, 设,则, 当时,,单调递减, 当时,,单调递增, ,,, 存在,, 当时,,单调递增, 当时,,单调递减, 当时,,单调递增, , , 设,则, 当时,,单调递增, 当时,,单调递减, 则,即,, 则, 则存在,使得, 此时,D正确,A错误; 当时, 由于曲线与曲线关于对称,且有唯一解, 则的解成对出现,此时, 当时,的解等价于的解,且在无解 设,则在单调递增, , 则等价于,即, 当时,有两解,设为, 则 ,, 设,, 则, , 当时,, ,单调递增, 则, 则单调递减,, 则单调递增,, 则, 则, 由于,单调递减, 则, 则,C正确; 故选:BCD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质以及二项展开式的通项公式可得答案. 【详解】二项式  的展开式中，只有第六项的二项式系数最大， 二项式系数最大值出现在中间项， 当  为偶数时，最大项为第  项， 因此有 ，解得 ， 展开式的通项公式为： 令 ，解得 ， 代入通项，得系数为： 因此，展开式中  的系数为 . 故答案为： 13. 已知抛物线：的焦点为，过点作直线的垂线，垂足为，点是抛物线上的动点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出点轨迹，把距离和转化为点到准线的距离与到点轨迹的圆心的距离减半径，利用图象数形结合，可得最值. 【详解】设，依题意可得， 由（2）得： ，代入到（1）式中得： ， 化简得：， 所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆. 抛物线：的准线方程为：， 过点作抛物线准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义，得：； 由圆上的点到定点距离的最值，得， 过点作准线的垂线，交抛物线于，交准线于， 所以. 当三点共线时，上式取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 在平面四边形中，，，，，和的面积分别为，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，则，，即可表示出，，在中利用正弦定理表示出，由面积公式表示出，，将转化为关于的三角函数，即可求出的最小值. 【详解】设，，则，， 因为，所以，， 在中，即，所以， 所以， ， 所以 ， 因为，所以，所以， 则， 所以当，即，时取得最小值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，，若，求满足条件的最大整数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系式可证明数列为等比数列，可求得通项公式； （2）利用等比数列前项公式求得，解不等式可得满足条件的最大整数. 【小问1详解】 由题意知， 当时，，可得， 即，当时，可得，满足； 所以数列是以为首项，公比的等比数列， 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得， 则， 若，则， 易知随着的增大而增大， 当时，， 当时，， 所以满足条件的最大整数为. 16. 如图，三棱锥中，底面，平面平面，. （1）求证：； （2）若，当二面角的大小为时，求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先可得，过作垂足为，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，从而证明平面，即可得证； （2）在平面内过点作，建立空间直角坐标系，设，求出平面、的法向量，利用二面角的余弦值求出，即可确定点坐标，再由空间向量法计算可得. 【小问1详解】 因为底面，底面， 所以，， 过作垂足为，因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，平面，所以， 又，平面，所以平面，平面， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知为直角三角形，在平面内过点作，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，所以，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则，取， 设平面的法向量为，则，取， 因为二面角的大小为，所以， 解得或（舍去），所以， 所以，， 设直线和平面所成角为，则， 即直线和平面所成角的正弦值为. 17. 青岛文旅为了解天气状况对景点旅游满意度的影响，分别于晴天和阴雨天在栈桥景点共调查了100位游客，调查结果如下表. 满意 不满意 合计 晴天 40 阴雨天 20 合计 70 100 （1）完善上述表格，并根据小概率值的独立性检验，能否认为天气状况对该景点旅游满意度有影响； （2）从这100位游客中任选两人，在两人调查当天的天气状况一致的条件下，试求他们对该景点均满意的概率； （3）天气多变，文旅部门根据以往数据，为游客发布如下天气信息：若第1天为晴天，则第2天为晴天的概率为，为阴雨天的概率为；若第1天为阴雨天，则第2天为阴雨天的概率为，为晴天的概率为.已知第1天是晴天.求第天仍是晴天的概率，并求前天晴天的天数的期望. 附录：，. 0.05 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先补全列联表，再计算最后与临界值表比较即可得解； （2）根据条件概率公式计算求解； （3）根据题意得到的递推关系式，根据递推关系式得到是等比数列，求出的通项公式，结合等比数列求和及两点分布性质最后求出数学期望． 【小问1详解】 零假设 ：天气状况与满意度独立； 列联表如下： 满意 不满意 合计 晴天 40 10 50 阴雨天 30 20 50 合计 70 30 100 ， 根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即认为天气状况对该景点旅游满意度有影响； 【小问2详解】 记事件A为两人调查当天的天气状况一致，事件B为他们对该景点均满意， 所以 小问3详解】 由题意知， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. 某一天要么是晴天，要么是阴雨天，符合两点分布，记第i天为， 所以 所以． 18. 已知椭圆：的（）一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，求的面积的最大值； （3）试问平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再由点到直线的距离求出，即可求出； （2）设直线，联立椭圆方程，结合即可求解； （3）设，由向量数量积的坐标运算，结合韦达定理即可求解. 【小问1详解】 依题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）得，设，直线． 由，得，显然， 所以 则， 设，则，（当且仅当时取等号，此时）， 所以的面积的最大值为． 小问3详解】 设，则，， 由（2）可得 ， 所以 ， 依题意可得，解得，所以存在定点，使得为定值. 19. 已知函数，. （1）当时，求过原点且与曲线相切的直线方程； （2）存在，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若（），当时，关于的方程有11个实数根，求的值. （参考数据：） 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）求导,设切点,写出切线方程,代入求解即可; （2）由所给范围，结合三角函数有界性进行放缩，再进行换元，分离常数求解即可; （3）对求导，结合周期性，得出的极小值，结和图像分析交点个数，列不等式求解即可. 【小问1详解】 当时,, 设切点为,则, 切线方程, 代入得,解得, 则切线方程,即. 【小问2详解】 时,, 则当时，, 则只需时，即恒成立， 设, 则, 则恒成立, 则恒成立, 则恒成立, 由于在单调递增,则, 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 当时, , ,,即周期为, , 对于, 当时, ,,,单调递减, 当时, ,,,单调递增, 当时, ,,,单调递减, 当时, ,,,单调递增, 综上,在单调递减, 在单调递增, 极小值,极大值, 由于单调递增,且,则在方程无解, 只需要在有个解即可, 由于每个周期最多有两个解, 当时,需要， 当时,需要, 即 ,且 则或,或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛二中2025-2026学年第一学期期末考试一 高三数学试题 命题人：高三数学集备组 审核人：朱军 全卷满分150分.考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，.若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A 1 B. C. 5 D. 3. 若向量满足，则向量夹角的大小为（ ） A. B. . C. D. 4. 已知函数，正数，满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 5. 为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点 A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 6. 某种肉鸡出栏时平均重量可达3.5千克，在没有人工干预的情况下自然繁殖，其出栏时的平均重量会一代不如一代，最后跟普通肉鸡差别不大.某实验室为了得到这种肉鸡自然繁殖后前一代与后一代的平均重量间的关系，将此种肉鸡视为第1代且又繁殖了10代.最后得到前一代平均重量（千克）与后一代平均重量（千克）之间的线性回归方程.已知第2代至第10代的平均重量之和为20千克，则第11代的平均重量为（ ） A. 2.4千克 B. 2.1千克 C. 1.8千克 D. 1.5千克 7. 不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与其中一条渐近线垂直且垂足为.当面积最大时，双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点（，）与点（，）关于点对称，若的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则满足（ ） A. ，，，…，的方差为 B. ，，，…，的极差为 C. ，，，…，的平均数为 D. ，，，…，的中位数为 10. 正方体的棱长为为中点，为侧面内一动点，且平面，则（ ） A. 平面 B. 动点的轨迹长为 C. 有且仅有一点，使得 D. 三棱锥外接球半径的最小值为 11. 在平面直角坐标系中，已知且.若曲线：与曲线：恰好有个不同的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 所有可能的取值为0，1，2 B. 若，则 C. 若，则交点横坐标之和大于 D. 若，则 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是______. 13. 已知抛物线：的焦点为，过点作直线的垂线，垂足为，点是抛物线上的动点，则的最小值为______. 14. 在平面四边形中，，，，，和面积分别为，，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，，若，求满足条件最大整数. 16. 如图，三棱锥中，底面，平面平面，. （1）求证：； （2）若，当二面角的大小为时，求直线和平面所成角的正弦值. 17. 青岛文旅为了解天气状况对景点旅游满意度的影响，分别于晴天和阴雨天在栈桥景点共调查了100位游客，调查结果如下表. 满意 不满意 合计 晴天 40 阴雨天 20 合计 70 100 （1）完善上述表格，并根据小概率值的独立性检验，能否认为天气状况对该景点旅游满意度有影响； （2）从这100位游客中任选两人，在两人调查当天的天气状况一致的条件下，试求他们对该景点均满意的概率； （3）天气多变，文旅部门根据以往数据，为游客发布如下天气信息：若第1天为晴天，则第2天为晴天的概率为，为阴雨天的概率为；若第1天为阴雨天，则第2天为阴雨天的概率为，为晴天的概率为.已知第1天是晴天.求第天仍是晴天的概率，并求前天晴天的天数的期望. 附录：，. 005 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 18. 已知椭圆：的（）一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，求的面积的最大值； （3）试问平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由. 19. 已知函数，. （1）当时，求过原点且与曲线相切的直线方程； （2）存在，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若（），当时，关于的方程有11个实数根，求的值. （参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $